自動控制原理第7章

第7章離散控制系統(tǒng)自動控制原理普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材機(jī)械工業(yè)出版社2/3/20231離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)相比，既有本質(zhì)上的不同，又有分析和研究方法的相似性。利用Z變換法研究離散系統(tǒng)，可以將連續(xù)系統(tǒng)中的許多概念和方法，推廣至離散系統(tǒng)中。本章主要討論離散時間線性系統(tǒng)的分析方法。首先建立信號采樣和保持的數(shù)學(xué)描述，然后介紹Z變換理論與性質(zhì)，以及系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，最后研究系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和最少拍系統(tǒng)設(shè)計方法。第7章離散控制系統(tǒng)7.1概述7.2采樣過程與采樣定理7.3Z變換理論7.4離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述7.5離散控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計2/3/202327.1概述如果系統(tǒng)中的變量都是連續(xù)時間信號，稱該系統(tǒng)為連續(xù)時間系統(tǒng)。但在許多實際系統(tǒng)中，連續(xù)控制是十分困難的，甚至是難以實現(xiàn)的。離散控制系統(tǒng)（又稱為采樣控制系統(tǒng)），它與連續(xù)控制系統(tǒng)的根本區(qū)別在于：離散系統(tǒng)有一處或幾處信號是時間的離散函數(shù)。一般情況下，控制信號是離散型時間函數(shù)r*(t)，因此取系統(tǒng)輸出端的負(fù)反饋信號也需要采取離散型時間函數(shù)b*(t)，于是比較后得到的偏差信號將是離散型時間函數(shù)，即(7-1)2/3/20233因此在離散系統(tǒng)中，通過控制器對被控對象進(jìn)行控制的偏差信號e*(t)仍是離散信號。圖7.1是離散系統(tǒng)的方框圖。圖中兩個采樣開關(guān)的動作一般是同步的，因此可等效地簡化為圖7.2的形式。其中離散反饋信號b*(t)是由連續(xù)型的時間函數(shù)b(t)通過采樣而獲得的。采樣開關(guān)經(jīng)一定時間T后閉合，每次閉合時間為τ(τ<<T)，如圖7.3所示。

圖7.1離散系統(tǒng)方框圖圖7.2離散系統(tǒng)簡化方框圖2/3/20234圖7.3離散型時間函數(shù)離散控制系統(tǒng)最常見形式是數(shù)字控制系統(tǒng)。圖7.4是數(shù)字控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。圖中用于控制的計算機(jī)D工作在離散狀態(tài)，被控對象G(s)工作在模擬狀態(tài)。

2/3/20235圖7.4數(shù)字控制系統(tǒng)

圖中連續(xù)控制信號r(t)和反饋信號b(t)經(jīng)A/D轉(zhuǎn)換器被轉(zhuǎn)換成離散數(shù)字信號r*(t)和b*(t)，相比較后得到離散偏差信號e*(t)=r*(t)–b*(t)。通過計算機(jī)運算，產(chǎn)生離散控制序列u*(t)。u*(t)再經(jīng)D/A轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換成模擬信號u(t)去控制被控對象，使系統(tǒng)輸出滿足性能指標(biāo)的要求。2/3/20236由于A/D和D/A轉(zhuǎn)換器的轉(zhuǎn)換精度一般都比較高，轉(zhuǎn)換所造成的誤差通?？珊雎圆挥嫞虼薃/D和D/A轉(zhuǎn)換器可以用采樣開關(guān)來表示。圖7.5是圖7.4所示的數(shù)字控制系統(tǒng)簡化后的等效框圖，其中采樣開關(guān)的動作是同步的。圖7.5數(shù)字控制系統(tǒng)的簡化框圖

2/3/20237數(shù)字控制系統(tǒng)較之一般的連續(xù)控制系統(tǒng)具有如下一些優(yōu)點：

能夠保證足夠的計算精度；在數(shù)字控制系統(tǒng)中可以采用高精度檢測元件和執(zhí)行元件，從而提高整個系統(tǒng)的精度；數(shù)字信號或脈沖信號的抗干擾性能好，可以提高系統(tǒng)的抗干擾能力；可以采用分時控制方式，提高設(shè)備的利用率，并且可以采用不同的控制規(guī)律進(jìn)行控制；可以實現(xiàn)一些模擬控制器難以實現(xiàn)的控制律，特別對復(fù)雜的控制過程，如自適應(yīng)控制、最優(yōu)控制、智能控制等，只有數(shù)字計算機(jī)才能完成。2/3/202387.2采樣過程與采樣定理離散系統(tǒng)的特點是：系統(tǒng)中一處或數(shù)處的信號是脈沖序列或數(shù)字序列。為了將連續(xù)信號變換為離散信號，需要使用A/D轉(zhuǎn)換器(采樣器)；另一方面，為了控制連續(xù)的被控對象，又需使用D/A轉(zhuǎn)換器(保持器)將離散信號轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號。因此，為了定量地研究離散系統(tǒng)，有必要對信號的采樣和恢復(fù)過程進(jìn)行描述。2/3/202397.2.1采樣過程及其數(shù)學(xué)描述將連續(xù)信號通過采樣開關(guān)(或采樣器)變換成離散信號的過程稱為采樣過程。相鄰兩次采樣的時間間隔稱為采樣周期T。本章僅限于討論等速同步采樣過程。等速采樣:采樣開關(guān)以相同的采樣周期T動作，又稱為周期采樣多速采樣:系統(tǒng)中有n個采樣開關(guān)分別按不同周期動作隨機(jī)采樣:采樣開關(guān)動作是隨機(jī)的采樣頻率：采樣角頻率：采樣可分為：2/3/202310采樣過程如圖7.6所示。連續(xù)信號x(t)經(jīng)過采樣開關(guān)轉(zhuǎn)換成離散信號x*(t)。如果x*(t)的幅值經(jīng)整量化用數(shù)字(或數(shù)碼)來表示，則x*(t)在幅值上也是離散的。考慮到采樣開關(guān)的閉合時間遠(yuǎn)小于采樣周期T和系統(tǒng)連續(xù)部分的最大時間常數(shù)，可認(rèn)為采樣時間τ=0，x(t)在τ內(nèi)變化很小，因此x*(t)可用幅值為x(kT)，寬度為τ的脈沖序列近似表示。(a)

(b)

(c)

圖7.6采樣過程2/3/202311由圖7.6(c)，可寫出脈沖序列x*(t)表達(dá)式為式中1(t–kT)–1(t–kT–τ)表示一個發(fā)生在kT時刻，高度為1，寬度為τ，即面積為τ的矩形脈沖。由于τ<<T，故該矩形脈沖可近似用理想單位脈沖來描述，即式中δ(t–kT)為t=kT(k=0,1,2,???)時刻具有單位強(qiáng)度的理想脈沖。(7-2)(7-3)2/3/202312需要指出，具有無窮大幅值和持續(xù)時間無窮小的理想單位脈沖只是數(shù)學(xué)上的假設(shè)，在實際物理系統(tǒng)中是不存在的。因此，在實際應(yīng)用中，對理想單位脈沖(面積為1)來說，只有討論其面積，或強(qiáng)度才有意義。式(7-3)就是基于這種觀點，從矩形脈沖及理想脈沖的面積來考慮的。采樣開關(guān)對連續(xù)信號x(t)進(jìn)行采樣后，其輸出的離散時間信號x*(t)可表示為(7-4)

