高中物理 11.4 單擺 新人教選修34

..........一、單擺做簡諧運動.1．單擺的回復力如圖所示，重力G沿圓弧切線方向的分力G1=mgsinθ是沿擺球運動方向的力，正是這個力提供了使擺球振動的回復力：F=G1=mgsinθ..2．單擺做簡諧運動的推證在偏角很小時，sinθ≈,又回復力Ｆ=mgsinθ,所以單擺的回復力為F=(式中x表示擺球偏離平衡位置的位移，l表示單擺的擺長，負號表示回復力F與位移x的方向相反)，由此知回復力符合F=-kx，單擺做簡諧運動..(1)小球的重力在沿圓弧切線方向上的分力提供回復力，而不是小球的合力．(2)單擺做簡諧運動的條件是偏角很小，通常應在5°以內，誤差不超過0.5%．.【典例1】下列有關單擺運動過程中的受力說法，正確的是()A．單擺運動的回復力是重力和擺線拉力的合力B．單擺運動的回復力是重力沿圓弧切線方向的一個分力C．單擺經過平衡位置時合力為零D．單擺運動的回復力是擺線拉力的一個分力【解題指導】單擺的回復力由擺球重力沿圓弧切線方向的分力提供，在平衡位置處，擺球位移為零，水平加速度為零..【標準解答】選B．單擺運動是在一段圓弧上運動，因此單擺運動過程不僅有回復力，而且有向心力，即單擺運動的合外力不僅要提供回復力，還要提供向心力，故選項A錯誤；單擺的回復力是重力沿圓弧切線方向的一個分力，而不是擺線拉力的分力，故選項B正確，D錯誤；單擺經過平衡位置時，回復力為零，向心力最大，故其合外力不為零，所以選項C錯誤．.【變式訓練】關于單擺擺球在運動過程中的受力,下列結論正確的是()A.擺球受重力、擺線的張力、回復力、向心力作用B.擺球受的回復力最大時,向心力為零;回復力為零時,向心力最大C.擺球受的回復力最大時,擺線中的張力大小比擺球的重力大D.擺球受的向心力最大時,擺球的加速度方向沿擺球的運動方向.【解析】選B.單擺在運動過程中,擺球受重力和擺線的拉力作用,故A錯.重力垂直于擺線的分力提供回復力.當回復力最大時,擺球在最大位移處,速度為零,向心力為零,拉力等于重力沿擺線的分力大小，則拉力小于重力;在平衡位置處,回復力為零,速度最大,向心力最大,擺球的加速度方向沿擺線指向懸點,故C、D錯,B對..二、對單擺周期公式的理解由公式T=2π知，某單擺做簡諧運動(擺角小于5°)的周期只與其擺長l和當?shù)氐闹亓铀俣萭有關，而與振幅和擺球質量無關，故又叫做單擺的固有周期..1.擺長l(1)實際的單擺擺球不可能是質點，所以擺長應是從懸點到擺球球心的長度：即l=l0+，l0為擺線長，d為擺球直徑.(2)等效擺長：圖(a)中甲、乙在垂直紙面方向擺起來效果是相同的，所以甲擺的擺長為l·sinα,這就是等效擺長.其周期T=圖(b)中，乙在垂直紙面方向擺動時，與甲擺等效；乙在紙面內小角度擺動時，與丙等效..2.重力加速度g(1)若單擺系統(tǒng)只處在重力場中且懸點處于靜止狀態(tài)，g由單擺所處的空間位置決定，即g=式中R為物體到地心的距離，M為地球的質量，g隨所在位置的高度的變化而變化.另外，在不同星球上M和R也是變化的，所以g也不同,g=9.8m/s2只是在地球表面附近時的取值..(2)等效重力加速度：若單擺系統(tǒng)處在非平衡狀態(tài)(如加速、減速、完全失重狀態(tài))，則一般情況下，g值等于擺球相對靜止在自己的平衡位置時，擺線所受的張力與擺球質量的比值.例如:此場景中的等效重力加速度g′=gsinθ.球靜止在O時，F(xiàn)T=mgsinθ，等效加速度g′==gsinθ..