第六章ARIMA某模型

{管理信息化VR虛擬現(xiàn)實(shí)}第六章ARIMA某模型第六章ARIMAX模型一、ARIMAX模型的概念A(yù)RIMA模型也稱為ARIMAX模型。Box和刁錦寰提出ARIMAX模型。例子1)9.11事件對(duì)道瓊斯指數(shù)的影響2）廣告對(duì)銷售量的效應(yīng)3）美國(guó)月批發(fā)物價(jià)指數(shù)對(duì)零售價(jià)指數(shù)的影響4）1960年前后時(shí)間X1、冬季X2、夏季X3對(duì)臭氧數(shù)據(jù)Yt５）固有股減少X1、道瓊斯指數(shù)X2、石油價(jià)格X3對(duì)上證指數(shù)數(shù)學(xué)模型i=1,…,k）其中，Xt(1)Xt(2)…xt(k).注：為減少參數(shù)個(gè)數(shù)，通?？紤]簡(jiǎn)化為：其中（i=1,……,k）=稱上述模型為ARIMAX模型，又稱為帶有干預(yù)序列的ARIMA模型或動(dòng)態(tài)回歸模型。這個(gè)模型

列也稱為相依序列或輸出序列，輸入序列也稱為獨(dú)立序列或預(yù)測(cè)因子序列。二、兩個(gè)獨(dú)立滑動(dòng)平均過程之和它是階數(shù)分別為的兩個(gè)獨(dú)立平均過程之和即均是均值為零的白噪聲且相互獨(dú)立記可得的自相關(guān)函數(shù)當(dāng)時(shí)為零故可表示成階的單一滑動(dòng)平均過程為零均值白噪聲（證明可參考Hamiton三、附加噪聲對(duì)一般模型的影響考慮ARIMA設(shè)本身不可觀測(cè)，只能觀測(cè)到表示有關(guān)的附加的噪聲，則對(duì)有若對(duì)有即則有四、帶有回歸項(xiàng)和時(shí)間序列誤差的模型為解釋變量，而誤差是一個(gè)ARMA（p,q，的最小二乘估計(jì)為，并具有性質(zhì)。的樣本性質(zhì)和統(tǒng)計(jì)推斷的方=1t-統(tǒng)計(jì)量及置信區(qū)間等就不再有效。例：，的子協(xié)方差為。的最小二乘估計(jì)為，它的方差為：如果模型中誤差為不相關(guān)的，我們會(huì)取，而這會(huì)引起明顯的錯(cuò)誤推斷。的殘差稱為廣義最小二乘估計(jì)為。在實(shí)際中，根據(jù)噪聲項(xiàng)確定具體的ARMA模型，可以確定協(xié)方差的具體形式，并可找到一個(gè)

以必須在計(jì)算和極大似然估計(jì)以及模型中的參數(shù)之間迭代。（BOXJENKINSp415-420）三、附加噪聲的傳遞函數(shù)模型干擾或噪聲和的水平獨(dú)立，且添加到有關(guān)的影響上，它們可以寫成干預(yù)序列如果噪聲模型可以用ARIMA(p,d,q)過程表示這里是白噪聲，則模型最終可以寫成：互協(xié)方差和互相關(guān)系數(shù)一般地，一個(gè)雙變量隨機(jī)過程無須是平穩(wěn)的，但適當(dāng)進(jìn)行差分后的過程是平穩(wěn)的，這里。一般，但稱之為互協(xié)方差，和互相關(guān)系數(shù)P470）互協(xié)方差和互相關(guān)的估計(jì)假設(shè)對(duì)原始的輸入輸出序列作了d次差分后有n=N-dk互協(xié)方差系數(shù)的估計(jì)值為：傳遞函數(shù)模型的識(shí)別對(duì)預(yù)白噪化輸入的傳遞函數(shù)模型的識(shí)別穩(wěn)的，并且可由ARMA模型來描述，那么可以對(duì)用通常的識(shí)別和估計(jì)方法得到一個(gè)模型：計(jì)。如果我們對(duì)使用同樣的變換得到：則原模型可以寫為：其中轉(zhuǎn)換后的噪聲序列有將上式兩邊同時(shí)乘以并取數(shù)學(xué)期望，我們得到：于是應(yīng)函數(shù)成正比。在實(shí)際中我們并不知道理論互相關(guān)函數(shù)，故我們可以用其估計(jì)量替代：噪聲模型的識(shí)別假設(shè)模型可以寫成（如果必要，做適當(dāng)?shù)牟罘种螅┯们懊嫠龇椒ńo出傳遞函數(shù)的初步估計(jì)后，噪聲序列的估計(jì)由下式得到：還可以用初步識(shí)別所確定的試用傳遞函數(shù)模型來替代。于是的計(jì)算：先通過寫為遞推計(jì)算出，然后由計(jì)算噪聲序列。假如輸入可以被完全白燥化，出了獨(dú)立性的假設(shè)，從而也獨(dú)立。由此計(jì)算得到模型識(shí)別后可以用條件平方和法進(jìn)行參數(shù)的計(jì)算。干預(yù)模型其中代表干預(yù)事件的影響是噪聲它表示在沒有干預(yù)影響時(shí)序列的變化一般可設(shè)是一個(gè)ARIMA（p,d,q）即干預(yù)序列分為脈沖式干預(yù)序列和持續(xù)式干預(yù)序。列。脈沖式干預(yù)序列：

持續(xù)式干預(yù)序列：一般有兩種通用的形式①它表示在時(shí)刻T之后干預(yù)的影響仍保留下去的情形②它可表示暫時(shí)或瞬間干預(yù)的影響干預(yù)分析模型可表示為+持續(xù)式干預(yù)序列需預(yù)白噪聲化，即先將干預(yù)序列擬合ARIMA模型。預(yù)白噪聲：用途：①對(duì)非脈沖干預(yù)因子，有可能計(jì)算機(jī)不好計(jì)算②估計(jì)干預(yù)因子對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)的推移算子有關(guān)附加異常值與新息異常值模型1．設(shè)～ARIMA（p,d,q）若在時(shí)刻T附加異常值，則有稱之為附加異常值模型（AOModel）2．新息異常值（IO）模型=[]第三節(jié)SAS實(shí)現(xiàn)計(jì)算一、差分輸入序列的差分由CROSSCORR=選項(xiàng)來指定，并且如同相應(yīng)序列的差分那樣工作。例如Identify=var=y(1)crosscorr=(x1(1)x2(1))表示對(duì)Y作一階差分，對(duì)X1,X2作一階差分，在隨后的ESTIMATE語句中，任何在INPUT=選