式中δ(kT)表示發(fā)生在kT時刻脈沖的強(qiáng)度，其值與被采樣的連續(xù)信號x(t)在采樣時刻kT時的值相等。

2/3/202313式(7-4)表明，離散信號是由一系列脈沖組成，在采樣時刻t=kT，脈沖的面積就等于該時刻連續(xù)信號x(t)的值x(kT)。式(7-4)也可寫作

(7-5)因此，采樣過程從物理意義上可以理解為脈沖調(diào)制過程。在這里，采樣開關(guān)起著理想單位脈沖發(fā)生器的作用，通過它將連續(xù)信號x(t)調(diào)制成脈沖序列x*(t)。2/3/2023147.2.2采樣定理在設(shè)計離散控制系統(tǒng)中，采樣周期的選擇是一個關(guān)鍵問題。如果采樣周期T越短，即采樣角頻率越高，則x*(t)中包含的x(t)信息越多。但采樣周期不可能無限短。假設(shè)連續(xù)信號x(t)的頻率特性為(7-6)該信號的頻譜|X(jω)|是一個單一的連續(xù)頻譜，其最高頻率為ωmax，如圖7.7(a)所示。從圖中可見，x(t)不包含任何大于ωmax的頻率分量。

根據(jù)式(7-5)，離散信號x*(t)的拉普拉斯變換為(7-7)2/3/202315(a)圖7.7連續(xù)信號及離散信號的頻譜式中ωs=2π/T為采樣頻率，X(s)為x(t)的拉氏變換。若X*(s)的極點全都位于s左平面，可令s=jω，求得x*(t)的傅氏變換為(7-8)2/3/202316式中X(jω)為連續(xù)信號x(t)的傅氏變換，|X(jω)|即為x(t)的頻譜，即(7-9)式(7-9)中離散信號x*(t)的頻譜|X*(jω)|是以采樣頻率ωs為周期，由無限多x(t)的頻譜|X(jω)|疊加而成。當(dāng)ωs≥2ωmax時，離散信號的頻譜為無限多個孤立頻譜組成的離散頻譜，其中與k=0對應(yīng)的是采樣前原連續(xù)信號的頻譜，幅值為原來的1/T，如圖7.7(b)所示。若ωs<2ωmax，離散信號x*(t)的頻譜不再由孤立頻譜構(gòu)成，而是一種與原來連續(xù)信號x(t)的頻譜毫不相似的連續(xù)頻譜，如圖7.7(c)所示。2/3/202317(b)圖7.7連續(xù)信號及離散信號的頻譜(c)2/3/202318要從離散信號x*(t)中完全復(fù)現(xiàn)出采樣前的連續(xù)信號x(t)，必須使采樣頻率ωs足夠高，以使相鄰兩頻譜不相互重疊。定理7.1(Shannon定理)：如果對一個具有有限頻譜(-ωmax<ω<ωmax)的連續(xù)信號采樣，當(dāng)采樣角頻率或采樣頻率時，則由采樣得到的離散信號能夠無失真地恢復(fù)到原來的連續(xù)信號。(7-10)幾點說明：(1)采樣定理給出的是由采樣脈沖序列無失真地再現(xiàn)原連續(xù)信號所必需的最大采樣周期或最低采樣頻率。在控制工程實踐中，一般取ωs>2ωmax。2/3/202319(2)若式(7-10)成立，將離散信號x*(t)通過一個理想低通濾波器，就可以把ωs>ωmax的高頻分量全部濾除掉，使X*(jω)中僅留下X(jω)/T部分，再經(jīng)過放大器對1/T進(jìn)行補(bǔ)償，便可無失真地將原連續(xù)信號x(t)完整地提取出來。理想低通濾波器特性如圖7.7(b)中虛線所示。(3)采樣周期T是離散控制系統(tǒng)中的一個關(guān)鍵參數(shù)。如果采樣周期選得越小，即采樣頻率越高，對被控系統(tǒng)的信息了解得也就越多，控制效果也就越好。但同時會增加計算機(jī)的運算量。反之，如果采樣周期選擇越大，由于不能全面掌握被控系統(tǒng)的信息，會給控制過程帶來較大的誤差，降低系統(tǒng)的動態(tài)性能，甚至有可能使整個控制系統(tǒng)變得很不穩(wěn)定。2/3/2023207.2.3信號的恢復(fù)離散信號還原成連續(xù)信號時需使用的理想濾波器在物理上是無法實現(xiàn)的。實際中廣泛應(yīng)用的濾波器是保持器(或保持電路)。信號恢復(fù)/保持就是將離散時間信號變成連續(xù)時間信號。實現(xiàn)保持功能的器件稱為保持器。保持器是具有外推功能的元件，其外推作用表現(xiàn)為當(dāng)前時刻的輸出信號是過去時刻離散信號的外推。保持器在離散系統(tǒng)中的位置應(yīng)處在采樣開關(guān)之后(圖7.8)。圖7.8保持器方塊圖2/3/202321能夠物理實現(xiàn)的保持器都必須按現(xiàn)在時刻或過去時刻的采樣值實行外推，而不能按將來時刻的采樣值外推。具有常值、線性、二次函數(shù)(如拋物線)型外推規(guī)律的保持器，分別稱為零階、一階、二階保持器。工程實踐中普遍采用零階保持器。零階保持器是一種按常值規(guī)律外推的保持器。它把前一個采樣時刻kT的采樣值x(kT)不增不減地保持到下一個采樣時刻(k+1)T。當(dāng)下一個采樣時刻(k+1)T到來時應(yīng)換成新的采樣值x[(k+1)T]繼續(xù)外推。也就是說，kT時刻的采樣值只能保存一個采樣周期T，到下一個采樣時刻到來時應(yīng)立即停止作用，下降為零。2/3/202322零階保持器的時域特性gh(t)如圖7.9(a)所示。它是高度為1寬度為T的方波。高度等于1，說明采樣值經(jīng)過保持器既不放大、也不衰減；寬度等于T，說明零階保持器對采樣值保存一個采樣周期。圖7.9(a)所示的gh(t)可以分解為兩個階躍函數(shù)之和，如圖7.9(b)所示。圖7.9零階保持器的時域特性(b)(a)2/3/202323(7-11)

則零階保持器的傳遞函數(shù)為(7-12)

令s=jω，帶入式(7-12)中得零階保持器頻率特性為(7-13)

或?qū)懗?7-14)

