自動控制理論

2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型自動控制理論普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型2描述系統(tǒng)運動的數(shù)學模型狀態(tài)變量描述狀態(tài)方程是這種描述的最基本形式。建立系統(tǒng)數(shù)學模型的方法

實驗法解析法

輸入－輸出描述微分方程是這種描述的最基本形式。傳遞函數(shù)、方框圖等其它模型均由它而導出。自動控制理論2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型3第一節(jié)列寫系統(tǒng)微分方程的一般方法用解析法建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟根據(jù)基本的物理、化學等定律，列寫出系統(tǒng)中每一個元件的輸入與輸出的微分方程式確定系統(tǒng)的輸入量與輸出量，消去其余的中間變量，求得系統(tǒng)輸出與輸入的微分方程式對所求的微分方程進行標準化處理圖2-1Ｒ-L-C電路消去中間變量，則有:自動控制理論由基爾霍夫定律得：電氣網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)1、無負載效應(yīng)的電路2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型4圖2-2R-C濾波網(wǎng)絡(luò)消去中間變量i1、i2得或?qū)懽髯詣涌刂评碚?、有負載效應(yīng)的電路對于圖2-2所示的電路，在列寫方程時必須考慮后級電路對前級電路的影響，由基爾霍夫定律列出下列方程組：2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型5求圖2-3所示彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)的數(shù)據(jù)模型由牛頓第二定律列出方程圖2-3彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)即式中：ｆ——為阻尼系數(shù)——阻尼器阻力自動控制理論ky(t)——彈簧拉力ｋ——為彈簧的彈性系數(shù)機械位移系統(tǒng)2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型6圖2-7G-M直流調(diào)速系統(tǒng)的框圖圖2-6G-M直流調(diào)速系統(tǒng)原理圖自動控制理論直流調(diào)速系統(tǒng)2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型7自動控制理論拉普拉斯變換簡稱為拉氏變換，它是一種函數(shù)之間的積分變換。拉氏變換是研究控制系統(tǒng)的一個重要數(shù)學工具,它可以把時域中的微分方程變換成復域中的代數(shù)方程，從而使微分方程的求解大為簡化。同時還引出了傳遞函數(shù)、頻率特性等概念。第二節(jié)拉普拉斯變換用拉氏變換解微分方程示意圖一、拉氏變換的定義1.定義設(shè)函數(shù)f(t)在t≥0時有定義，如果線性積分存在，則由此積分所確定的函數(shù)可寫為二、幾種典型函數(shù)的拉氏變換1.單位階躍函數(shù)1(t)數(shù)學表達式為其拉氏變換為

2.單位斜坡函數(shù)數(shù)學表達式為

其拉氏變換為

3.等加速函數(shù)數(shù)學表達式為

其拉氏變換為

4.指數(shù)函數(shù)e-at數(shù)學表達式為

其拉氏變換為

5.正弦函數(shù)sint

正弦函數(shù)定義為其拉氏變換為

6.單位脈沖函數(shù)(函數(shù))函數(shù)的表達式為其拉氏變換為

二.微分法則

設(shè)F=L[f

(t)]，則有式中：f(0),f(0),…,f(n-1)(0)為f(t)及其各階導數(shù)在t=0處的值。三.積分法則設(shè)F(s)=L[f(t)]，f(0)=0，則有四、拉氏反變換

拉氏反變換的定義如下

一般由F(s)求f(t)，常用部分分式法。首先將F(s)分解成一些簡單的有理分式函數(shù)之和，然后由拉氏變換表一一查出對應(yīng)的反變換函數(shù)，即得所求的原函數(shù)f(t)。

F(s)通常是s的有理分式函數(shù)，即分母多項式的階次高于分子多項式的階次，F(xiàn)(s)的一般式為式中a1、a2、…、an及b1、b2、…、bm為實數(shù)，m、n為正數(shù)，且m<n。如果F(s)可分解成下列分量并且F1(s)、F2(s)、…、Fn(s)的拉氏反變換可以很容易地求出，則例2.1求的拉氏反變換。解：進行反變換得五、用拉氏變換求解微分方程用拉普拉斯方法求在給定初始條件下微分方程的步驟如下：①對微分方程兩端進行拉氏變換，將微分方程變?yōu)橐許為變量的代數(shù)方程，方程中初始條件是t=0-時的值。②解代數(shù)方程，求出象函數(shù)的表達式。③用部分分式法進行反變換，求得微分方程的解。例