項(xiàng)中用到X1和X2時(shí)，這些名字指差分序列。二、使用輸入序列identifycrosscorr=選項(xiàng)中列出輸入序列，并在隨后的ESTIMATE語句中用INPUT=選項(xiàng)說明它們是如何進(jìn)入模型的。Procarimadata=a;Identifyvar=salescrosscorr=price;Estimateinput=price;本例使用一個(gè)稱作price的序列來幫組對(duì)salessales關(guān)于price的簡(jiǎn)單線性回歸，生成和procreg過程相同的結(jié)果。由這些語句所得出的估計(jì)模型的數(shù)學(xué)形式為：模型中可以使用任意多個(gè)輸入變量，例如：Procarimadata=a;Identifyvar=salescrosscorr=（priceine）;Estimateinput=(priceine);由這些語句所得出的估計(jì)模型的數(shù)學(xué)形式為：三、延遲和差分輸入序列procarimadata=a;identifyvar=sales(1)crosscorr=price(1);estimateinput=(1$price);run;這些語句給出估計(jì)模型其中price的一階滯后由input=(1$price).說明。四、帶ARMA誤差的回歸可以把輸入序列與關(guān)于誤差的ARMA模型結(jié)合起來。建立回歸模型，但回歸模型的誤差（噪聲序列）假定是一個(gè)時(shí)間序列模型。procarimadata=a;identifyvar=salescrosscorr=(priceine);estimatep=1q=1input=(priceine);run;這些語句給出估計(jì)模型：五、平穩(wěn)性和輸入序列聲序列相同，但是如果存在輸入，則在輸入的影響消除后，噪聲序列變?yōu)闅埐睢?/p>

聲是平穩(wěn)的。當(dāng)使用輸入序列時(shí)，你可以首先不假定誤差為ARMA模型的情況下擬合輸入變量，然后再對(duì)

噪聲部分?jǐn)M合一個(gè)ARMA模型前考慮一下殘差的平穩(wěn)性。識(shí)別帶有ARMA誤差的回歸模型對(duì)于ARIMA模型可以用identify語句進(jìn)行識(shí)別。當(dāng)響應(yīng)序列依賴于輸入變量時(shí)，這種識(shí)別ARIMA均值調(diào)整后的序列不再是噪聲序列的一個(gè)估計(jì)。然后對(duì)此殘差序列應(yīng)用ARIMA模型識(shí)別過程。通常此時(shí)我們假定噪聲過程是平穩(wěn)的。ESTIMATE語句中的PLOT選項(xiàng)為模型的殘差生成與IDENTIFY語句為響應(yīng)序列生成的一樣的散點(diǎn)圖。PLOT選項(xiàng)打印出殘差序列的自相關(guān)、偏相關(guān)和逆相關(guān)系數(shù)圖。

下列語句演示了識(shí)別帶回歸變量，噪聲過程為ARMA(1,1)模型procarimadata=a;identifyvar=salescrosscorr=(priceine)noprint;estimateinput=(priceine)plot;run;estimatep=1q=1input=(priceine)plot;run;此例中，IDENTIFY語句包括NOPRINT選項(xiàng)是因?yàn)轫憫?yīng)變量的自相關(guān)圖在序列依賴于輸入變量時(shí)是沒有什么作用的，所以不顯示出來。第一個(gè)ESTIMATEPLOT選項(xiàng)生成了對(duì)于pricehe和ine回歸的殘差的自相關(guān)、偏相關(guān)和逆相關(guān)系數(shù)圖。通過PLOTARMA(1,1)個(gè)ESTIMATE語句擬合最終的模型。為ARIMA模型的識(shí)別。六、干預(yù)模型和中斷時(shí)間序列脈沖干預(yù)此時(shí)，輸入變量在某時(shí)刻為1而在其它時(shí)間為0。這類干預(yù)變量也稱為脈沖函數(shù)。下列語句假設(shè)SALES是月度數(shù)據(jù)，一個(gè)廣告是在March1992。下列語句假設(shè)saless是ARMA(1,1)。估計(jì)干預(yù)的效果。dataa;seta;ad=date='1mar1992'd;

run;procarimadata=a;identifyvar=salescrosscorr=ad;estimatep=1q=1input=ad;run;連續(xù)干預(yù)梯函數(shù)。例：考慮新聞對(duì)某產(chǎn)品需求的影響。假設(shè)1992年三月有報(bào)道說某產(chǎn)品可預(yù)防心臟病，那么在此后sales持續(xù)的較高。下列程序?qū)@種干預(yù)效果進(jìn)行建模。dataa;seta;news=date>='1jul1996'd;run;procarimadata=a;identifyvar=salescrosscorr=news;estimatep=1q=1input=news;run;相互作用可以在模型中包含多個(gè)干預(yù)變量。干預(yù)變量可以是脈沖式的也可以是連續(xù)干預(yù)等任何形式。的時(shí)間序列，你就可以通過利用輸入變量用PROCARIMA對(duì)于誤差過程擬合任何一個(gè)ARMA模型相連的一般線性模型。此時(shí)輸入變臉對(duì)應(yīng)于線性模型中的設(shè)計(jì)矩陣。有理轉(zhuǎn)移函數(shù)和分布時(shí)滯模型輸入序列進(jìn)入模型的途徑也叫轉(zhuǎn)移函數(shù)。因此帶輸入序列的ARIAM模型也叫轉(zhuǎn)移函數(shù)模型。有理函數(shù)的復(fù)雜轉(zhuǎn)移函數(shù)。這些轉(zhuǎn)移函數(shù)如同作用于ARMA或誤差項(xiàng)一樣作用于輸入序列。分子因子procarimadata=a;identifyvar=salescrosscorr=price;estimateinput=((123)price);run;這些語句估計(jì)下列模型：該模型把PRICE對(duì)SALES的影響擬合為PRICESALES關(guān)于和PRICE,LAG(PRICE),LAG2(PRICE),和LAG3(PRICE)的多元線性回歸。

列所滿足ARMA的MA部分。分母因子所滿足ARMA的AR部分。分母因子是把指數(shù)加權(quán)和無窮分布時(shí)滯引入轉(zhuǎn)移函數(shù)。為了說明帶分母因子的轉(zhuǎn)移函數(shù)，需將分母因子置于INPUT=選項(xiàng)的斜杠號(hào)（/）之后。procarimadata=a;identifyvar=salescrosscorr=price;estimateinput=(/(1)price);

