2023年初三數學圓知識點總結與典型習題精練

圓一)【圓的定義及與圓相關的定義】?在一個平面內,一條線段

OA

繞著它固定的一個端點

O

旋轉一周，另一個端點

A

所形成的圖形叫做圓。固定的端點

O

叫做圓心，這個線段

OA

叫做半徑,以點

O

為圓心的圓,記作

,讀作“圓

O

”。圓是軸對稱圖形,任何一條過圓心的直線都是它的對稱軸。如圖，將半徑為１的圓的邊上的A點與數軸的原點重合，然后沿著數軸向右滾動，滾動一周得到點A′，則點A′表達的數為__＿＿_．弦:連接圓上任意兩點間的線段叫做弦,通過圓心的弦叫做直徑?；。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧?；∮梅枴啊小北磉_。二）【圓的擬定】三)【垂徑定理及其應用】1.垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。推論１:（1)平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。（２)弦的垂直平分線通過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。（3)平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。推論２：圓的兩條平行弦所夾的弧相等2.對于一個圓和一條直線，假如具有下列五個條件中的任意兩個,那么一定具有其他三個：

（1）過圓心；

（2）垂直于弦;

(3)平分弦（直徑)；

（4)平分弦所對的劣弧;

(5)平分弦所對的優(yōu)弧，簡記為“知二推三”。3.在垂徑定理的運用中，常涉及弦長a、弦心距d(圓心到弦的距離）、半徑ｒ及弓形高h(弦所對的弧的中點到弦中點的距離)這四者的關系，它們的關系為r2=d2+(a/2)2，r=ｄ+h。例2:如圖,⊙O的直徑AB垂直于弦CD,垂足為E,若∠COD=１2０°，OE=3厘米,則OD=_____:例3:如圖，圓弧形橋拱的跨度AB=1２米,拱高ＣD＝4米，則拱橋的半徑為(）

Ａ.6.5米B．9米C.13米D．15米例4:

等腰△ABＣ的三個頂點都在⊙O上，底邊BC=8ｃｍ,⊙O半徑為5cm，求Ｓ△ABC．分為兩種情況：如圖1，當O在△ＡBC外部時,連接AＯ,交BC于D，連接OB,∵⊙Ｏ是△AＢC的外接圓，ＡＢ＝ＡＣ,∴AＯ⊥ＢC,BD=CＤ＝×8cｍ=4cｍ，在Ｒt△OBＤ中，由勾股定理得：OD=（cm),∴AＤ=AO－OD=5cm-3ｃｍ=2ｃｍ，∴S△ＡBC=×BC×AＤ=×８ｃm×2cm＝8cm2;如圖２,當Ｏ在△ＡBC內部時，連接AO，交ＢＣ于Ｄ,連接ＯB，∵ＡＤ=ＡO+OD=5cｍ+3cm=8cm,∴S△ABC=×BC×AD=×8cm×８cm＝32cm２四）【弧、弦、圓心角之間的關系】1、圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角。2、弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距。例5:如圖，OA⊥BＣ，∠AOＢ=70°，則∠AＯC的度數為__＿__，∠ＡDC的度數為___＿_．例６：

如圖,AB是⊙O的直徑,C、D是弧BＥ的兩個等分點，∠ＣOＤ＝3５°,則∠ＡOＥ的度數為＿____度.五）【圓周角定理及推論】１、圓周角:頂點在圓上,并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。2、圓周角定理:一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。推論２:半圓（或直徑）所對的圓周角是直角;９0°的圓周角所對的弦是直徑。推論３：假如三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個三角形是直角三角形。例7:如圖,點Ａ、B、C、D在⊙O上,若∠ＢDＣ=３0°，則∠BAC＝()度．例8:如圖,△ＡＢC內接于⊙O，∠C=40°，則∠ABO＝____＿度例９：如圖，已知△ABC內接于⊙Ｏ，∠C=45°，ＡB=４,則⊙O的半徑為()六）【點和圓的位置關系】設⊙O的半徑是r,點P到圓心O的距離為d，則有：

d<ｒ,點P在⊙O內;