用拉氏變換求解微分方程。解：對微分方程兩端進行拉氏變換代入初始條件，求出象函數(shù)X(s)的表達式將X(s)展成部分分式，利用拉氏變換對照表，求出x(t)。2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型26第三節(jié)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)的定義：在零初始條件下，系統(tǒng)（或元件）輸出量的拉氏變換與其輸入量的拉氏變換之比，即為系統(tǒng)（或元件）的傳遞函數(shù)。設(shè)線性定系統(tǒng)的微分方程式為自動控制理論2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型27在零初始條件下，對上式進行拉式變換得自動控制理論于是得(2-31)2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型28

傳遞函數(shù)是由系統(tǒng)的微分方程經(jīng)拉氏變換后求得，而拉氏變換是一種線性變換，因而這必然同微分方程一樣能象征系統(tǒng)的固有特性，即成為描述系統(tǒng)運動的又一形式的數(shù)學模型。由于傳遞函數(shù)包含了微分方程式的所有系數(shù)，因而根據(jù)微分方程就能直接寫出對應(yīng)的傳遞函數(shù)，即把微分算子用復變量s表示，把c(t)和r(t)換為相應(yīng)的象函數(shù)C(s)和R(s)，則就把微分方程轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的傳遞函數(shù)。反之亦然。小結(jié)自動控制理論2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型29傳遞函數(shù)的性質(zhì)

傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)(或元件)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外施信號的大小和形式無關(guān)傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)為復變量s的有理分式，它的分母多項式s的最高階次n總是大于或等于其分子多項式D的最高階次m，即n≥m

傳遞函數(shù)不能反映非零初始條件下系統(tǒng)的運動過程一個傳遞函數(shù)是由相應(yīng)的零、極點組成一個傳遞函數(shù)只能表示一個輸入與一個輸出的關(guān)系，它不能反映系統(tǒng)內(nèi)部的特性

對于多輸入—多輸出的系統(tǒng)，要用傳遞函數(shù)矩陣去表征系統(tǒng)的輸入與輸出的關(guān)系，例如對于圖2-14所示的系統(tǒng)。自動控制理論2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型30圖2-14多輸入多輸出系統(tǒng)

由圖2-14得自動控制理論2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型31典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)特點：輸出不失真、不延遲、成比例地復現(xiàn)輸入信號的變化比例環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)特點：輸出量延緩地反映輸入量的變化規(guī)律微分方程自動控制理論2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型32積分環(huán)節(jié)特點：環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量對時間的積分成正比，即有圖2-15積分調(diào)節(jié)器例如圖2-15所示的積分器，其傳遞函數(shù)為自動控制理論對應(yīng)的傳遞函數(shù)：T---環(huán)節(jié)的時間常數(shù)2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型33微分環(huán)節(jié)理想的微分環(huán)節(jié)的輸出與輸入信號對時間的微分成正比，即圖2-16R-C網(wǎng)絡(luò)1）實用微分環(huán)節(jié)，如圖2-16所示，它的傳遞函數(shù)為：2）直流測速發(fā)電機。如圖2-17所示，圖2-17直流測速發(fā)電機自動控制理論2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型34振蕩環(huán)節(jié)特點：如輸入為一階躍信號，則環(huán)節(jié)的輸出卻呈周期振蕩形式微分方程具有式（2-37）形式的傳遞函數(shù)在控制工程中經(jīng)常會碰到，例如自動控制理論2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型351）R-L-C電路的傳遞函數(shù)2）彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)的傳遞函數(shù)3）直流他勵電動機在變化時的傳遞函數(shù)上述三個傳遞函數(shù)在化成式（2-37）所示的形式時，雖然它們的阻尼比ζ和1/T所含的具體內(nèi)容各不相同，但只要滿足0＜ζ＜1，則它們都是振蕩環(huán)節(jié)。自動控制理論2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型36純滯后環(huán)節(jié)圖2-18具有傳遞滯后的裝置則如果自動控制理論電氣網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)的求取無源網(wǎng)絡(luò)電路圖2-19無源網(wǎng)絡(luò)圖2-19中z1和z2為復數(shù)阻抗，由圖得2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型37自動控制理論即（2-41）圖2-20R-C電路例2-1

求圖2-20所示電路的傳遞函數(shù)解：由式（2-41）得2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型38自動控制理論有源網(wǎng)絡(luò)電路圖2-21有源網(wǎng)絡(luò)1圖2-22有源網(wǎng)絡(luò)2設(shè)Z1、Z2、Z3、Z4為復數(shù)阻抗，，并略去運放的輸入電流，則由圖2-21得基于上述同樣的假設(shè)，由圖2-22得即消去上述式中的中間變量I1、I2、I3、I4和UB，求得：2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型39例2-2