run;上述轉(zhuǎn)移韓式為：這個(gè)轉(zhuǎn)移函數(shù)也可以等價(jià)地寫為：某個(gè)極限值。有理轉(zhuǎn)移函數(shù)在INPUT=選項(xiàng)中組合各種分子分母因子，就可以指定任意復(fù)雜程度的有理轉(zhuǎn)移函數(shù)。input=(k$(-lags)/(-lags)x)INPUT和轉(zhuǎn)移函數(shù)的進(jìn)一步說明：輸入變量及其轉(zhuǎn)移函數(shù)可以通過ESTIMATE語句的INPUT=選項(xiàng)指定，這些變量必須在IDENTIFY語句的CROSSCORR=選項(xiàng)中列出。如果在CROSSCORR中給出的是差分，那么也是差分變量作為在INPUT中用于轉(zhuǎn)移函數(shù)的。ESTIMATE...INPUT=(transfer-functionvariable...)轉(zhuǎn)移函數(shù)可以用作純回歸轉(zhuǎn)移函數(shù)可以特殊化為：S$(L1,1,L1,2,...)(L2,1,...).../(Li,1,Li,2,...)(Li+1,1,...)...S是輸入變量的延遲時(shí)間(lag)(/)之前為分子及其因子，之后為分母及其因子。各個(gè)不同的變量用逗號(hào)隔開。項(xiàng)Li,1,Li,2,...,Li,k表示下列形式：第一個(gè)分母因子的形式依賴于ALTPARM1被自由參數(shù)替代。.AlternativeModelParameterizationALTPARMOptionINPUT=OptionALTPARMModelINPUT=((12)(12)/(1)X)No;Yes差分和輸入變量如果對(duì)響應(yīng)變量和輸入變量作差分，那么差分運(yùn)算并不改變模型的意義。如要擬合模型：那么IDENTIFY語句為：identifyvar=y(1,12)crosscorr=x(1,12);estimateq=1input=(/(1)x)noconstant;如果差分部分寫為：identifyvar=y(1,12)crosscorr=x;estimateq=1input=(/(1)x)noconstant;那么模型為：由VAR=分。識(shí)別轉(zhuǎn)移函數(shù)模型Identify語句中的CROSSCORR=選項(xiàng)打印出了不同時(shí)間間隔的響應(yīng)序列和輸入序列的樣本互必須對(duì)輸入序列的預(yù)白燥化模型對(duì)輸入和響應(yīng)變量序列進(jìn)行濾波。預(yù)白噪聲處理對(duì)于兩者之間的關(guān)系會(huì)給出誤導(dǎo)性指示。解決這個(gè)問題的方法就是預(yù)白噪聲處理。首先用一個(gè)ARIMA樣的模型過濾響應(yīng)序列，并計(jì)算過濾后響應(yīng)序列和過濾后輸入序列的互相關(guān)序列。當(dāng)在用響應(yīng)序列的IDENTIFY語句前，使用IDENTIFY和ESTIMATE語句來擬合關(guān)于輸入序列的模型時(shí)，ARIMA過程自動(dòng)地執(zhí)行這個(gè)預(yù)白燥化。如果一個(gè)不帶輸入的模型先用來擬合CROSSCORR=理，然后才可以計(jì)算輸入序列的互相關(guān)函數(shù)。例procarimadata=in;identifyvar=x;estimatep=1q=1;identifyvar=ycrosscorr=x;X和Y都被ARMA(1,1)模型過濾，然后計(jì)算過濾后的互相關(guān)系數(shù)。ESTIMATE和FORECAST語句中使用未過濾序列，并且Y在自身時(shí)間間隔上的相關(guān)系數(shù)利用未經(jīng)過濾的Y序列計(jì)算。但ESTIMATE預(yù)白燥化處理的結(jié)果不同。為了取消對(duì)輸入變量的預(yù)白燥化的處理，可以在IDENTIFY語句中使用CLEAR選項(xiàng)，以使PROCARIMA忘記以前所有模型。預(yù)白噪聲化合差分如果VAR=和CROSSCORR=選項(xiàng)指定了差分操作，則序列在預(yù)白噪聲化前作差分。帶輸入變量的預(yù)測(cè)為了使用帶輸入的ARIMADATA=dataset中給出預(yù)測(cè)時(shí)刻的輸入變量值，或者用PROCARIMA預(yù)測(cè)輸入變量的值。如果在FORECAST語句使用的數(shù)據(jù)集中沒有輸入變量的未來值，則你必須在ARIMA模型過程ARIMA模型來擬合需要預(yù)測(cè)FORECAST語句自動(dòng)對(duì)于輸入序列使用ARIMA模型以生成所需輸入的預(yù)測(cè)值。下列語句在擬合和預(yù)測(cè)SALES之前，用AR(2)擬合PRICE的變化量。FORECAST語句使用此AR(2)自動(dòng)地預(yù)測(cè)PRICE來獲取生成SALES預(yù)測(cè)的未來輸入值。procarimadata=a;identifyvar=price(1);estimatep=2;identifyvar=sales(1)crosscorr=price(1);estimatep=1q=1input=price;forecastlead=12interval=monthid=dateout=results;run;來自DATA數(shù)據(jù)集的輸入值和由PROCARIMA預(yù)測(cè)的輸入值可以結(jié)合起來。例如關(guān)于SALES的

模型可以有三個(gè)輸入序列:PRICE,INCOME,andTAXRATE從另一途徑獲取的INCOME預(yù)測(cè)值，但這僅僅是你想獲得的最初幾個(gè)時(shí)刻的SALES預(yù)測(cè)值。

沒有用前面例子中的方法預(yù)測(cè)的PRICE的未來值。SALES和PRICE賦值為丟

失值，對(duì)TAXRATE賦值為它的上一個(gè)真實(shí)值，而對(duì)于INCOME在有預(yù)測(cè)值的時(shí)刻賦值為預(yù)測(cè)

值而在以后的時(shí)刻賦值為丟失值。在PROCARIMA階段，先要估計(jì)關(guān)于PRICE和INCOME的

ARIMA模型，然后再估計(jì)SALES的模型。procarimadata=a;identifyvar=price(1);estimatep=2;identifyvar=ine(1);estimatep=2;identifyvar=sales(1)crosscorr=(price(1)ine(1)taxrate);estimatep=1q=1input=(priceinetaxrate);forecastlead=12interval=monthid=dateout=results;run;在預(yù)測(cè)SALES,ARIMA過程用做輸入的值是使用ARIMA模型產(chǎn)生的PRICE的預(yù)測(cè)值，DATA=的數(shù)據(jù)集中的TAXRATEDATA=的數(shù)據(jù)集中找到的INCOMEARIMA模型在INCOME缺失時(shí)所得的預(yù)測(cè)值。例5.41955年至1977年大氣臭氧數(shù)據(jù)，試建立ARIMAX模型，以1966年前后，1965年后的冬夏為干預(yù)引子，并預(yù)報(bào)1978年臭氧數(shù)據(jù)。解：用ozone表示臭氧數(shù)據(jù)，x1表示1966年前后不同（1966年前為0，1966年后為1summer,winter表示夏冬（夏冬分別表示為1,其余為0ozone作年差分以便絕大部分為0。模型如下：（1－B12）(0zonet-a*x1t)=c*summer+d*winter+(1-eB)(1-Fb12)at程序如下：dataair;dot=1to228/*最后10個(gè)為預(yù)報(bào)值*/;inputozone@@;year=int((t-0.2)/12)+1955;month=(t-(year-1955)*12);x1=year>=1960;summer=(5<month<11)*(year>1965);winter=(year>1965)-summer;output;end;cards;...;procarimadata=air;identifyvar=ozone(12)crosscorr=(x1(12)summerwinter)noprint;

estimateq=(1)(12)input=(x1summerwinter)noconstantmethod=mlitprint;