因此零階保持器的單位脈沖響應(yīng)gh(t)是一個幅值為1、持續(xù)時間為T的矩形脈沖，可表示為兩個階躍函數(shù)之和，即2/3/202324式(7-14)中，|Gh(jω)|為零階保持器的幅頻特性或頻譜；∠Gh(jω)為零階保持器的相頻特性。它們與頻率ω的關(guān)系分別為(7-15)(7-16)2/3/202325從幅頻特性來看，零階保持器是具有高頻衰減特性的低通濾波器，且頻率越高衰減越劇烈，ω→0時的幅值為T；從相頻特性來看，零階保持器具有負(fù)的相角，會對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生不利的影響。圖7.10零階保持器的幅頻與相頻特性2/3/202326零階保持器有無窮多個截止頻率，除允許主頻譜分量通過外，還允許部分高頻分量通過。所以零階保持器并不是只有一個截止頻率的理想低通濾波器，因此由零階保持器恢復(fù)的連續(xù)信號xh(t)與原連續(xù)信號x(t)是有差異的，主要表現(xiàn)在xh(t)具有階梯形狀，采樣周期取得越小，上述差別也就越小。圖7.11零階保持器的輸出信號2/3/202327需要指出，在相位上存在滯后現(xiàn)象，是各階保持器具有的共性。零階保持器相對于其他類型的保持器具有最小的相位滯后，且容易實現(xiàn)，因此在離散控制系統(tǒng)中應(yīng)用最為廣泛。對于通過零階保持器的高頻分量，它對系統(tǒng)的被控制信號的影響不大，這是由于一般系統(tǒng)中的連續(xù)部分均具有較好的低通濾波特性，可以使絕大部分的高頻分量被抑制掉。因此，在離散控制系統(tǒng)中采用零階保持器來恢復(fù)離散信號已足夠，沒有必要采用更復(fù)雜的高階保持器。此外零階保持器引入了附加的滯后相移，xh(t)比x(t)在時間上平均滯后半個采樣周期（如圖7.11中虛線所示），這使系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性有所降低。2/3/2023287.3Z變換理論

Z變換的思想來源于連續(xù)系統(tǒng)。在分析連續(xù)時間線性系統(tǒng)的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性時，采用拉普拉斯變換，將系統(tǒng)時域的微分方程轉(zhuǎn)換成s域的代數(shù)方程，并得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，從而便于分析系統(tǒng)的性能。與此相似，在分析離散時間系統(tǒng)的性能時，可使用Z變換建立離散時間線性系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，進(jìn)而分析系統(tǒng)的性能。Z變換又稱為離散拉普拉斯變換，是分析離散系統(tǒng)的重要數(shù)學(xué)工具。2/3/2023297.3.1Z變換定義設(shè)連續(xù)時間函數(shù)x(t)可進(jìn)行拉普拉斯變換，其拉氏變換為X(s)。連續(xù)時間函數(shù)x(t)經(jīng)采樣周期為T的采樣開關(guān)后，得到離散信號x*(t)(式7-4)，即對上式表示的離散信號進(jìn)行拉氏變換，可得(7-17)

式中X*(s)是離散時間函數(shù)x*(t)的拉氏變換。2/3/202330因復(fù)變量s包含在指數(shù)函數(shù)e-kTs中不便計算，故引進(jìn)一個新變量z，即(7-18)式中，T為采樣周期。將式(7-18)代入式(7-17)，便得到以z為變量的函數(shù)X(z)，即(7-19)式中X(z)稱為離散時間函數(shù)X*(s)的Z變換，記為在Z變換中，考慮的是連續(xù)時間信號經(jīng)采樣后的離散時間信號，或者說考慮的是連續(xù)時間函數(shù)在采樣時刻的采樣值，而不考慮采樣時刻之間的值。

2/3/202331

式(7-19)只適用于離散時間函數(shù)，只能表征連續(xù)時間信號在采樣時刻的信息，不能給出采樣時刻之間的信息。從這個意義上說，連續(xù)時間函數(shù)x(t)與相應(yīng)的離散時間函數(shù)x*(t)具有相同的Z變換，即(7-20)Z變換中一般項x(kT)z-k與離散函數(shù)的拉氏變換中一般項x(kT)e-kTs物理意義相同。z-k表征采樣脈沖出現(xiàn)時刻，x(kT)表征該時刻采樣脈沖幅值。Z變換實際上是拉氏變換的一種演化，目的是把原來是s的超越函數(shù)X*(s)則變?yōu)閦的有理函數(shù)X(z)，以便于對離散系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計。從離散拉氏變換到離散z變換，就是由復(fù)變量s平面到復(fù)變量z平面的映射變換，這個映射關(guān)系就是式(7-18)。2/3/2023327.3.2Z變換方法(1)級數(shù)求和法式(7-19)是離散函數(shù)x*(t)的Z變換的級數(shù)展開形式，將其改寫成(7-21)該式是Z變換的一種級數(shù)表達(dá)式。顯然，只要知道連續(xù)時間函數(shù)x(t)在各采樣時刻kT(k=0,1,2,???)上的采樣值x(kT)，便可求出Z變換的級數(shù)展開式。這種級數(shù)展開式具有無窮多項，是開放的，如果不能寫成閉式，是很難應(yīng)用的。一些常用函數(shù)的Z變換的技術(shù)展開式可以寫成閉式的形式。2/3/202333例7-1

試求單位階躍函數(shù)1(t)的Z變換。解單位階躍函數(shù)1(t)在所有采樣時刻上的采樣值均為1，即將上式代入式(7-21)，得或(7-22)上式中，若|z|＞1，可寫成如下的封閉形式，即(7-23)2/3/202334例7-2

試求衰減的指數(shù)函數(shù)e-at(a＞0)的Z變換。解將e-at在各采樣時刻的采樣值代入式(7-21)中，得(7-24)若|eatz|>1,則上式可寫成閉式的形式，即(7-25)例7-3

試求理想脈沖序列的Z變換。解因為T為采樣周期，所以2/3/202335因此，理想脈沖的級數(shù)展開式為(7-26)將上式寫成閉合形式(7-27)例7-4

試求函數(shù)ak的Z變換。解將ak在各采樣時刻的采樣值代入式(7-21)中得(7-28)將該級數(shù)寫成閉合形式，得ak的Z變換，即(7-29)2/3/202336例7-5

試求函數(shù)x(t)=sinωt的Z變換。解因為所以(7-30)通過級數(shù)求和法求取已知函數(shù)Z變換的缺點在于：需要將無窮級數(shù)寫成閉合形式。在某些情況下需要很高的技巧。Z變換的無窮級數(shù)形式(7-21)的優(yōu)點在于具有鮮明的物理含義。2/3/202337(2)部分分式法設(shè)連續(xù)時間函數(shù)x(t)的拉普拉斯變換X(s)為有理函數(shù)，并具有如下形式將X(s)展開成部分分式和的形式，即由拉氏變換知，與項相對應(yīng)的時間函數(shù)為，根據(jù)式(7-25)便可求得其Z變換為，因此，函數(shù)x(t)的Z變換可由X(s)求得(7-31)2/3/202338例7-6

利用部分分式法求取正弦函數(shù)sinωt的Z變換。解已知，將分解成部分分式和的形式，即由于拉氏變換的原函數(shù)為；再根據(jù)式(7-25)可求得上式的Z變換(7-32)2/3/202339例7-7

已知連續(xù)函數(shù)x(t)的拉氏為，求連續(xù)時間函數(shù)x(t)的Z變換。解將X(s)展成如下部分分式對上式逐項取拉氏反變換，得據(jù)求得的時間函數(shù)，逐項寫出相應(yīng)的Z變換，得(7-33)2/3/202340(3)留數(shù)計算法假如已知連續(xù)時間函數(shù)x(t)的拉氏變換X(s)及全部極點si(i=1,2,3,???,n)，則x(t)的Z變換X(z)可通過留數(shù)計算求得。先分析X(z)和X(s)的關(guān)系。由拉氏反變換式有當(dāng)對x(t)以采樣周期T進(jìn)行采樣后，其采樣值為(7-34)而x(kT)的Z變換為(7-35)2/3/202341將式(7-34)代入式(7-35)得符合收斂條件|z|＞|eTs|時，可寫成閉式將此其代入式(7-35)，得(7-36)這就是由拉普拉斯變換函數(shù)直接求相應(yīng)的Z變換函數(shù)的關(guān)系式。這個積分可以應(yīng)用留數(shù)定理來計算。2/3/202342即(7-37)式中，–si為X(s)的極點；n為X(s)的極點個數(shù)；表示求F(s)在s=–si處的留數(shù)。(7-38)若–si為X(s)的ri重極點，則(7-39)若–si為X(s)的單極點，則