求圖2-23、圖2-24所示兩個有源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。1）在圖2-23中，于是得2）在圖2-24中，則由式（2-43）得圖2-23PI調(diào)節(jié)器圖2-24PD調(diào)節(jié)器2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型40第四節(jié)系統(tǒng)框圖及其等效交換繪制系統(tǒng)框圖的一般步驟1、寫出系統(tǒng)中每一個部件的運動方程式2、根據(jù)部件的運動方程式寫出相應(yīng)的傳遞函數(shù)，一個部件用一個方框表示，在框中填入相應(yīng)的傳遞函數(shù)3、根據(jù)信號的流向，將各方框單元依次連接起來，并把系統(tǒng)的輸入量置于系統(tǒng)方框圖的最左端，輸出量置于最右端例2-3繪制圖2-26所示R-C網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)框圖1）列寫該網(wǎng)絡(luò)的運動方程自動控制理論圖2-26R-C網(wǎng)絡(luò)2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型412）畫出上述兩式對應(yīng)的方框圖3）將兩方框圖按信號的流向依次連接，求得2-27c的系統(tǒng)方框圖例2-4繪制圖2-2所示R-C網(wǎng)絡(luò)方框圖1）列寫運動方程自動控制理論圖2-27圖2-26所示電路的系統(tǒng)框圖2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型422）畫出上述四式對應(yīng)的方框圖，如圖2-28a所示3）根據(jù)信號的流向，將各方框單元依次連接起來，就得到圖2-28b所示的方框圖自動控制理論圖2-28圖2-2所示電路的系統(tǒng)框圖2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型43框圖的等效變換1、串聯(lián)連接圖2-31環(huán)節(jié)的串聯(lián)連接通式：2、并聯(lián)連接圖2-32環(huán)節(jié)的并聯(lián)連接自動控制理論2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型44由圖2-32得通式：3、反饋連接圖2-33環(huán)節(jié)的反饋連接自動控制理論2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型451）負反饋連接2）正反饋連接例如4、引出點移動1）引出點后移圖2-34圖2-27所示框圖的化簡自動控制理論2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型462）引出點前移5、綜合點移動1）綜合點后移2）綜合點前移自動控制理論2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型47例2-5求圖2-35所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)解：將圖中引出點A后移,然后從內(nèi)回路到外回路逐步化簡,其過程為圖2-28所示圖2-35多回路系統(tǒng)的框圖自動控制理論2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型48圖2-36圖2-35框圖的等效變換自動控制理論2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型49第五節(jié)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

設(shè)控制系統(tǒng)的方框圖如圖2-38所示，圖中R（S）為參考輸入，D（S）為擾動信號。參照該圖，給出控制系統(tǒng)中幾種常用傳遞函數(shù)的命名和求法。圖2-38控制系統(tǒng)的方框圖開環(huán)傳遞函數(shù)與前向通道的傳遞函數(shù)系統(tǒng)反饋量B(s)與誤差信號E(s)的比值稱為開環(huán)傳遞函數(shù)。即自動控制理論2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型50

令D(s)=0，把圖2-38變?yōu)閳D2-39。圖中CR(s)和ER(s)分別為R(S)作用下的輸出與誤差。自動控制理論閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

系統(tǒng)的輸出量C(s)與誤差信號E(S)的比值稱為系統(tǒng)的前向通路傳遞函數(shù)它用下式表示：參數(shù)輸入作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)1.閉環(huán)傳遞函數(shù)CR(s)/R(s)根據(jù)式（2-46）求得系統(tǒng)相應(yīng)的輸出為：2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型51圖2-39輸入作用下的系統(tǒng)框圖如果H(s)=1，則圖2-39所示的系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)，它的閉環(huán)傳遞函數(shù)為自動控制理論2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型52擾動作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)

令r(t)=0，于是圖2-38所示的方框圖就可改畫為圖2-40。圖中CD(s)表示由擾動作用引起系統(tǒng)的輸出。自動控制理論2.閉環(huán)傳遞函數(shù)ER(s)/R(s)于是求得在參考輸入作用下誤差的閉環(huán)傳遞函數(shù)。1.閉環(huán)傳遞函數(shù)CD(s)/D(s)CD(s)與D(s)的比值稱為擾動作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)。根據(jù)式（2-46）得2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型53圖2-40擾動作用下系統(tǒng)的框圖自動控制理論2.閉環(huán)傳遞函數(shù)ED(s)/D(s)