forecastlead=12id=tinterval=month;run;quit;/*結(jié)束arima程序*/參數(shù)的最大似然估計(jì)ParameterEstimatetValueApproxPr>|t|VariableMA1,1-0.26684-3.98<.0001ozoneMA2,10..83<.0001ozoneNUM1-1.33062-6.92<.0001x1NUM2-0.23936-4.02<.0001summerNUM3-0.08021-1.610.1071winter/*可嘗試去掉*/AIC＝501.7696SBC＝518.3602適應(yīng)性檢驗(yàn)(通過)Lagchisquarepr>chisq67.470.11321210.210.42201814.530.55932419.990.58343027.000.51803632.650.5336給出模型Nomeanterminthismodel.（無均值）MovingAverageFactors（滑動(dòng)平均因子）第一個(gè)因子：Factor1:1+0.26684B**(1)第二個(gè)因子：Factor2:1-0.76665B**(12)輸入因子：InputNumber1（第一個(gè)輸入（干預(yù)）因子）InputVariable（變量名）：x1Period(s)ofDifferencing（差分階數(shù)）：12OverallRegressionFactor（系數(shù)）：-1.33062InputNumber2（第二個(gè)輸入因子）InputVariable（變量名）：summerOverallRegressionFactor（系數(shù)）：-0.23936InputNumber3（第三個(gè)輸入因子）InputVariable（變量名）：winterOverallRegressionFactor（系數(shù)）：-0.0802模型為：給出預(yù)報(bào)值：Forecastsforvariableozone

ObsForecastStdError95%ConfidenceLimits2171.42050.7966-0.14072.98172181.84460.82440.22873.46042192.45670.82440.84084.07252202.85900.82441.24314.47482213.15010.82441.53424.76592222.72110.82441.10534.33702233.31470.82441.69894.93062243.47870.82441.86295.09462252.94050.82441.32474.55642262.35870.82440.74293.97462271.85880.82440.24293.47462281.28980.8244-0.32602.9057例5.5某天然氣爐的天然氣輸入速率x和co2輸出速率y,3044個(gè)co2x為干預(yù)因子,建立ARIMAX數(shù)學(xué)模型并預(yù)報(bào)下5個(gè)co2值。解：先對(duì)x實(shí)行預(yù)白噪聲化：dataseriesj;dot=1to300;inputxy@@;output;end;cards;...;procarimadata=seriesj;identifyvar=xnlags=10;run;輸出結(jié)果：樣本自相關(guān)函數(shù)指數(shù)衰減；偏、逆自相關(guān)函數(shù)截尾。可認(rèn)為是AR(ｐ)模型，并試用AR(ｐ)模型。程序如下：estimatep=3;run;輸出結(jié)果：ConditionalLeastSquaresEstimation（參數(shù)的條件最小方差估計(jì)）StandardApproxParameterEstimateErrortValuePr>|t|Lag

MU-0.118050.10911-1.080.28010AR1,11.969720..95<.00011AR1,2-1.365360.09922-13.76<.00012AR1,30.339750.054806.20<.00013AIC-142.256SBC-127.441AutocorrelationCheckofResiduals（適應(yīng)性檢驗(yàn)）ToChi-Pr>LagSquareDFChiSq69.3630.02491218.3090.03191826.73150.03112430.02210.09153034.15270.16173639.22330.21094242.22390.33364843.90450.5185表明基本符合白噪聲條件，可認(rèn)為預(yù)白噪聲成功。再采用干預(yù)模型。試用模型：程序?yàn)椋篿dentifyvar=ycrosscorr=(x)nlags=10;estimateinput=(3$(1,2)/(1,2)x)plot;run;輸出結(jié)果：ConditionalLeastSquaresEstimation（參數(shù)估計(jì)值）StandardApproxParameterEstimateErrortValuePr>|t|LagVariableMU53.322370.81.24<.00010yNUM1-0.628610.25385-2.480.01390xNUM1,10.472670.622580.760.44831xNUM1,20.736340.810520.910.36442xDEN1,10.154290.905390.170.86481xDEN1,20.277630.573800.480.62892xAIC729.7249SBC751.7648

AutocorrelationCheckofResiduals

ToChi-Pr>LagSquareDFChiSq6496.456<.000112498.5812<.000118539.3818<.000124561.8724<.000130585.9030<.000136592.4236<.000142593.4442<.000148601.9448<.0001由于chisquare值很大，prob值很小，表明殘差序列相關(guān)，模型擬合得不好。CrosscorrelationCheckofResidualswithInputxToChi-Pr>LagSquareDFChiSq50.4820.7856110.9380.9987172.68140.99952319.50200.48942920.44260.77033524.62320.82104131.13380.77744732.13440.9080殘差序列不互相關(guān)，不需變動(dòng)干預(yù)因子試用模型：程序?yàn)椋篹stimatep=2input=(3$(1,2)/(1,2)x);run；輸出結(jié)果：ConditionalLeastSquaresEstimation(參數(shù)的條件最小方差估計(jì)值)StandardApproxParameterEstimateErrortValuePr>|t|LagVariableMU53.263370.4.30<.00010yAR1,11.533030..19<.00011yAR1,2-0.632860.05017-12.62<.00012yNUM1-0.536170.07552-7.10<.00010xNUM1,10.363790.149402.430.01551xNUM1,20.507420.157623.220.00142xDEN1,10.571120.209302.730.00681xDEN1,2-0.016450.14486-0.110.90972xAIC10.27807（偏大）SBC39.66466（偏大）試用模型：程序?yàn)椋篹stimatep=2input=(3$(1,2)/(1)x);run；輸出結(jié)果：ConditionalLeastSquaresEstimation（參數(shù)的條件最小方差估計(jì)值）StandardApproxParameterEstimateErrortValuePr>|t|LagVariableMU53.263060.6.60<.00010yAR1,11.532910..25<.00011yAR1,2-0.632970.05006-12.64<.00012yNUM1-0.535220.07482-7.15<.00010xNUM1,10.376020.102873.660.00031xNUM1,20.518940.107834.81<.00012xDEN1,10.548410..35<.00011xAIC8.29281SBC34.00607AutocorrelationCheckofResiduals（適應(yīng)性檢驗(yàn)）ToChi-Pr>LagSquareDFChiSq68.6140.07171215.43100.11721821.13160.17342427.52220.19223036.94280.12023644.26340.11184245.62400.25004848.60460.3688適應(yīng)性檢驗(yàn)通過。給出模型：ModelforvariableyEstimatedIntercept（均值估計(jì)值）53.26306

AutoregressiveFactors（自回歸因子）

Factor1:1-1.53291B**(1)+0.63297B**(2)

InputNumber1（第一個(gè)干預(yù)因子）InputVariable（變量名）：xShift（差分階數(shù)）：3NumeratorFactors（分子因子）Factor1:-0.5352-0.37602B**(1)-0.51894B**(2)