2/3/202343例7-8

求x(t)=t-at的Z變換。

解由于，所以s1=0，r1=2。根據(jù)式(7-39)得求x(t)=te–at的Z變換。例7-9

解由于，所以s1=–a，r1=2。根據(jù)式(7-39)計算X(z)，即2/3/202344例7-10

已知，求X(z)。解由X(s)可知s1=–1，s2=–2均為單極點，則可根據(jù)式(7-38)計算留數(shù)，即2/3/202345常用函數(shù)的Z變換及相應(yīng)的拉氏變換如表7.1所示。這些函數(shù)的Z變換都是z的有理分式，且分母多項式的次數(shù)大于或等于分子多項式的次數(shù)。表中各Z變換的有理分式中，分母z多項式的最高次數(shù)與相應(yīng)的傳遞函數(shù)分母s多項式的最高次數(shù)相等。表7.1Z變換表X(s)x(t)或x(k)X(z)1δ(t)1e-kTsΔ(t–kT)z–k1(t)t2/3/202346表7.1Z變換表（續(xù)）t2e-atak1–e-atsinωtcosωtTe-aTe-atsinωte-atcosωt2/3/2023477.3.3Z變換性質(zhì)

Z變換有一些基本定理，可以使Z變換的應(yīng)用變得簡單和方便，在許多方面與拉普拉斯變換的基本定理有相似之處。(1)線性定理設(shè)函數(shù)x(t)、x1(t)、x2(t)的Z變換分別為X(z)、X1(z)及X2(z)，a為常數(shù)，則有(7-40)(7-41)此定理可由Z變換定義直接證得。2/3/202348(2)時移定理如果函數(shù)x(t)的z變換為X(z)，則式(7-42)亦稱延遲定理，式(7-43)亦稱超前定理。(7-42)(7-43)證明首先證明式(7-42)。令i–k=r，由則求得2/3/202349如果t＜0時x(t)=0，則x(–kT)=???=x(–2T)=x(–T)=0，則式(7-42)可寫成(7-44)延遲定理說明，原函數(shù)在時域中延遲k個采樣周期，相當(dāng)于像函數(shù)乘以z–k

。2/3/202350再證明式(7-43)，由，令i+k=r，則求得若滿足x(0)=x(T)=???=x[(k–1)T]=0，上式可簡寫為(7-45)算子zk的意義，相當(dāng)于把時間信號超前k個采樣周期。2/3/202351(3)初值定理如果函數(shù)x(t)的Z變換為X(z)，并且t＜0時有x(t)=0，則(7-46)證明由Z變換定義可得在上式中，當(dāng)z→∞時，除第一項外，其余各項均為零，即2/3/202352(4)終值定理如果函數(shù)x(t)的Z變換X(z)的極點均位于z平面的單位圓內(nèi)，且不含有z=1的二重以上的極點，則x(t)的終值為(7-47)證明由得當(dāng)z→1時，兩邊取極限得2/3/2023537.3.4Z反變換方法根據(jù)X(z)求離散時間信號x*(t)或采樣時刻值的一般表達(dá)式x(kT)的過程稱為Z反變換，記為Z-1[X(z)]。下面介紹三種常用求Z反變換的方法。(1)長除法由函數(shù)的Z變換表達(dá)式，直接利用長除法求出按z-1升冪排列的級數(shù)形式，再經(jīng)過拉氏反變換，求出原函數(shù)的脈沖序列。

X(z)的一般形式為2/3/202354用長除法求出z-1的升冪形式，即(7-48)求X(z)=的Z反變換，其中e-aT=0.5。例7-11

解用長除法將X(z)展開為無窮級數(shù)形式相應(yīng)的脈沖序列為2/3/202355(2)部分分式法通過部分分式法求取Z反變換的過程，與應(yīng)用部分分式法求取拉普拉斯反變換很相似。首先需將用部分分式法展開成形式的諸項之和，即(7-49)再將等號兩邊同乘以復(fù)變量z，通過Z反變換求取相應(yīng)的時間函數(shù)，最后將上述各時間函數(shù)求和即可。例7-12

求的Z反變換。解首先將展開成下列部分分式2/3/202356由此可得得根據(jù)t=kT，并且只考慮采樣時刻的函數(shù)值，則x*(t)還可用x(t)來表示，即再由2/3/202357(3)留數(shù)計算法留數(shù)法又稱反演積分法。實際問題中遇到的Z變換函數(shù)X(z)除有理分式外也可能是超越函數(shù)，此時無法應(yīng)用部分分式法或冪級數(shù)法來求取Z反變換，只能采用留數(shù)計算法。若x(kT)的Z變換為X(z)，則有(7-50)式中，積分曲線c為逆時針方向包圍X(z)zk-1全部極點的圓。式(7-50)可等效為(7-51)上式表明，x(kT)為函數(shù)X(z)zk-1在其全部極點上的留數(shù)之和。2/3/202358例7-13

求的Z反變換?；蚪?/p>

例7-14

求的Z反變換。

解X(z)中互不相同的極點為z1=a及z2=1，2/3/202359由此可求得X(z)的Z反變換為以上列舉了求取Z反變換的三種常用方法。其中長除法最簡單，但是由長除法得到的Z反變換是開式而非閉式，因此應(yīng)用時較為困難。而部分分式法和留數(shù)計算法得到的Z反變換均為閉式。其中z1為單極點，即r1=1；z2為二重極點，即r2=2，不相同的極點數(shù)為l=2。則2/3/2023607.4離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述