由擾動作用產(chǎn)生的誤差ED(s)與D(s)之比，稱為擾動誤差傳遞函數(shù)。即把擾動D(s)作為系統(tǒng)的輸入，由擾動引起的誤差ED(s)為系統(tǒng)的輸出。這樣，圖2-38所示系統(tǒng)的方框圖就可改畫為圖2-41。根據(jù)式（2-46），求得擾動誤差的傳遞函數(shù)為：2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型54

當系統(tǒng)同時受到R(s)和D(s)作用時，由疊加原理可知，系統(tǒng)總的輸出為它們單獨作用于系統(tǒng)引起的輸出之和。即自動控制理論圖2-41擾動作用下系統(tǒng)的框圖同理，可求得在R(s)和D(s)共同作用下系統(tǒng)總的誤差：（5-56）（5-57）當滿足|G1(s)H(s)|>>1和|G1(s)G2(s)H(s)|>>1時，可得出如下的結(jié)論：2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型551）當|G1(s)H(s)|>>1時，由式（2-49）得自動控制理論

這表示，閉環(huán)傳遞函數(shù)CR(s)/R(s)基本上與G1(s)、G2(s)無關(guān)，它只與H(s)成反比關(guān)系：即G1(s)、G2(s)的變化不會對閉環(huán)傳遞函數(shù)產(chǎn)生明顯的影響，這是閉環(huán)系統(tǒng)的優(yōu)點之一。2）由式（2-53）可知：

由于|G1(s)H(s)|>>1，故CD(s)/R(s)很小，這表示由擾動對系統(tǒng)產(chǎn)生的影響基本被抑制，這是閉環(huán)系統(tǒng)的又一優(yōu)點。3）當H(s)=1，|G1(s)G2(s)|>>1時:2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型56第六節(jié)信號流圖和梅遜公式的應(yīng)用

信號流圖也是一種圖示法，把它應(yīng)用于線性系統(tǒng)時必須先將系統(tǒng)的微分方程組變成以s為變量的代數(shù)方程組，且把每個方程改寫為下列的因果形式。信號流圖的基本組成單元有兩個：節(jié)點和支路。

節(jié)點在圖中用“O”表示，它表示系統(tǒng)中的變量；兩變量間的因果關(guān)系用一被稱為支路的有向線段來表示。箭頭表示信號的傳輸方向，兩變量間的因果關(guān)系叫做增益，標明在相應(yīng)的支路旁。自動控制理論例如一個線性方程為2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型57下面舉例說明信號流圖繪制的步驟：繪制的步驟如圖2-43所示。圖2-43方程組的信號流程自動控制理論設(shè)一系統(tǒng)的線性方程組為：2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型58信號流圖的術(shù)語和性質(zhì)1、術(shù)語

節(jié)點—代表系統(tǒng)中的變量,并等于所有流入該節(jié)點的信號之和支路—信號在支路上按箭頭的指向由一個節(jié)點流向另一個節(jié)點輸入節(jié)點或源點—相當于自變量，它只有輸出支路輸出節(jié)點或阱點—只有輸入支路的節(jié)點，對應(yīng)于因變量通路—沿著支路的箭頭方向穿過各相連支路的途徑，稱為通路開通路—通路與任一節(jié)點相交不多于一次閉通路—通路的終點也是通路的起點，并且與任何其它節(jié)點相交不多于一次前向通路—從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的通路上，通過任何節(jié)點不多于一次，則稱該通路為前向通路回路—就是閉通路不接觸回路—一些回路間沒有任何公共節(jié)點前向通路增益—在前向通路中，各支路增益的乘積回路增益—回路中各支路增益的乘積自動控制理論2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型592、性質(zhì)

信號流圖只適用于線性系統(tǒng)支路表示一個信號對另一個信號的函數(shù)關(guān)系；信號只能沿著支路上的箭頭指向傳遞在節(jié)點上可以把所有輸入支路的信號疊加，并把相加后的信號傳送到所有的輸出支路具有輸入和輸出支路的混合節(jié)點，通過增加一個具有單位增益的支路，可以把它作為輸出節(jié)點來處理對于一個給定的系統(tǒng)，其信號流圖不是唯一的。圖2-44列出了部分常見控制系統(tǒng)的方框圖和相應(yīng)的信號流圖。自動控制理論2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型60圖2-44框圖與相應(yīng)的信號流圖自動控制理論2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型61梅遜增益公式梅遜公式用于計算輸入節(jié)點與輸出節(jié)點間的總增益，它用下式表示自動控制理論2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型62圖2-45例2-7圖例2-7試用梅遜公式求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)自動控制理論a)多回路控制系統(tǒng)的框圖b)系統(tǒng)的信號流圖2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型63解：自動控制理論2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型64第七節(jié)控制系統(tǒng)的反饋特性自動控制理論