DenominatorFactors（分母因子）

Factor1:1-0.54841B**(1)模型為：預(yù)報(bào)語句：forecastlead=5;run;輸出結(jié)果：ForecastsforvariableyObsForecastStdError95%ConfidenceLimits29756.52660.242556.051257.002029856.04370.443955.173656.913829955.60200.608754.409056.794930055.21110.737053.766656.655630154.81170.880653.085756.5376作業(yè)：設(shè)太陽黑子和某地年降水?dāng)?shù)據(jù)分別是,用ARIMAX模型擬合，寫出相應(yīng)的程序。第四節(jié)單位根檢驗(yàn)含單位根的單元過程一．AR(1)～iidN(0,且y0，得到…，可得的OLS估計(jì)得=，如果的真實(shí)值的絕對(duì)值小于1。則有如果在時(shí)，上式也成立，則似乎可斷言有零方差，或者這一分布聚向零點(diǎn)：但上式無法檢驗(yàn)：，為了得到單位根情形下的非退化漸近分布，我們必須乘以T,即此時(shí)以更快的速度收斂于1若時(shí)()=（*）首先考察上式的分子，在時(shí)，該模型描述了一個(gè)隨機(jī)游動(dòng)。有…故～，又-因兩邊同時(shí)除以得而～意味著～。而也是T個(gè)i.i.d隨機(jī)變量的和，每個(gè)的均值為。由大數(shù)定律知故，其中～。對(duì)于（*故，為了獲得一個(gè)具有收斂分布的隨機(jī)變量，量要除以，正如（*）的分母一樣。

OLS估計(jì)距真實(shí)值的偏離要乘以T以得到一個(gè)漸近

標(biāo)準(zhǔn)分布的比。的漸近分布在后面論述。二、布朗運(yùn)動(dòng)~iidN(0,1)~N(0,t)且對(duì)任意時(shí)期，它獨(dú)立于時(shí)期r和q之間的變化?？疾斓街g的變化。如果將看成兩個(gè)獨(dú)立的高斯變量之和將與和在某個(gè)中間點(diǎn)（如）的值間的變化聯(lián)系起來：數(shù)時(shí)期和非整數(shù)期的性質(zhì)。即，且獨(dú)立與任何其它非重疊區(qū)間上的變化。同理，可設(shè)想將t-1和t的區(qū)間的變化分成N個(gè)不同的子時(shí)期有。當(dāng)時(shí)的極限,是一個(gè)連續(xù)時(shí)間過程,稱為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),該過程在t時(shí)之值記為w(t)定義:標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)連續(xù)時(shí)間過程,與每一個(gè)時(shí)期對(duì)應(yīng)的數(shù)值為w(t),它是有:是多元高斯的且(c):對(duì)任意實(shí)現(xiàn)w(t)以概率為1關(guān)于t連續(xù)。三、函數(shù)形式的中心極限定理布朗運(yùn)動(dòng)的用途之一是允許中心極限定理有更為一般的結(jié)論。如果有零均值和方差,則樣本均值(中心極限定理)當(dāng)給定容量為T的一個(gè)樣本，我們計(jì)算前半個(gè)樣本的均值，而將其余觀測(cè)值拋開：另外，這一估計(jì)量獨(dú)立于用后半個(gè)樣本的估計(jì)量。一般地，取定義則，它是r的分段函數(shù)，有：于是：但是而，故有（1）對(duì)于，如果我們考察基于觀測(cè)值的樣本均值的行為，我們可以得到的結(jié)論也是漸近正態(tài)的：并且獨(dú)立于（1）中的估計(jì)量，其條件是。更一般的有:上式稱為是函數(shù)形式的中心極限定理。特別地:。隨機(jī)過程，而表示它在時(shí)刻t1是r的連續(xù)函數(shù)。對(duì)于這樣一個(gè)連續(xù)函數(shù)序列。我們稱，如果下面（a）(b)(c)全成立：（a）對(duì)于任意k有限時(shí)期K維隨機(jī)向量序列收斂于向量的分布，其中（b）T一致地趨于零。（c）當(dāng)時(shí)，關(guān)于T一致地成立。連續(xù)映射定理其中g(shù)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。對(duì)于隨機(jī)函數(shù)序列也有一個(gè)相似的結(jié)果成立。連續(xù)映射定理表明，只要，且是一個(gè)連續(xù)泛函，則有：。連續(xù)映射定理也可以應(yīng)用到（0,1）上的一個(gè)連續(xù)有界

函數(shù)映射到（0,1）上的另一個(gè)連續(xù)有界函數(shù)的連續(xù)泛函。故有:，由于，意味著考察在r的值為則單位根過程的應(yīng)用對(duì)將上式兩邊同乘以得到當(dāng)故有:又:則有故它是個(gè)具有N的隨機(jī)變量之前定義的:故可得:類似的可得:上述結(jié)果綜述如下:定理:假設(shè)是一個(gè)隨機(jī)游動(dòng),,則有:(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)(h)上述定理用W(r)a(b)是一個(gè)分布,(c)d）是分布。該定理可用于計(jì)算含單位根的統(tǒng)計(jì)量的漸近分布。下面討論幾種重要形式的DF檢驗(yàn)：1.無常數(shù)或時(shí)間趨勢(shì)的回歸:真實(shí)過程是一個(gè)隨機(jī)游動(dòng)考察下式關(guān)于的OLS估計(jì)其ols估計(jì):，當(dāng)=1時(shí),由（b）和(e)得到（1）另一個(gè)檢驗(yàn)零假設(shè)=1的常用統(tǒng)計(jì)量基于如下假設(shè)的普通olst檢驗(yàn)：