ｄ=r,點Ｐ在⊙O上；

d＞r，點P在⊙Ｏ外。例10：在直角三角形ABＣ中，∠C=90°,ＡC=３，AB=5.若以點C為圓心，畫一個半徑為3的圓，則點A，點B和⊙Ｃ的互相位置關系為（）A.點A，點B均在⊙C內B.點A，點B均在⊙C外Ｃ.點Ａ,點B均在⊙Ｃ上Ｄ．點A在⊙C上,點Ｂ在⊙C外例11:如圖,在Rt△ABC中∠ACＢ＝９0°，AＣ=6，CB＝8,ＣD是斜邊AB上的中線，以ＡC為直徑作⊙O,設線段CＤ的中點為P,則點P與⊙O的位置關系是__＿＿_.七）【直線與圓的位置關系】直線和圓有三種位置關系,具體如下：(1)相交：直線和圓有兩個公共點時,叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓的割線,公共點叫做交點;（2）相切:直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，（3)相離:直線和圓沒有公共點時,叫做直線和圓相離。假如⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d,那么：直線ｌ與⊙O相交d<r;直線l與⊙O相切d=r；直線l與⊙O相離ｄ>r如何判斷直線與圓的關系：方法①方程的觀點,即把圓的方程和直線的方程聯立成方程組，運用判別式Δ來討論位置關系.①Δ>０，直線和圓相交.②Δ=0,直線和圓相切.③Δ<0,直線和圓相離.方法②是幾何的觀點,即把圓心到直線的距離d和半徑Ｒ的大小加以比較.①d<R，直線和圓相交.②ｄ=R,直線和圓相切.③ｄ>R，直線和圓相離．八)【圓和圓的位置關系】1、圓和圓的位置關系假如兩個圓沒有公共點,那么就說這兩個圓相離，相離分為外離和內含兩種。假如兩個圓只有一個公共點，那么就說這兩個圓相切,相切分為外切和內切兩種。假如兩個圓有兩個公共點，那么就說這兩個圓相交。2、圓心距兩圓圓心的距離叫做兩圓的圓心距。3、圓和圓位置關系的性質與鑒定設兩圓的半徑分別為R和r,圓心距為d,那么兩圓外離d>R+r兩圓外切d＝R＋ｒ兩圓相交R-r＜ｄ<R+r（R≥r)兩圓內切d=R-ｒ(R＞r)兩圓內含d<R-r(Ｒ>r)4、兩圓相切、相交的重要性質假如兩圓相切,那么切點一定在連心線上,它們是軸對稱圖形，對稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。九)【相交弦定理】1．相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點提成的兩條線段長的積相等。(通過圓內一點引兩條弦，各弦被這點所提成的兩段的積相等)。

2.相交弦定理說明:若弦ＡB、CD交于點P,則ＰA·PＢ=PC·PD。例１2:如圖，⊙Ｏ中弦AB，CD相交于點P,已知ＡP=３，ＢP=2,CＰ=1,則ＤP＝()例13：

如圖點P為弦AB上一點，連接OP，過P作PC⊥PO，ＰC交⊙O于點C,若AＰ=4，PB=2,則PＣ的長為＿＿＿_＿十）【切線及切線長】切線的鑒定和性質1、切線的鑒定定理：通過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。２、切線的性質定理：圓的切線垂直于通過切點的半徑。在應用鑒定定理時注意：線必須滿足兩個條件：a、通過半徑的外端；b、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線．②切線的鑒定定理事實上是從“圓心到直線的距離等于半徑時,直線和圓相切”這個結論直接得出來的.③在鑒定一條直線為圓的切線時，當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時,常過圓心作該直線的垂線段,證明該線段的長等于半徑，可簡樸的說成“無交點，作垂線段,證半徑”；當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時,常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線,可簡樸地說成“有交點，作半徑，證垂直”。切線長定理1、切線長:在通過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長。2、切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。十一）【三角形的外接圓與外心】三角形的外接圓:通過三角形三個頂點可以作一個圓,這個圓叫做三角形的外接圓。

三角形的外心是什么:三角形外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點,叫做這個三角形的外心。

三角形的外接圓與外心的性質:

?(1)三角形的外心到三個頂點的距離相等,等于外接圓的半徑；

?(2)一個三角形有且只有一個外接圓;

?（3)三角形外心的位置：銳角三角形的外心在三角形的內部;直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形的外心在三角形外部。例14：如圖,⊙O是△ABC的外接圓，已知∠B=60°,則∠ＣAO的度數是＝____＿度例15：如圖，⊙O是△ABＣ的外接圓，∠C＝30°，AＢ＝2cｍ，則⊙O的半徑為___＿＿＿cm．?作直徑AD,連接ＢD,得:?∠ABＤ＝90°，∠D＝∠C=30°，∴AＤ＝4,即圓的半徑是2．十二）【圓內接四邊形】圓內接四邊形的定義：假如一個多邊形的所有定點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形,這個圓叫做這個多邊形的外接圓。

圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形的對角互補。例16:已知如圖,在圓內接四邊形ＡBＣＤ中,∠Ｂ=30°，則∠Ｄ=_____.例17：

如圖,四邊形ＡBCＤ內接于⊙O，假如它的一個外角∠DCE=64°,那么∠BOD=（)例1８：如圖,已知⊙Ｏ中,∠AOB的度數為80°，C是圓周上一點，則∠ACB的度數為()十三)【正多邊形和圓的相關概念】一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心,外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑,正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形