(1)單擺的擺長是指從懸點到球心的距離，不能把繩子的長度看成擺長；(2)公式中的重力加速度指的是在地球表面的單擺，如果是類單擺(與單擺的形式相同，但回復力不是重力的分力)，要找出等效重力加速度..【典例2】一個單擺的長為l，在其懸點O的正下方0.19l處有一釘子P(如圖所示)，現(xiàn)將擺球向左拉開到A，使擺線偏角θ＜5°，放手后使其擺動，求出單擺的振動周期．.【解題指導】(1)題中給出“擺線偏角θ＜5°”說明小球的運動為簡諧運動；(2)從圖中看出這不是一個完整的單擺，是由兩個單擺構成，所以周期應是兩個單擺周期的合成..【標準解答】釋放后擺球到達右邊最高點B處，由機械能守恒可知B和A等高，則擺球始終做簡諧運動．擺球做簡諧運動的擺長有所變化，它的周期為兩個不同單擺的半周期的和．小球在左邊的周期為小球在右邊的周期為則整個單擺的周期為答案：.【規(guī)律方法】求單擺周期的規(guī)律總結1.明確單擺的運動過程,看是否符合簡諧運動的條件.2.在運用T=時,要注意l和g是否發(fā)生變化,如果發(fā)生變化,則分別求出不同l和g時的運動時間.3.改變單擺振動周期的途徑是:(1)改變單擺的擺長;(2)改變單擺的重力加速度(如改變單擺的位置或讓單擺失重或超重).4.明確單擺振動周期與單擺的質量和振幅沒有任何關系..【變式訓練】(2011·池州高二檢測)將秒擺的周期變?yōu)?s，下面哪些措施是正確的()A.只將擺球質量變?yōu)樵瓉淼?/4B.只將振幅變?yōu)樵瓉淼?倍C.只將擺長變?yōu)樵瓉淼?倍D.只將擺長變?yōu)樵瓉淼?6倍.【解析】選C.由T=可知，單擺的周期與擺球的質量和振幅均無關，A、B均錯；對秒擺，對周期為4s的單擺，T==4s，故l=4l0，故C對，D錯..三、利用單擺測重力加速度1．儀器和器材擺球2個(鐵質和銅質并穿有中心孔)、秒表、物理支架、米尺或鋼卷尺、游標卡尺、細線等..2．實驗步驟(1)做單擺：如圖所示，把擺球用細線懸掛在物理支架上，擺長最好能有1米左右，這樣可使測量結果準確些..(2)測擺長:用毫米刻度尺量出懸線長l′,精確到毫米;用游標卡尺測量出擺球的直徑d,精確到毫米;則l=l′+,即為單擺的擺長.(3)測周期:將單擺從平衡位置拉開一個角度,且滿足擺角小于10°,然后釋放擺球,過平衡位置時用秒表開始計時,測量30次～50次全振動的時間.計算出平均擺動一次的時間,即為單擺的振動周期T.(4)變擺長：將單擺的擺長變短(或變長)，重復實驗三次，測出相應的擺長l和周期T..3.數(shù)據(jù)處理(1)平均值法：每改變一次擺長，將相應的l和T，代入公式中求出g值，最后求出g的平均值.設計如下所示實驗表格.(2)圖象法：由T=2π得T2=作出T2﹣l圖象，即以T2為縱軸,以l為橫軸.其斜率k=由圖象的斜率即可求出重力加速度g..(3)作T2﹣l圖象的優(yōu)點用圖象法處理數(shù)據(jù)既直觀又方便,同時也能最大限度地減小偶然誤差對實驗結果造成的影響.由于T﹣l的圖象不是直線,不便于進行數(shù)據(jù)處理,所以采用T2﹣l的圖象,目的是為了將曲線轉換為直線,便于利用直線的斜率計算重力加速度..(1)選擇材料時應選擇細而不易伸長的線，長度一般在1m左右，小球應選密度較大，直徑較小的；(2)線應夾在鐵夾的下面，防止因擺動而改變擺線的長度；(3)注意擺動時控制擺線偏離豎直方向的角度應很?。?4)擺球擺動時，要使之保持在同一個豎直平面內，不要形成圓錐擺．方法是將擺球拉到一定位置后由靜止釋放．