是估計(jì)系數(shù)的OLS標(biāo)準(zhǔn)差，是殘差方差的OLS估計(jì)。故有：（2）（12）稱為DF檢驗(yàn)。2.回歸含常數(shù)項(xiàng)但不含時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng):真實(shí)過程是一個(gè)隨機(jī)游動(dòng)真實(shí)過程是隨機(jī)游動(dòng)：而參數(shù)的估計(jì)根據(jù)：其ols估計(jì)為:若,則:可得:（1）（2）3.回歸含常數(shù)項(xiàng)不含時(shí)間趨勢(shì):真實(shí)過程為含位移的隨機(jī)游動(dòng)真實(shí)過程為：參數(shù)還是根據(jù)來計(jì)算其OLS估計(jì)。其中t=1,2,….T其中因此在這種情形下，兩個(gè)估計(jì)的系數(shù)都是漸近高斯的。4.回歸含常數(shù)項(xiàng)和時(shí)間趨勢(shì):真實(shí)過程是含或不含位移的隨機(jī)游動(dòng)真實(shí)模型為：參數(shù)根據(jù)：來估計(jì)。時(shí)的ols的t檢驗(yàn)的漸進(jìn)分布為;其中:。我們看到當(dāng)?shù)恼鎸?shí)值為1時(shí)，OLS估計(jì)的性質(zhì)取決于要估計(jì)的回歸中是否包含常數(shù)項(xiàng)或時(shí)間趨勢(shì)，以及描述的真實(shí)過程的隨機(jī)游動(dòng)是否包含一個(gè)位移。哪一個(gè)是用于檢驗(yàn)單位根零假設(shè)的“正確情形取決于我們?yōu)槭裁磳?duì)檢驗(yàn)單位根感興趣。如定限制。這一原理可建議對(duì)含明顯趨勢(shì)項(xiàng)的序列應(yīng)用情形4序列應(yīng)用情形2的檢驗(yàn)。DF檢驗(yàn)為單邊檢驗(yàn)，當(dāng)顯著性水平為時(shí)，為其DF檢驗(yàn)的分為點(diǎn)，則時(shí)，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為序列顯著平穩(wěn)；時(shí)，接受原假設(shè)，認(rèn)為序列平穩(wěn)。含一般序列相關(guān)的單位根過程的漸近結(jié)果定理令，其中，且是i.i.d序列，其均值為零，方差為，且四階矩有限。定義且有。則（a）（b）(c)(d)(e)(f)(g)(h)(i)(j)(k)菲利普斯-佩龍單位根檢驗(yàn)情形2,真實(shí)過程是隨機(jī)游動(dòng)：，而參數(shù)的估計(jì)根據(jù)：在下來計(jì)算其ols估計(jì)為。菲利普斯-佩龍將這些結(jié)果推廣到序列相關(guān)以及可使異方差的情形。情形2現(xiàn)在假設(shè)真是過程為考察則有：（1）（參考hamiton《時(shí)間序列分析》P613—624）（2）其中：同樣在情形1和4下響應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：情形1：考察（1）（2）情形4：真實(shí)模型為：，參數(shù)根據(jù)：來估計(jì)。（見Hamilton《時(shí)間序列分析》P652-653）P階自回歸的性質(zhì)和擴(kuò)展的DF單位根檢驗(yàn)假定數(shù)據(jù)由一個(gè)AR(p)過程生成：

（1）其中序列，均值為零，方差為，四階矩有限。定義：（2）（3）而（4）因此（1）可以等價(jià)地表示為：（5）或（6）假定生成過程包含一個(gè)單個(gè)的單位根，其它的根都在單位元之外。即（7）的一個(gè)根為一。（8）上式表明上述。另外，當(dāng)時(shí)，（4）意味著（9）在使（9）左邊為0的p個(gè)z值中，其一是，其余預(yù)定全落在單位元之外。對(duì)于右邊也同樣為真。在下，（5）可寫作：或（10）123的結(jié)果，如果含有常數(shù)項(xiàng)和一個(gè)時(shí)間趨勢(shì)，則得到情形4的結(jié)果。情形2：估計(jì)的自回歸包含一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，但數(shù)據(jù)確由一個(gè)無位移的單位根自回歸生成假定數(shù)據(jù)由一個(gè)AR(p)過程生成：或按照通常的自回歸的OLS估計(jì)的方法，假定初始樣本容量為T+p，其觀測(cè)值為，以前的p個(gè)觀測(cè)值為條件。對(duì)（11）的OLS估計(jì)。設(shè)（1*）其中表示最后的位置為一，其余皆為零的（p+1）維向量。情形1：估計(jì)的自回歸不包含一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，但數(shù)據(jù)確由一個(gè)無位移的單位根自回歸生成真實(shí)過程為：估計(jì)由情形4：估計(jì)的自回歸包含一個(gè)常數(shù)項(xiàng)和時(shí)間趨勢(shì)，但數(shù)據(jù)確由一個(gè)無位移或含位移的的單位根自回歸生成真實(shí)過程為：估計(jì)由見P655SAS計(jì)算平穩(wěn)性檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)間序列具有單位根時(shí)，序列是非平穩(wěn)的，傳統(tǒng)的OLS估計(jì)就不是正態(tài)的。Dickey(1976)和DickeyandFuller(1979)研究了帶單位根的自回歸模型的最小二乘估計(jì)的極限分布，Dickey,Hasza,andFuller(1984)獲得了帶有季節(jié)單位根的時(shí)間序列模型的OLS估計(jì)的極限分布，Hamilton(1994)討論了各種類型的單位根的的檢驗(yàn)問題。在SAS計(jì)算中的實(shí)現(xiàn)可以通過PROCARIMA過程中identify語句中的選項(xiàng)STATIONARITY=；PROBDF函數(shù)或者宏DFTESTMacro來實(shí)現(xiàn)。1、STATIONARITY=test=armaxtest=(ar1,..,arn)給出一個(gè)列表來確定，其中,test是ADF,PP,orRW.缺損值為(0,1,2).STATIONARITY=(ADF=ARordersDLAG=s)STATIONARITY=(DICKEY=ARordersDLAG=s)執(zhí)行ADFDLAG=s中s大于1則做季節(jié)性DFs是12.缺損值是1。下列代碼對(duì)自回歸階數(shù)分別為2和5做ADF檢驗(yàn)。procarimadata=test;identifyvar=xstationarity=(adf=(2,5));run;STATIONARITY=(PP=ARorders)STATIONARITY=(PHILLIPS=ARorders)執(zhí)行Phillips-Perrontests.下列代碼執(zhí)行自回歸階數(shù)從0到6階執(zhí)行擴(kuò)展的Phillips-Perrontestsprocarimadata=test;identifyvar=xstationarity=(pp=6);run;STATIONARITY=(RW=ARorders)STATIONARITY=(RANDOMWALK=ARorders)執(zhí)行帶位移的隨機(jī)游動(dòng)檢驗(yàn)。下列代碼執(zhí)行自回歸階數(shù)從0到2的帶位移的隨機(jī)游動(dòng)檢驗(yàn)。procarimadata=test;identifyvar=xstationarity=(rw);run;PROBDF函數(shù)做Dickey-FullerTestsPROBDF函數(shù)對(duì)時(shí)間序列的單位根做Dickey-Fullertests計(jì)算其顯著性概率。該函數(shù)可以用于任何SAS庫(kù)函數(shù)，包括DATA步程序、SCL程序和PROC。其語法為：PROBDF(x,n[,d[,type]])xistheteststatistic.nisthesamplesize.Theminimumvalueofnalloweddependsonthevaluespecifiedforthesecondargumentd.Fordintheset(1,2,4,6,12),nmustbeanintegergreaterthanorequaltomax(2d,5);forothervaluesofdtheminimumvalueofnis24.disanoptionalintegergivingthedegreeoftheunitroottestedfor.Specifyd=1fortestsofasimpleunitroot(1-B).Specifydequaltotheseasonalcyclelengthfortestsforaseasonalunitroot(1-Bd).Thedefaultvalueofdis1;thatis,atestforasimpleunitroot(1-B)isassumedifdisnotspecified.Themaximumvalueofdallowedis12.typeisanoptionalcharacterargumentthatspecifiesthetypeofteststatisticused.ThevaluesoftypeareSZMstudentizedteststatisticforthezeromean(nointercept)caseRZMregressionteststatisticforthezeromean(nointercept)caseSSMstudentizedteststatisticforthesinglemean(intercept)case