系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)中各變量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。分析連續(xù)時間系統(tǒng)時，一般采用微分方程來描述系統(tǒng)輸入變量與輸出變量之間的關(guān)系。而在分析研究離散時間系統(tǒng)時，需建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，可以采用差分方程描述在離散的時間點上（即采樣時刻），輸入離散時間信號與輸出離散時間信號之間的相互關(guān)系。2/3/2023617.4.1線性常系數(shù)差分方程對于一般的連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)，輸入和輸出信號都是連續(xù)時間的函數(shù)，用連續(xù)時間系統(tǒng)的微分方程或積分方程描述其內(nèi)在規(guī)律。而離散時間系統(tǒng)的輸入和輸出信號都是離散時間函數(shù)，kT時刻的輸出不但與kT時刻的輸入有關(guān)，還與kT時刻以前若干個采樣時刻的輸入和輸出有關(guān)，其動力學(xué)行為不能用時間的微商來描述，必須用差分方程來描述。差分方程是反映離散系統(tǒng)輸入-輸出序列之間的運算關(guān)系。微分方程中的各項包含有連續(xù)自變量的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)。差分方程中自變量是離散的，方程的各項除了包含有這種離散變量的函數(shù)，還包含此函數(shù)序數(shù)增加或減少的函數(shù)。2/3/202362設(shè)系統(tǒng)為一階慣性環(huán)節(jié)，如圖7.12(a)所示。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為其微分方程為該連續(xù)系統(tǒng)對應(yīng)的離散系統(tǒng)如圖7.12(b)所示。采樣開關(guān)Ka對輸入信號每隔T秒采樣一次，得序列。輸出經(jīng)過與Ka同步的采樣開關(guān)Kb后的序列為。下面來研究y(kT)與x(kT)之間的關(guān)系。(7-52)2/3/202363(a)(b)圖7.12連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng)的方框圖與連續(xù)時間系統(tǒng)中求解微分方程的方法一樣，對于離散時間系統(tǒng)，求解差分方程時也可以分別求出其零輸入分量和零狀態(tài)分量，然后迭加得到方程的全解。考察在t＞kT時的情況。當(dāng)t→kT而該時刻的脈沖尚未施加時，由該時刻開始的零輸入分量為(7-53)2/3/202364由于此系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是。(7-54)于是，t＞kT后的系統(tǒng)總輸出為(7-55)當(dāng)t=(k+1)T時，式(7.55)為或(7-56)(7-57)所以當(dāng)t=kT，第k個脈沖x(kT)δ(t–kT)加于系統(tǒng)后，系統(tǒng)輸出的零狀態(tài)分量為2/3/202365差分方程式(7-56)或(7-57)是描述描述了系統(tǒng)在第k個采樣周期時輸入與輸出信號的關(guān)系。從式中可以看出，差分方程的系數(shù)與采樣周期T有關(guān)。比較式(7-52)和式(7-57)可以看出，若y(t)與y(kT)相當(dāng)，則y(kT)中離散變量序號加1與y(t)對連續(xù)變量t取一階導(dǎo)數(shù)相當(dāng)，于是上面兩式中各項都可一一對應(yīng)。差分方程和微分方程不僅形式相似，而且在一定條件下還可以互相轉(zhuǎn)化。假設(shè)時間間隔T足夠小，當(dāng)t=kT時，有因此，式(7-52)可改寫為2/3/202366經(jīng)整理后，可得(7-58)式(7-58)與式(7-57)形式相同。當(dāng)T足夠小時，微分方程(7-52)可以近似為差分方程式(7-58)，采樣時間T越小，則近似得越好。對于一個物理系統(tǒng)，用常系數(shù)線性n階差分方程來描述時，一般形式為(7-59)式中，ai和bi(i=0,1,2,???,n)均為常數(shù)。式(7-59)再次說明輸出y(k)不僅取決于當(dāng)前的輸入x(k)，而且與前n個輸入x(k–i)以及前n個輸出y(k–i)有關(guān)，且其關(guān)系是線性的。2/3/2023677.4.2脈沖傳遞函數(shù)引入z變換的一個重要作用是用于導(dǎo)出離散時間線性定常系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，這為離散時間系統(tǒng)的分析和控制帶來極大的方便。(1)脈沖傳遞函數(shù)定義在線性連續(xù)系統(tǒng)中，當(dāng)初始條件為零的情況下分別取輸入r(t)和輸出c(t)的拉氏變換，則它們的比值C(s)/R(s)=G(s)稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。在離散系統(tǒng)中也有同樣的表達(dá)方法，在初始條件為零的情況下取輸出Z變換與輸入Z變換之比(7-60)上式稱為系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)，也稱z傳遞函數(shù)。2/3/202368下面從系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的角度推導(dǎo)脈沖傳遞函數(shù)，并說明其物理意義。設(shè)輸入信號r(t)經(jīng)采樣開關(guān)后為一脈沖序列，如圖7.13(a)所示。這一脈沖序列作用于系統(tǒng)的G(s)時，系統(tǒng)輸出為一系列脈沖響應(yīng)之和，如圖7.13所示。(a)(b)(c)圖7.13脈沖響應(yīng)2/3/202369當(dāng)0≤t<T時，作用于G(s)的輸入脈沖為r(0)時，則系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為式中g(shù)(t)為系統(tǒng)G(s)的單位脈沖響應(yīng)，且滿足當(dāng)T≤t<2T時，系統(tǒng)處于兩個輸入脈沖的作用下：一個是t=0時的r(0)脈沖作用，它產(chǎn)生的響應(yīng)依然存在；另一個是t=T時的r(T)脈沖作用。因此在此區(qū)間內(nèi)的系統(tǒng)輸出響應(yīng)為2/3/202370在kT≤t<1(k+1)T時，系統(tǒng)輸出響應(yīng)為(7-61)(7-62)因為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是從t=0才開始出現(xiàn)信號，當(dāng)t>0時，g(t)=0，所以當(dāng)i>k時，式(7-62)中

可見當(dāng)系統(tǒng)輸入為一系列脈沖時，輸出為各脈沖響應(yīng)之和。在t=kT時刻系統(tǒng)輸出的采樣信號值為2/3/202371因此，kT時刻以后的輸入脈沖，如r[(k+1)T],r[(k+2)T],???,不會對kT時刻的輸出信號產(chǎn)生影響，故式(7-62)中求和上限可擴(kuò)展為i→∞，可得(7-63)由Z變換的定義，得(7-64)于是有下式成立2/3/202372(7-65)令k–i=n，同樣考慮到當(dāng)n＜0時，g(nT)=0，又有(7-66)故(7-67)

G(z)就是圖7.13(b)所示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。由于式(7-67)是脈沖響應(yīng)函數(shù)的采樣序列的Z變換，所以又稱為系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)。2/3/202373有兩點需要說明：①物理系統(tǒng)在輸入為脈沖序列的作用下，其輸出量是時間的連續(xù)函數(shù)，如圖7.14的c(t)。但如前所述，Z變換只能表征連續(xù)時間函數(shù)在采樣時刻的采樣值。因此，這里所求得的脈沖傳遞函數(shù)，是取系統(tǒng)輸出的脈沖序列作為輸出量。因此，在方框圖上可在輸出端虛設(shè)一個同步采樣開關(guān)，如圖7.14所示。實際系統(tǒng)中這個開關(guān)并不存在。圖7.14z傳遞函數(shù)2/3/202374

②G(s)表示線性環(huán)節(jié)本身的傳遞函數(shù)，而G(z)表示圖7.14中的線性環(huán)節(jié)與采樣開關(guān)組合形成的傳遞函數(shù)。盡管計算G(z)時只需知道該環(huán)節(jié)的G(s)即可，但計算出來的G(z)卻包括了采樣開關(guān)。若無采樣開關(guān)且輸入信號是連續(xù)時間函數(shù)，那么就無法求出z傳遞函數(shù)，即在此情況下不能將輸入信號和線性環(huán)節(jié)分開進(jìn)行Z變換，只能求出輸出信號的Z變換。若G(s)形式比較復(fù)雜，要先展開成部分分式，以便與拉氏變換和Z變換中的基本形式相對應(yīng)。例7-15系統(tǒng)如圖7.14所示，已知

求z傳遞函數(shù)G(z)。2/3/202375解將G(s)分解成部分分式查表7.1可得例7-16離散系統(tǒng)的差分方程為

假設(shè)系統(tǒng)的初始條件為零，試求系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)。解對上式兩側(cè)進(jìn)行Z變換，由時移定理中的延遲定理，并提出公因子可