(5)計算單擺的振動次數(shù)時，應以擺球通過最低位置時開始計時，以后擺球應從同一方向通過最低點時計數(shù)，要多測幾次(如30次或50次)全振動的時間，用取平均值的辦法求周期．.【典例3】（2011·福建高考）某實驗小組在利用單擺測定當?shù)刂亓铀俣鹊膶嶒炛校?1)用游標卡尺測定擺球的直徑，測量結果如圖所示，則該擺球的直徑為______cm..(2)小組成員在實驗過程中有如下說法，其中正確的是_____.（填選項前的字母）A.把單擺從平衡位置拉開30°的擺角，并在釋放擺球的同時開始計時B.測量擺球通過最低點100次的時間t，則單擺周期為C.用懸線的長度加擺球的直徑作為擺長，代入單擺周期公式計算得到的重力加速度值偏大D.選擇密度較小的擺球，測得的重力加速度值誤差較小.【解題指導】解答本題時應注意以下幾個方面游標卡尺讀數(shù)時應注意游標卡尺的零刻度線和邊界線的區(qū)別；測重力加速度時應注意單擺的模型以及擺長和周期的測量..【標準解答】(1)游標卡尺讀數(shù)=主尺+游標=0.9cm+7×0.01cm=0.97cm(2)要使擺球做簡諧運動，擺角應小于10°，應選擇密度較大的擺球，阻力的影響較小，測得重力加速度誤差較小，A、D錯；擺球通過最低點100次，完成50次全振動，周期是B錯；擺長應是L+，若用懸線的長度加直徑，則測出的重力加速度值偏大.答案：(1)0.97(2)C.【變式訓練】某同學利用單擺測定當?shù)刂亓铀俣?，發(fā)現(xiàn)單擺靜止時擺球重心在球心的正下方，他仍將從懸點到球心的距離當作擺長L，通過改變擺線的長度，測得6組L和對應的周期T，畫出L﹣T2圖線，然后在圖線上選取A、B兩個點，坐標如圖所示．他采用恰當?shù)臄?shù)據(jù)處理方法，則計算重力加速度的表達式應為g=_____.請你判斷該同學得到的實驗結果與擺球重心就在球心處的情況相比，將_____(填“偏大”“偏小”或“相同”)．.【解析】由單擺的周期公式由此式可知測得的g與某一次的擺長無關，與兩次實驗中的擺長差有關，所以g值與擺球重心在不在球心處無關．答案：相同.【變式備選】某同學利用如圖所示的裝置測量當?shù)氐闹亓铀俣龋畬嶒灢襟E如下：.A．按裝置圖安裝好實驗裝置B．用游標卡尺測量小球的直徑dC．用米尺測量懸線的長度lD．讓小球在豎直平面內小角度擺動．當小球經過最低點時開始計時，并計數(shù)為0，此后小球每經過最低點一次，依次計數(shù)1、2、3….當數(shù)到20時，停止計時，測得時間為tE．多次改變懸線長度，對應每個懸線長度都重復實驗步驟C、DF．計算出每個懸線長度對應的t2G．以t2為縱坐標、l為橫坐標，作出t2﹣l圖線.結合上述實驗，完成下列任務：(1)用游標為10分度(測量值可準確到0.1mm)的卡尺測量小球的直徑．某次測量的示數(shù)如圖所示，讀出小球直徑d的值為_____cm..(2)該同學根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，利用計算機作出t2﹣l圖線如圖所示．根據(jù)圖線擬合得到方程t2=404.0l+3.5.由此可以得出當?shù)氐闹亓铀俣萭=_____m/s2.(取π2=9.86，結果保留3位有效數(shù)字).(3)從理論上分析圖線沒有過坐標原點的原因，下列分析正確的是_____．A．不應在小球經過最低點時開始計時，應該在小球運動到最高點時開始計時B．開始計時后，不應記錄小球經過最低點的次數(shù)，而應記錄小球做全振動的次數(shù)C．不應作t2﹣l圖線，而應作t﹣l圖線D．不應作t2﹣l圖線，而應作t2﹣(l+d)圖線.【解析】(1)依據(jù)游標卡尺讀數(shù)原理知，d=(15+0.1×2)mm=15.2mm=1.52cm.(2)根據(jù)實驗操作可知單擺周期T=，由單擺周期公式得