RSMregressionteststatisticforthesinglemean(intercept)caseSTRstudentizedteststatisticforthedeterministictimetrendcaseRTRregressionteststatisticforthedeterministictimetrendcaseThevaluesSTRandRTRareallowedonlywhend=1.ThedefaultvalueoftypeisSZM.DetailsTheoreticalBackgroundWhenatimeserieshasaunitroot,theseriesisnonstationaryandtheordinaryleastsquares(OLS)estimatorisnotnormallydistributed.Dickey(1976)andDickeyandFuller(1979)studiedthelimitingdistributionoftheOLSestimatorofautoregressivemodelsfortimeserieswithasimpleunitroot.Dickey,Hasza,andFuller(1984)obtainedthelimitingdistributionfortimeserieswithseasonalunitroots.Considerthe(p+1)thorderautoregressivetimeseriesanditscharacteristicequationIfallthecharacteristicrootsarelessthan1inabsolutevalue,Ytisstationary.Ytisnonstationaryifthereisaunitroot.Ifthereisaunitroot,thesumoftheautoregressiveparametersis1,and,hence,youcantestforaunitrootbytestingwhetherthesumoftheautoregressiveparametersis1ornot.Forconvenience,themodelisparameterizedaswhereandTheestimatorsareobtainedbyregressingon.Thetstatisticoftheordinaryleastsquaresestimatorofistheteststatisticfortheunitroottest.IftheTREND=1optionisused,theautoregressivemodelincludesameanterm.IfTREND=2,themodelalsoincludesatimetrendtermandthemodelisasfollows:Fortestingforaseasonalunitroot,considerthemultiplicativemodelLet.Theteststatisticiscalculatedinthefollowingsteps:1.Regressontoobtaintheinitialestimatorsandputeresiduals.Underthenullhypothesisthat,areconsistentestimatorsof.2.Regresson,...,toobtainestimatesofand.Thetratiofortheestimateofproducedbythesecondstepisusedasateststatisticfortestingforaseasonalunitroot.Theestimatesofareobtainedbyaddingtheestimatesoffromthesecondsteptofromthefirststep.TheestimatesofandaresavedintheOUTSTAT=datasetiftheOUTSTAT=optionisspecified.Theseries(1-Bd)Ytisassumedtobestationary,wheredisthevalueoftheDLAG=option.IftheOUTSTAT=optionisspecified,theOUTSTAT=datasetcontainsestimates.IftheseriesisanARMAprocess,alargevalueoftheAR=optionmaybedesirableinordertoobtainareliableteststatistic.TodetermineanappropriatevaluefortheAR=optionforanARMAprocess,refertoSaidandDickey(1984).TestStatisticsTheDickey-Fullertestisusedtotestthenullhypothesisthatthetimeseriesexhibitsalagdunitrootagainstthealternativeofstationarity.ThePROBDFfunctionputestheprobabilityofobservingateststatisticmoreextremethanxundertheassumptionthatthenullhypothesisistrue.YoushouldrejecttheunitroothypothesiswhenPROBDFreturnsasmall(significant)probabilityvalue.ThereareseveraldifferentversionsoftheDickey-Fullertest.ThePROBDFfunctionsupportssixversions,asselectedbythetypeargument.Specifythetypevaluethatcorrespondstothewaythatyoucalculatedtheteststatisticx.ThelasttwocharactersofthetypevaluespecifythekindofregressionmodelusedtoputetheDickey-Fullerteststatistic.Themeaningofthelasttwocharactersofthetypevalueareasfollows.ZMzeromeanornointerceptcase.TheteststatisticxisassumedtobeputedfromtheregressionmodelSMsinglemeanorinterceptcase.TheteststatisticxisassumedtobeputedfromtheregressionmodelTRinterceptanddeterministictimetrendcase.TheteststatisticxisassumedtobeputedfromtheregressionmodelThefirstcharacterofthetypevaluespecifieswhethertheregressionteststatisticorthestudentizedteststatisticisused.Letbetheestimatedregressioncoefficientforthedthlagoftheseries,andletbethestandarderrorof.Themeaningofthefirstcharacterofthetypevalueisasfollows.Rtheregressioncoefficient-basedteststatistic.Theteststatisticis

Sthestudentizedteststatistic.TheteststatisticisRefertoDickeyandFuller(1979)andDickey,Hasza,andFuller(1984)formoreinformationabouttheDickey-Fullertestnulldistribution.TheprecedingformulasareforthebasicDickey-Fullertest.ThePROBDFfunctioncanalsobeusedfortheaugmentedDickey-Fullertest,inwhichtheerrortermetismodeledasanautoregressiveprocess;however,theteststatisticisputedsomewhatdifferentlyfortheaugmentedDickey-Fullertest.RefertoDickey,Hasza,andFuller(1984)andHamilton(1994)forinformationaboutseasonalandnonseasonalaugmentedDickey-Fullertests.ThePROBDFfunctioniscalculatedfromapproximatingfunctionsfittoempiricalquantilesproducedbyMonteCarlosimulationemploying108replicationsforeachsimulation.Separatesimulationswereperformedforselectedvaluesofnandford=1,2,4,6,12.ThemaximumerrorofthePROBDFfunctionisapproximatelyfordintheset(1,2,4,6,12)andmaybeslightlylargerforotherdvalues.(BecausethenumberofsimulationreplicationsusedtoproducethePROBDFfunctionismuchgreaterthanthe60,000replicationsusedbyDickeyandFuller(1979)andDickey,Hasza,andFuller(1984),thePROBDFfunctioncanbeexpectedtoproduceresultsthataresubstantiallymoreaccuratethanthecriticalvaluesreportedinthosepapers.)ExamplesSupposethedatasetTESTcontains104observationsofthetimeseriesvariableY,andyouwanttotestthenullhypothesisthatthereexistsalag4seasonalunitrootintheYseries.Thefollowingstatementsillustratehowtoperformthesingle-meanDickey-FullerregressioncoefficienttestusingPROCREGandPROBDF.datatest1;settest;y4=lag4(y);run;procregdata=test1outest=alpha;modely=y4/noprint;run;data_null_;setalpha;x=100*(y4-1);p=probdf(x,100,4,"RSM");putp=pvalue5.3;run;ToperformtheaugmentedDickey-Fullertest,regressthedifferencesoftheseriesonlaggeddifferencesandonthelaggedvalueoftheseries,andputetheteststatisticfromtheregressioncoefficientforthelaggedseries.Thefollowingstatementsillustratehowtoperformthesingle-meanaugmentedDickey-FullerstudentizedtestusingPROCREGandPROBDF.datatest1;settest;yl=lag(y);yd=dif(y);yd1=lag1(yd);yd2=lag2(yd);

