復(fù)變函數(shù)4.3泰勒定理

§4.3解析函數(shù)的泰勒展式4.3.1泰勒(Taylor)定理4.3.2冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上的狀況4.3.3一些初等函數(shù)的泰勒展式(4.9)D定理4.14(泰勒定理)設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,a∈D,只要K:|z-a|<R含于D,則f(z)在K內(nèi)能展成如下冪級(jí)數(shù)(4.8)其中系數(shù)展式是唯一的.4.3.1.泰勒(Taylor)定理KaK

證:證明的關(guān)鍵是利用柯西積分公式及如下熟知的公式:(|u|<1).(4.10)總有一個(gè)圓周:使點(diǎn)z含在(圖4.1中虛線表).azD圖4.1的內(nèi)部我們?cè)O(shè)法將被積式:由柯西積分公式得表示為一個(gè)含有z-a的正冪次級(jí)數(shù).為此改寫：(4.11)由時(shí)應(yīng)用公式(4.10),我們有右端的級(jí)數(shù)在

上(關(guān)于)是一致收斂的.于是(4.11)表示為

上一致收斂級(jí)數(shù)以在

上的有界函數(shù)一致收斂級(jí)數(shù)相乘,仍然得到上的由定理3.13知最后得出其中的系數(shù)由Cn公式(4.9)給出.上面證明對(duì)于任意z∈均成立,故定理的前半部分得證.下面證明展式是唯一的.設(shè)另有展式由定理4.13(3)即知(n=0,1,2,…),故展式是唯一的.定義4.8(4.8)稱為f(z)在點(diǎn)a的泰勒展式,(4.9)稱為其泰勒系數(shù),而(4.8)右邊的級(jí)數(shù),則稱為泰勒級(jí)數(shù).定理4.15f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件為:f(z)在D內(nèi)任一點(diǎn)a的鄰域內(nèi)可展成z-a的冪級(jí)數(shù),即泰勒級(jí)數(shù).由第三章的柯西不等式知若f(z)在|z-a|<R內(nèi)解析,則其泰勒系數(shù)cn滿足柯西不等式

4.3.2冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上 的狀況定理4.16如果冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R>0,且則f(z)在收斂圓周C:|z-a|=R上至少有一奇點(diǎn),即不可能有這樣的函數(shù)F(z)存在,它在|z-a|<R內(nèi)與f(z)恒等,而在C上處處解析.證假若這樣的F(z)存在,這時(shí)C上的每一點(diǎn)就都是某圓O的中心,而在圓O內(nèi)F(z)是解析的.z1aK/:|z-a|<R+ρ內(nèi)是解析的.于是F(z)在K/可開為泰勒級(jí)數(shù).但因在|z-a|<R中F(z)恒等于f(z),故在z=a處它們以及各階導(dǎo)數(shù)有相同的值。因此級(jí)數(shù)也是F(z)的泰勒級(jí)數(shù)而它的收斂半徑不會(huì)小于R+ρ,這與假設(shè)矛盾.根據(jù)有限覆蓋定理,我們就可以在這些圓O中選取有限個(gè)將圓O覆蓋了.這有限個(gè)圓將構(gòu)成一個(gè)區(qū)域G,用ρ>0表示C到G的邊界的距離(參看第三章定理3.3注).于是F(z)在較圓K大的同心圓z1z2z3z2z5z2z6z8z9z10a注(1)縱使冪級(jí)數(shù)在其收斂圓周上處處收斂,其和函數(shù)在收斂圓周上仍然至少有一個(gè)奇點(diǎn).(2)這個(gè)定理,一方面建立了冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與此冪級(jí)數(shù)所代表的函數(shù)的性質(zhì)之間的密切關(guān)系;同時(shí)還表明冪級(jí)數(shù)的理論只有在復(fù)數(shù)域內(nèi)才弄的完全明白.4.3.3、將函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)常用方法:

直接法和間接法.1.直接法:由泰勒展開定理計(jì)算系數(shù)例1故有仿照上例,2.間接展開法:借助于一些已知函數(shù)的展開式,結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì),冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)(逐項(xiàng)求導(dǎo),積分等)和其它數(shù)學(xué)技巧(代換等),求函數(shù)的泰勒展開式.間接法的優(yōu)點(diǎn):不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑,因而比直接展開更為簡(jiǎn)潔,使用范圍也更為廣泛.例2附:常見函數(shù)的泰勒展開式例3解4.3.4典型例題上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo),例4分析如圖,即將展開式兩端沿C逐項(xiàng)積分,得解例5

解例6解例7解例8解即微分方程對(duì)微分方程逐次求導(dǎo)得:4.3.5、小結(jié)與思考通過(guò)本課的學(xué)習(xí),應(yīng)理解泰勒展開定理,熟記五個(gè)基本函數(shù)的泰勒展開式,掌握將函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)的方法,能比較熟練的把一些解析函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù).奇、偶函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)有什么特點(diǎn)?思考題奇函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)只含z的奇次冪項(xiàng),偶函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)只含z的偶次冪項(xiàng).思考題答案放映結(jié)束，按Esc退出.泰勒資料Born:18Aug1