(3)根據(jù)實驗操作和實驗原理可知D選項說法正確．答案：(1)1.52(2)9.76(3)D.【典例】將在地球上校準的擺鐘拿到月球上去，若此鐘在月球記錄的時間是1h，那么實際上的時間應是_____h(月球表面的重力加速度是地球表面的1／6)．若要把此擺鐘調準，應使擺長L0調節(jié)為_____．.【解題指導】解答本題應注意以下兩點(1)擺鐘的周期只與擺長L和當?shù)刂亓铀俣萭有關.(2)一定時間內振動次數(shù)與振動周期成反比,指示時間與振動次數(shù)成正比..【標準解答】設在地球上校準的擺鐘周期為T0，指示時間為t0；月球上周期為T，指示時間為t．由于指示時間t與振動次數(shù)N成正比，即t∝N；一定時間內振動次數(shù)N與振動周期T成反比，即N∝；由單擺周期公式可知T∝，由以上推知：t∝，則有所求實際時間為要把它調準，需將擺長調為L0／6．答案：L0／6.一、選擇題1.用空心鐵球內部裝滿水做擺球，若球正下方有一小孔，水不斷從孔中流出，從球內裝滿水到水流完為止的過程中，其振動周期的大小是()A．不變B．變大C．先變大后變小再回到原值D．先變小后變大再回到原值【解析】選C．單擺的周期與擺球的質量無關，但當水從球中向外流出時，等效擺長是先變長后變短，因而周期先變大后變小再回到原值，故選項C正確．.2.如圖所示，光滑軌道的半徑為2m，C點為圓心正下方的點，A、B兩點與C點相距分別為6cm與2cm，a、b兩小球分別從A、B兩點由靜止同時放開，則兩小球相碰的位置是()A．C點B．C點右側C．C點左側D．不能確定.【解析】選A．由于半徑遠遠地大于運動的弧長，小球都做簡諧運動，類似于單擺.因此周期只與半徑有關，與運動的弧長無關，故選項A正確．.3.如圖所示,一擺長為l的單擺,在懸點的正下方的P處有一釘子,P與懸點相距為l-l′,則這個擺做小幅度擺動時的周期為().【解析】選C.單擺的一個周期包含兩個階段,以l為擺長擺動半個周期,以l′為擺長擺動半個周期,則C選項正確..4.(2011·宿州高二檢測)把在北京調準的擺鐘,由北京移到赤道上時,擺鐘的振動()A.變慢了,要使它恢復準確,應增加擺長B.變慢了,要使它恢復準確,應縮短擺長C.變快了,要使它恢復準確,應增加擺長D.變快了,要使它恢復準確,應縮短擺長【解析】選B.把標準擺鐘從北京移到赤道上,重力加速度g變小,則周期擺鐘顯示的時間小于實際時間,因此變慢了.要使它恢復準確,應縮短擺長,B正確..5.(2011·郴州高二檢測)擺長為l的單擺做簡諧運動,若從某時刻開始計時(即取t=0),當振動至時,擺球恰具有負向最大速度,則單擺的振動圖象是圖中的().【解析】選D.最大速度時,單擺應在平衡位置,y=0,v方向為-y,即沿y軸負方向,故D選項正確..6.如圖所示，兩單擺擺長相同，平衡時兩擺球剛好接觸.現(xiàn)將擺球A在兩擺線所在平面內向左拉開一小角度后釋放，碰撞后，兩擺球分開各自做簡諧運動，以mA、mB分別表示擺球A、B的質量，則().A．如果mA≤mB，下一次碰撞將發(fā)生在平衡位置右側B．如果mA＜mB，下一次碰撞將發(fā)生在平衡位置左側C．