yd3=lag3(yd);yd4=lag4(yd);run;procregdata=test1outest=alphacovout;modelyd=ylyd1-yd4/noprint;run;data_null_;setalpha;retaina;if_type_='PARMS'thena=yl-1;if_type_='COV'&_NAME_='YL'thendo;x=a/sqrt(yl);p=probdf(x,99,1,"SSM");putp=pvalue5.3;end;run;The%DFTESTmacroprovidesaneasierwaytoperformDickey-Fullertests.Thefollowingstatementsperformthesametestsastheprecedingexample.%dftest(test,y,ar=4);%putp=&dftest;DFTESTMacroThe%DFTESTmacroperformstheDickey-Fullerunitroottest.Youcanusethe%DFTESTmacrotod

ecideifatimeseriesisstationaryandtodeterminetheorderofdifferencingrequiredforth

etimeseriesanalysisofanonstationaryseries.Mosttimeseriesanalysismethodsrequirethattheseriestobeanalyzedisstationary.Howev

er,manyeconomictimeseriesarenonstationaryprocesses.Theusualapproachtothisproble

mistodifferencetheseries.Atimeserieswhichcanbemadestationarybydifferencingissaidtohaveaunitroot.Formoreinformation,seethediscussionofthisissueinthe"GettingStarted"sectionofChapter9,"TheARIMAProcedure."TheDickey-Fullertestisamethodfortestingwhetheratimeserieshasaunitroot.The%DFTESTmacroteststhehypothesisH0:"Thetimeserieshasaunitroot"vs.Ha:"Thetimeseriesisstationary"basedontablesprovidedinDickey(1976)andDickey,Hasza,andFuller(1984).Thetestcanbeappliedforasimpleunitrootwithlag1,orforseasonalunitrootsatlag2,4,or12.Notethatthe%DFTESTmacrohasbeensupersededbythePROCARIMAstationaritytests.SeeChapter9,"TheARIMAProcedure,"fordetails.SyntaxThe%DFTESTmacrohasthefollowingform:%DFTEST(SAS-data-set,variable[,options])Thefirstargument,SAS-data-set,specifiesthenameoftheSASdatasetcontainingthetimeseriesvariabletobeanalyzed.Thesecondargument,variable,specifiesthetimeseriesvariablenametobeanalyzed.Thefirsttwoargumentsarerequired.Thefollowingoptionscanbeusedwiththe%DFTESTmacro.Optionsmustfollowtherequiredargumentsandareseparatedbymas.AR=nspecifiestheorderofautoregressivemodelfitafteranydifferencingspecifiedbytheDIF=andDLAG=options.ThedefaultisAR=3.DIF=(differencing-list)specifiesthedegreesofdifferencingtobeappliedtotheseries.Thedifferencinglistisalistofpositiveintegersseparatedbymasandenclosedinparentheses.Forexample,DIF=(1,12)specifiesthattheseriesbedifferencedonceatlag1andonceatlag12.Formoredetails,seethe"IDENTIFYStatement"sectioninChapter9,"TheARIMAProcedure."IftheoptionDIF=(d1,...,dk)isspecified,theseriesanalyzedis(1-Bd1)...(1-Bdk)Yt,whereYtisthevariablespecified,andBisthebackshiftoperatordefinedbyBYt=Yt-1.DLAG=1|2|4|12specifiesthelagtobetestedforaunitroot.ThedefaultisDLAG=1.OUT=SAS-data-setwritesresidualstoanoutputdataset.OUTSTAT=SAS-data-setwritestheteststatistic,parameterestimates,andotherstatisticstoanoutputdataset.TREND=0|1|2specifiesthedegreeofdeterministictimetrendincludedinthemodel.TREND=0includesnodeterministictermandassumestheserieshasazeromean.TREND=1includesaninterceptterm.TREND=2specifiesaninterceptandalineartimetrendterm.ThedefaultisTREND=1.TREND=2isnotallowedwithDLAG=2,4,or12.ResultsTheputedp-valueisreturnedinthemacrovariable&DFTEST.Ifthep-valueislessthan0.01orlargerthan0.99,themacrovariable&DFTESTissetto0.01or0.99,respectively.(Thesamevalueisgiveninthemacrovariable&DFPVALUEreturnedbythe%DFPVALUEmacro,whichisusedbythe%DFTESTmacrotoputethep-value.)ResultscanbestoredinSASdatasetswiththeOUT=andOUTSTAT=options.DetailsMinimumObservationsTheminimumnumberofobservationsrequiredbythe%DFTESTmacrodependsonthevalueoftheDLAG=option.LetsbethesumofthedifferencingordersspecifiedbytheDIF=option,lettbethevalueoftheTREND=option,andletpbethevalueoftheAR=option.Theminimumnumberofobservationsrequiredisasfollows:DLAG=Min.Obs.11+p+s+max(9,p+t+2)22+p+s+max(6,p+t+2)44+p+s+max(4,p+t+2)1212+p+s+max(12,p+t+2)Observationsarenotusediftheyhavemissingvaluesfortheseriesorforanylagordifferenceusedintheautoregressivemodel.Example9.6:DetectionofLevelChangesintheNileRiverDataThisexampleisdiscussedindeJongandPenzer(1998).ThedataconsistofreadingsoftheannualflowvolumeoftheNileRiveratAswanfrom1871to1970.ThesedatahavealsobeenstudiedbyCobb(1978).Thesestudiesindicatethatlevelsintheyears1877and1913arestrongcandidatesforadditiveoutliers,andthattherewasashiftintheflowlevelsstartingfromtheyear1899.Thisshiftin1899isattributedpartlytotheweatherchangesandpartlytothestartofconstructionworkforanewdamatAswan.datanile;inputlevel@@;year=intnx('year','1jan1871'd,_n_-1);formatyearyear4.;datalines;;run;YoucanstartthemodelingprocesswiththeARIMA(0,1,1)model,anARIMAmodelclosetotheStructuralmodelsuggestedindeJongandPenzer(1998),andexaminetheparameterestimates,theresidualautocorrelations,carimadata=nile;identifyvar=level(1)noprint;estimateq=1nointmethod=mlplot;outliermaxnum=5id=year;run;AportionoftheestimationandtheoutlierdetectionoutputisshowninFigure9.6.1.Output9.6.1:ARIMA(0,1,1)ModelTheARIMAProcedureOutlierDetectionSummaryMaximumnumbersearched5Numberfound5Significanceused0.05OutlierDetailsObsTimeIDTypeEstimateChi-SquareApproxProb>ChiSq291899Shift-315.7534613.130.0003431913Additive-403.9710511.830.000671877Additive-335.493517.690.0055941964Additive305.035686.160.0131181888Additive-287.814846.000.0143Notethatthefirstthreeoutliersdetectedareindeedtheonesdiscussedearlier.YoucanincludetheshocksignaturescorrespondingtothesethreeoutliersintheNiledataset.datanile;setnile;ifyear='1jan1877'dthenAO1877=1.0;elseAO1877=0.0;ifyear='1jan1913'dthenAO1913=1.0;elseAO1913=0.0;ifyear>='1jan1899'dthenLS1899=1.0;