2/3/202376整理后得例7-17設(shè)離散系統(tǒng)的差分方程為

式中試求系統(tǒng)響應(yīng)c(k)。解對差分方程兩側(cè)取Z變換得整理并注意到r(k)的Z變換R(z)=1，得查表7.1Z變換表，并應(yīng)用延遲定理，可以得到2/3/202377(2)串聯(lián)環(huán)節(jié)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)當(dāng)開環(huán)離散系統(tǒng)由幾個環(huán)節(jié)串聯(lián)組成時，其脈沖傳遞函數(shù)的求法與連續(xù)系統(tǒng)情況不完全相同。即使兩個開環(huán)離散系統(tǒng)的組成環(huán)節(jié)完全相同，但是由于采樣開關(guān)的數(shù)目和位置不同，所求的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)也是截然不同的。離散系統(tǒng)中總的脈沖傳遞函數(shù)可歸納為兩種典型形式，串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)(圖7.15)和串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)(圖7.16)。1)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)圖7.15(a)所示為系統(tǒng)串聯(lián)的兩個環(huán)節(jié)G1(s)和G2(s)之間無采樣開關(guān)的情形。根據(jù)方框圖簡化原則可簡化為圖7.15(b)。開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)可由連續(xù)工作狀態(tài)的傳遞函數(shù)G1(s)和G2(s)的乘積求得2/3/202378(7-68)即等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之積的z變換。(a)(b)圖7.15環(huán)節(jié)之間無采樣器分隔上述結(jié)論可推廣到無采樣開關(guān)間隔的n個環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況。2/3/202379例7-18

兩串聯(lián)環(huán)節(jié)G1(s)和G2(s)之間無采樣開關(guān)，試求串聯(lián)環(huán)節(jié)等效的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。解串聯(lián)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為2/3/2023802)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)圖7.16環(huán)節(jié)之間有采樣器分隔圖7.16所示為兩串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)的情形。圖中采樣器T1和T2是同步的。對于第一個環(huán)節(jié)，由于前后都存在采樣開關(guān)，其輸入為采樣輸入r(kT)，輸出經(jīng)采樣器后為c1(kT)，有2/3/202381對于第二個環(huán)節(jié)，其輸入為c1(kT)，輸出為c(t)，其Z變換為兩環(huán)節(jié)串聯(lián)后，其總的脈沖傳遞函數(shù)為(7-69)

當(dāng)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)時，系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)等于這兩個環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)的乘積。上述結(jié)論可以推廣到多個環(huán)節(jié)串聯(lián)而且環(huán)節(jié)間都存在同步采樣開關(guān)的情形，總的脈沖傳遞函數(shù)等于各個環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)的乘積。2/3/202382例7-19

兩串聯(lián)環(huán)節(jié)G1(s)和G2(s)之間有采樣開關(guān)，試求串聯(lián)環(huán)節(jié)等效的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。解串聯(lián)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為說明：在串聯(lián)環(huán)節(jié)間有無采樣開關(guān)其脈沖傳遞函數(shù)是完全不同的。勿將G1G2(z)與G1(z)G2(z)相混淆。G1G2(z)表示兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)相乘后再取z變換，而G1(z)G2(z)表示G1(s)和G2(s)先各自取z變換后再相乘。通常G1G2(z)≠G1(z)G2(z)。2/3/202383(3)閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)由于采樣開關(guān)在閉環(huán)系統(tǒng)中可能存在于多個位置，因此閉環(huán)離散系統(tǒng)沒有唯一的結(jié)構(gòu)形式。下面介紹幾種常用的閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。1)設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)如圖7.17所示。圖中虛線所示的理想采樣開關(guān)是為了便于分析而虛設(shè)的。所有采樣開關(guān)都是同步工作的。在系統(tǒng)中，誤差信號是采樣的。由方框圖可得式中，E(z)、R(z)和B(z)分別是e(t)、r(t)和b(t)經(jīng)采樣后脈沖序列的Z變換；GH(z)為環(huán)節(jié)串聯(lián)且環(huán)節(jié)之間無采樣器時的脈沖傳遞函數(shù)，它是G(s)H(s)的Z變換，由以上兩式可求得2/3/202384(7-70)系統(tǒng)輸出的Z變換為C(z)=G(z)E(z)，即(7-71)或(7-72)式(7-72)為圖7.17所示閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。圖7.17閉環(huán)離散系統(tǒng)2/3/2023852)設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)如圖7.18所示。討論系統(tǒng)的連續(xù)部分有擾動輸入n(t)時的脈沖傳遞函數(shù)。此時假設(shè)給定輸入信號為零，即r(t)=0。由方框圖得到由以上兩式可求得(7-73)圖7.18擾動輸入時的離散閉環(huán)系統(tǒng)2/3/202386式中，由于作用在連續(xù)環(huán)節(jié)G2(s)輸入端的擾動未經(jīng)采樣，所以只能得到輸出量的Z變換式，而不能得出對擾動的脈沖傳遞函數(shù)，這與連續(xù)系統(tǒng)有所區(qū)別。例7-20

設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖7.19所示，試求系統(tǒng)輸出的z變換。圖7.19例7-20的閉環(huán)離散系統(tǒng)解由于2/3/202387整理，得由上式無法解出C(z)/R(z)，因此也不能求出閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。例7-21

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖7.20所示，試求閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。圖7.20例7-21閉環(huán)離散系統(tǒng)2/3/202388解系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為其閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為對于單位階躍輸入，因此，可求得輸出量C(z)如下2/3/202389系統(tǒng)輸出c(kT)如圖7.21所示。圖7.21c(kT)與kT的關(guān)系曲線2/3/202390例7-22

設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖7.22所示，試求其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。圖7.22例7-22閉環(huán)離散系統(tǒng)解從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可以得到2/3/202391以上三個方程是對輸出變量和實際采樣開關(guān)兩端的變量列出的方程，其中均有離散信號的拉氏變換。求以上三式對應(yīng)的Z變換可以得到進(jìn)一步整理，可得即由此可得系統(tǒng)的Z變換為2/3/202392由圖可見，該系統(tǒng)由于R(s)未經(jīng)采樣就輸入到G1(s)，所以系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)無法求出。根據(jù)采樣開關(guān)在閉環(huán)離散系統(tǒng)中的不同位置，表7.2列出了系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖及其輸出信號的Z變換C(z)。表7.2閉環(huán)采樣系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖C(z)2/3/202393表7.2閉環(huán)采樣系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖（續(xù)）2/3/202394(4)Z變換法的局限性1)Z變換的推導(dǎo)過程是建立在采樣開關(guān)是理想開關(guān)的基礎(chǔ)之上。即假設(shè)采樣是瞬時完成的，則采樣開關(guān)的輸出是一系列理想脈沖，在采樣瞬時每個理想脈沖的面積等于采樣開關(guān)輸入信號的幅值。前面曾經(jīng)提到，若采樣開關(guān)的持續(xù)時間遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于采樣周期，也遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于系統(tǒng)連續(xù)部分的最大時間常數(shù)時，那么上述假設(shè)是成立的。2)無論是開環(huán)還是閉環(huán)離散系統(tǒng)，其輸出大多是連續(xù)信號c(t)而不是采樣信號c(kT)。而用一般的Z變換只能求出采樣輸出c(kT)，這樣就不能反映采樣間隔內(nèi)的c(t)值。如果要研究采樣間隔內(nèi)的c(t)值，可以采用修正Z變換法或等分采樣周期法。2/3/202395