閉環(huán)控制系統(tǒng)又名反饋控制系統(tǒng)。這類系統(tǒng)之所以被人們廣泛應(yīng)用，其原理是它有著下列開環(huán)系統(tǒng)所沒有的特性。反饋能減小參數(shù)變化對系統(tǒng)的影響圖2-46開環(huán)與閉環(huán)系統(tǒng)的框圖圖2-46(a)和(b)分別為開環(huán)和閉環(huán)系統(tǒng)的方框圖。開環(huán)系統(tǒng)的輸出假設(shè)由于參數(shù)的變化，使G(s)變?yōu)?，其中，則開環(huán)系統(tǒng)的輸出變?yōu)?023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型65自動控制理論其輸出的變化量對于圖2-46(b)所示的閉環(huán)系統(tǒng)，其輸出由變?yōu)榛谟谑堑茫?-62）（2-63）

對于式（2-62）和（2-63）可知，由于G(s)的變化，閉環(huán)系統(tǒng)輸出的變化量僅是開環(huán)系統(tǒng)輸出變化量的1/(1+GH)倍。

如令G(s)=K，H(s)=1，當K變?yōu)镵+ΔK時，其中ΔK<<K，則開環(huán)系統(tǒng)輸出的變化量為2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型66自動控制理論而閉環(huán)系統(tǒng)輸出的變化量顯然，。反饋能加快系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)圖2-47為一階系統(tǒng)的方框圖，其中k>0，α>0，開環(huán)傳遞函數(shù)相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

它們的極點分別為-α和-(K+α)。若令r(t)=δ(t),R(s)=1,則開環(huán)與閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)分別為圖2-47一階系統(tǒng)2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型67自動控制理論若令α=1，K=4，則得

由此可知，閉環(huán)系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的時間常數(shù)僅為開環(huán)系統(tǒng)的1/5(1/k+α)倍，這表明具有反饋作用的閉環(huán)系統(tǒng)，其瞬態(tài)響應(yīng)要比開環(huán)系統(tǒng)快5(1+α)倍。反饋能減小或消除干擾對系統(tǒng)的影響圖2-48直流調(diào)速系統(tǒng)的框圖圖2-48為一直流調(diào)速系統(tǒng)的框圖（忽略電感L的影響）。圖中2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型68自動控制理論——被控制量（電動機的角速度）——干擾信號（負載轉(zhuǎn)矩）——電勢系數(shù)——轉(zhuǎn)矩系數(shù)——給定電壓——反饋電壓——測速反饋系數(shù)由梅遜公式求得在擾動信號Td作用下的開環(huán)與閉環(huán)系統(tǒng)的輸出分別為開環(huán)系統(tǒng)：閉環(huán)系統(tǒng)：若令TD(s)=1/s，則開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的變化量為2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型69而閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的變化量自動控制理論（2-66）顯然，。若把圖2-48中的K換作，則有仍令Td(s)=1/s，于是得這表示由于閉環(huán)系統(tǒng)的反饋作用，擾動對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的影響完全被消除。2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型70第八節(jié)用MATLAB處理控制系統(tǒng)的數(shù)學模型自動控制理論傳遞函數(shù)模型控制系統(tǒng)常用的數(shù)學模型有以下4種形式。傳遞函數(shù)模型(tf對象)零、極點增益模型ZPK對象狀態(tài)空間模型(SS對象)動態(tài)框圖本節(jié)主要介紹傳遞函數(shù)模型和建立零、極點形式的傳遞函數(shù)。令系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

在MATLAB建立傳遞函數(shù)時，需將其分子與分母多項式的系數(shù)寫成兩個矢量，并用tf()函數(shù)給出，即Sys=tf(num，den)2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型71自動控制理論式中，num=[b0b1b2···bm]表示G(s)分子多項式的系數(shù)；

den=[a0a1a2···am]表示分母多項式的系數(shù)；Num和den都是按s的除冪次序給出。例2-8

試用MATLAB表示下列的傳遞函數(shù)解在MATLAB的命令窗口中鍵入num=[12]；%分子多項式Den=[121]；%分母多項式Sys=tf(num,den)%求傳遞函數(shù)表達式在程序中由%引導的部分是注釋語句。建立零、極點形式的傳遞函數(shù)如把傳遞函數(shù)寫成以零、極點表示的形式，即2023/2/3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型72自動控制理論

在MATLAB中采用ZPK(Z，P，K)函數(shù)