雖然Z變換是研究離散時間線性系統(tǒng)的有效工具，但由于上述原因，研究用c(kT)來代替c(t)時，就會提出精確程度的疑問，以及由此產(chǎn)生的錯誤的結(jié)果如何處理，是否存在限制條件等問題。下面對此進(jìn)行討論。用Z變換法研究(開環(huán))離散系統(tǒng)時，首先必須滿足：系統(tǒng)連續(xù)部分傳遞函數(shù)G(s)的極點至少比零點多兩個，或者滿足否則，用Z反變換所得到的c(kT)，將其用光滑曲線連接起來，與c(t)相比有較大誤差，有時甚至是錯誤的。為了說明這個問題，下面舉例進(jìn)行說明。2/3/202396例7-23

設(shè)開環(huán)離散系統(tǒng)如圖7.23所示，系統(tǒng)連續(xù)部分傳函G(s)不滿足上述條件。設(shè)r(t)=1(t)，采樣周期T=1s，試比較c*(t)與c(t)。圖7.23例7-23的開環(huán)離散系統(tǒng)解先用Z變換法求出c*(t)。因為所以2/3/202397用冪級數(shù)法將C(z)展成于是得作出c*(t)如圖7.24所示。圖7.24例7-23的采樣輸出函數(shù)求出當(dāng)系統(tǒng)連續(xù)部分的輸入為時，系統(tǒng)連續(xù)輸出c(t)，如圖7.25所示。2/3/202398由此例可知，當(dāng)假設(shè)采樣開關(guān)為理想開關(guān)的情況下，系統(tǒng)連續(xù)部分的輸入為一系列理想脈沖，當(dāng)連續(xù)部分的傳遞函數(shù)不滿足極點數(shù)比零點數(shù)多兩個的條件時，系統(tǒng)的連續(xù)輸出信號在采樣點會發(fā)生跳躍，從而導(dǎo)致了c*(t)與c(t)的顯著差別。因此，不可能用c*(t)來完整地描述c(t)。圖7.25例7-23的連續(xù)輸出函數(shù)2/3/2023997.5離散控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計

和連續(xù)時間控制系統(tǒng)一樣，離散時間控制系統(tǒng)的分析也包括四方面內(nèi)容：系統(tǒng)穩(wěn)定性、瞬態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能和最少拍設(shè)計。2/3/20231007.5.1穩(wěn)定性分析為了將連續(xù)系統(tǒng)在s平面上的穩(wěn)定性理論移植到z平面上分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先研究s平面與z平面的映射關(guān)系，隨后討論如何在z域中分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(1)s域到z域的映射在連續(xù)時間線性系統(tǒng)中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以根據(jù)特征方程的根在s平面的位置來確定。若系統(tǒng)特征方程的根都具有負(fù)實部，即都分布在s平面左半部，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由于離散時間線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是建立在z變換的基礎(chǔ)上，所以為了分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先介紹s平面和z平面之間的映射關(guān)系。2/3/2023101在Z變換定義中，z=eTs給出了s域到z域的關(guān)系。s域中的任意點可表示為s=σ+jω，映射到z域為(7-74)于是，s域到z域的基本映射關(guān)系式為(7-75)令σ=0，相當(dāng)于取s平面的虛軸，當(dāng)ω從–∞變到∞時，由式(7-74)知，映射到z平面的軌跡是以原點為圓心的單位圓。當(dāng)s平面上的點沿虛軸從–∞變到∞時，z平面上相應(yīng)的點沿著單位圓轉(zhuǎn)了無窮多圈。這是由于當(dāng)s平面上的點沿虛軸從–ωs/2移動到ωs/2時，z平面上的相應(yīng)點沿單位圓從–π逆時針變化到π，轉(zhuǎn)了一圈，其中ωs為采樣角頻率。依此類推，如圖7.26所示。2/3/2023102由圖可見，可以把s平面劃分為無窮多條平行于實軸的周期帶，其中從–ωs/2到ωs/2的周期帶為主頻帶，其余的周期帶為次頻帶。離散函數(shù)z變換的這種周期特性，也說明了連續(xù)函數(shù)經(jīng)離散化后，其頻譜會產(chǎn)生周期性的延拓。(a)(b)圖7.26s平面內(nèi)頻帶映射到z平面2/3/2023103(2)z平面內(nèi)的穩(wěn)定條件根據(jù)第3章所述，連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的閉環(huán)極點均在s平面左半部，s平面的虛軸是穩(wěn)定區(qū)域的邊界。如果系統(tǒng)中有極點在s平面右半部，則系統(tǒng)就不穩(wěn)定了，如圖7.27(a)所示。對于離散系統(tǒng)，其穩(wěn)定的條件是系統(tǒng)的閉環(huán)極點均在z平面上以原點為圓心的單位圓內(nèi)，z平面上的單位圓為穩(wěn)定域的邊界。如果系統(tǒng)中有閉環(huán)極點在z平面上的單位圓外，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。這個結(jié)論很容易得到證實。根據(jù)s域到z域的映射關(guān)系2/3/2023104可知σi與|zi|存在如下關(guān)系：在s平面內(nèi)在z平面內(nèi)σi>0右半平面(不穩(wěn)定域)|zi|>1單位圓的外部σi=0虛軸上(臨界穩(wěn)定)|zi|=1單位圓的圓周σi<0左半平面(穩(wěn)定域)|zi|<1單位圓的內(nèi)部(a)(b)圖7.27s平面與z平面的對應(yīng)關(guān)系2/3/2023105由此可見，s平面上的虛軸在z平面上映射成一個以原點為中心的單位圓。s左半平面與z平面上單位圓內(nèi)部相對應(yīng)，s右半平面與z平面上單位圓的外部相對應(yīng)。s平面和z平面的這種對應(yīng)關(guān)系如圖7.27所示。定理7.2離散時間線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：離散時間線性系統(tǒng)的全部特征根zi(i=1,2,???,n)都分布在z平面的單位圓內(nèi)，或者說全部特征根的模都小于1，即|zi|<1(i=1,2,???,n)。如果在上述特征根中，有位于z平面單位圓之外的特征根，則閉環(huán)系統(tǒng)將是不穩(wěn)定的。2/3/2023106例7-24

二階離散系統(tǒng)的方框圖如圖7.28所示。試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，設(shè)采樣周期T=1s，K=1。圖7.28二階離散系統(tǒng)解先求出系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為式中閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為2/3/2023107將K=1，T=1代入，可得特征方程的兩個根都在單位圓內(nèi)，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若保持采樣周期T=1s不變，將系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)增大到K=5，則其z特征方程為解之得到解之得到特征方程有一個根在單位圓外，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果上述二階離散系統(tǒng)是二階連續(xù)系統(tǒng)，只要K值是正的，則連續(xù)系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的。但是當(dāng)系統(tǒng)成為二階離散系統(tǒng)時，即使K值是正的，也不一定能保證系統(tǒng)是穩(wěn)定的。這就說明了采樣過程的存在影響了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2/3/2023108(3)穩(wěn)定性代數(shù)判據(jù)根據(jù)上述z平面上的穩(wěn)定條件，假如系統(tǒng)的z特征方程式為(7-76)求出該方程的根zi(i=1,2,???,n)就可知道系統(tǒng)穩(wěn)定與否。與連續(xù)系統(tǒng)相似，不求特征根zi，而借助于穩(wěn)定判據(jù)，同樣可分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。連續(xù)系統(tǒng)的勞斯-赫爾維茨判據(jù)，是通過系統(tǒng)特征方程的系數(shù)及其符號來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這個判據(jù)實質(zhì)是判斷系統(tǒng)特征方程的根是否都在s平面左半平面。但是在離散時間線性系統(tǒng)中需要判斷系統(tǒng)特征根是否都在z平面上的單位圓內(nèi)。因此連續(xù)時間線性系統(tǒng)的勞斯-赫爾維茨判據(jù)不能直接使用，必須尋找一個新變量。2/3/2023109引入z域到w域的線性變換，使新的變量w與變量z之間有這樣關(guān)系：z平面上的單位圓正好對應(yīng)于w平面上的虛軸，z平面上單位圓內(nèi)的區(qū)域?qū)?yīng)于w平面左半平面，z平面上單位圓外的區(qū)域?qū)?yīng)于w平面右半平面。這種新的坐標(biāo)變換稱為雙線性變換，或稱為W變換。滿足上述要求的變換關(guān)系是或上述變換關(guān)系的正確性證明如下：(a)在w平面的虛軸上，Re[w]=0，則有即2/3/2023110(b)w平面的左半平面，Re[w]<0，則有(c)w平面的右半平面，Re[w]>0，則有即即將式(7-77)代入系統(tǒng)的z特征方程，就可以使用代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)了。例7-25

設(shè)具有零階保持器的離散系統(tǒng)(圖7.29)，采樣周期T=0.2s，試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解已知2/3/2023111圖7.29例7-25的閉環(huán)離散系統(tǒng)相應(yīng)的Z變換為特征方程為1+G(z)=0，經(jīng)化簡后得對上式進(jìn)行W變換，簡化后得列出勞斯表，根據(jù)勞斯-赫爾維茨判據(jù)可以判定，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2/3/2023112(4)z平面上的根軌跡通常，離散時間系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為(7-78)其中G(z)為開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式(7-78)在形式上，與連續(xù)系統(tǒng)的完全相同，因此，z平面上的根軌跡作圖方法與s平面的作圖方法相同。需注意：在連續(xù)時間系統(tǒng)中，穩(wěn)定邊界是虛軸，而在離散系統(tǒng)中，穩(wěn)定邊界是單位圓。2/3/20231137.5.2瞬態(tài)響應(yīng)離散系統(tǒng)的動態(tài)特性是通過在外部輸入信號作用下的輸出曲線來反映的。瞬態(tài)響應(yīng)分析的焦點是閉環(huán)零極點對瞬態(tài)響應(yīng)的定性影響，離散系統(tǒng)的定量分析比起連續(xù)系統(tǒng)來說更為復(fù)雜。在連續(xù)時間線性系統(tǒng)中，閉環(huán)極點在s平面上的位置決定了瞬態(tài)響應(yīng)中各分量的類型。同樣，離散系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)決定于系統(tǒng)的零、極點分布。假如能找到一對主導(dǎo)極點，系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)也可由二階系統(tǒng)來近似估計。二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)是易求的，它們與參數(shù)的關(guān)系也可以查到。下面討論z平面上零、極點分布與離散系統(tǒng)瞬態(tài)性能之間的關(guān)系。2/3/2023114設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為當(dāng)r(t)=1(t)，W(z)無重極點時，有(7-79)式中常數(shù)分別為式(7-79)等號右邊第一項的Z反變換為M(1)/N(1)，它是c*(t)的穩(wěn)態(tài)分量；第二項的z反變換為c*(t)的瞬態(tài)分量。2/3/2023115圖7.30不同閉環(huán)極點的瞬態(tài)分量根據(jù)pj在單位圓內(nèi)的位置不同，所對應(yīng)的瞬態(tài)分量的形式也不同，如圖7.30所示。只要閉環(huán)極點在單位圓內(nèi)，則對應(yīng)的瞬態(tài)分量總是衰減的；極點越靠近原點，衰減越快。不過，當(dāng)極點為正時為指數(shù)衰減；極點為負(fù)或為共軛復(fù)數(shù)，對應(yīng)為振蕩衰減。2/3/20231167.5.3穩(wěn)態(tài)誤差同連續(xù)系統(tǒng)一樣，對線性離散系統(tǒng)，也可以采用采樣時刻的穩(wěn)態(tài)誤差來評價系統(tǒng)控制精度。已知系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差取決于系統(tǒng)的外部作用形式和系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)，這里僅討論單位反饋系統(tǒng)在輸入信號作用時，系統(tǒng)在采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差，以及相應(yīng)的靜態(tài)誤差系數(shù)法。設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖7.31所示，其誤差信號的Z變換為式中，Ge(z)為系統(tǒng)誤差脈沖傳遞函數(shù)，即(7-80)2/3/2023117假定Ge(z)的極點全在z平面單位圓的內(nèi)部，且用終值定理可求出采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差(7-81)圖7.31單位反饋離散系統(tǒng)下面分別討論系統(tǒng)在三種典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。2/3/2023118(1)系統(tǒng)輸入為單位階躍函數(shù)r(t)=1(t)因為，采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差為(7-82)式中，常數(shù)Kp定義為靜態(tài)位置誤差系數(shù)，與單位階躍輸入下的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差互為倒數(shù)。Kp可以從開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)直接求出，即(7-83)當(dāng)G(z)具有一個z=1的極點時，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。2/3/2023119若G(z)沒有z=1的極點，則Kp≠∞，e(∞)≠0，這類系統(tǒng)稱為0型離散系統(tǒng)；若G(z)有一個或一個以上z=1的極點，則Kp=∞，從而e(∞)=0，這類系統(tǒng)稱為I型或I型以上的離散系統(tǒng)。因此，在單位階躍函數(shù)的作用下，0型離散系統(tǒng)在采樣瞬時存在位置誤差；I型或I型以上的離散系統(tǒng)，在采樣瞬時不存在位置誤差。(2)系統(tǒng)輸入為單位斜坡函數(shù)r(t)=t因，采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差為(7-84)式中，Kv定義為靜態(tài)速度誤差系數(shù)。2/3/2023120且(7-85)當(dāng)G(z)具有兩個z=1的極點時，則系統(tǒng)的速度誤差為零。0型離散系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差為Kv=0，I型系統(tǒng)的Kv為有限值，II型系統(tǒng)Kv=∞。因此，0型離散時間系統(tǒng)不能承受單位斜坡函數(shù)的作用，I型離散時間系統(tǒng)在單位斜坡函數(shù)作用下存在速度誤差，II型和II型以上的離散系統(tǒng)在單位斜坡函數(shù)作用下不存在速度誤差。2/3/2023121(3)系統(tǒng)輸入為拋物線函數(shù)r(t)=t2/2因，采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差為(7-86)式中常數(shù)Ka定義為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)，且(7-87)當(dāng)G(z)具有三個z=1的極點時，則系統(tǒng)的加速度誤差為零。2/3/20231220型和I型系統(tǒng)的Ka=0，II型系統(tǒng)的Ka為常值，III型和III型以上系統(tǒng)的Ka=∞。因此0型和I型離散系統(tǒng)不能承受單位加速度函數(shù)的作用，II型離散系統(tǒng)在單位加速度函數(shù)作用下存在加速度誤差，只有III型和III型以上的離散系統(tǒng)在單位加速度函數(shù)作用下不存在穩(wěn)態(tài)位置誤差。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)中z=1的極點數(shù)密切有關(guān)。在連續(xù)系統(tǒng)中，把開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)的積分環(huán)節(jié)數(shù)用v來表示，把v=0,1,2,???系統(tǒng)分別稱為0型、I型、II型和III型系統(tǒng)等。因此對