無論兩球的質量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右側D．無論兩球的質量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左側【解析】選C、D．因為兩者的擺長相等，所以做簡諧運動的周期相同，所以應在最低點相碰，選項C、D正確．.7.(2011·淮南高二檢測)有一天體半徑為地球半徑的2倍，平均密度與地球相同，在地球表面走時準確的擺鐘移到該天體的表面，秒針走一圈的實際時間為().【解析】選B.擺鐘的周期可借助單擺的周期公式來討論：由于是同一單擺，其擺長可認為不變，則其周期與重力加速度的平方根成反比.由萬有引力定律得.即在ρ相同時，g∝R,由以上推理可得所以秒針在該天體上走一圈的實際時間為min.所以擺鐘的周期可以應用單擺的周期公式來分析,而單擺的周期與重力加速度有關,在不同的天體上,由于重力加速度不同,所以同一擺鐘在不同的天體上的周期是不相同的,故B正確..8.若單擺的擺長不變,擺球的質量增加為原來的4倍,擺球經過平衡位置時的速度減小為原來的1/2,則單擺振動的()A.頻率不變,振幅不變B.頻率不變,振幅改變C.頻率改變,振幅改變D.頻率改變,振幅不變.【解析】選B.由單擺的周期公式T=,因l不變,故T不變,f=不變;當l一定時,單擺的振幅A取決于偏角θ,根據(jù)機械能守恒定律,擺球從最大位移處到平衡位置mgl(1-cosθ)=mv2得v2=2gl(1-cosθ),與m無關;由擺球通過最低點的速度減小知單擺的偏角θ減小,所以振幅減小,所以正確選項為B..二、非選擇題9.（2011·江蘇高考）將一勁度系數(shù)為k的輕質彈簧豎直懸掛，下端系上質量為m的物塊.將物塊向下拉離平衡位置后松開，物塊上下做簡諧運動，其振動周期恰好等于以物塊平衡時彈簧的伸長量為擺長的單擺周期.請由單擺的周期公式推算出該物塊做簡諧運動的周期T..【解析】單擺周期公式為由力的平衡條件知道kl=mg聯(lián)立解得T=答案：見解析.10.有一單擺，其擺長l=1.02m，擺球的質量m=0.10kg，已知單擺做簡諧運動，單擺振動30次用的時間t=60.8s，試求：當?shù)氐闹亓铀俣仁嵌啻?.【解析】當單擺做簡諧運動時，其周期公式由此可得g=4π2l/T2，只要求出T值代入即可.因為所以g=4π2l/T2=9.79m/s2答案：9.79m/s2.Thankyou!..9、靜夜四無鄰，荒居舊業(yè)貧。。2023/2/32023/2/3Friday,February3,202310、雨中黃葉樹，燈下白頭人。。2023/2/32023/2/32023/2/32/3/20234:23:35PM11、以我獨沈久，愧君相見頻。。2023/2/32023/2/32023/2/3Feb-2303-Feb-2312、故人江海別，幾度隔山川。。2023/2/32023/2/32023/2/3Friday,February3,202313、乍見翻疑夢，相悲各問年。。2023/2/32023/2/32023/2/32023/2/32/3/202314、他鄉(xiāng)生白發(fā)，舊國見青山。。03二月20232023/2/32023/2/32023/2/315、比不了得就不比，得不到的就不要。。。二月232023/2/32023/2/32023/2/32/3/202316、行動出成果，工作出財富。。2023/2/32023/2/303February202317、做前，能夠環(huán)視四周；做時，你只能或者最好沿著以腳為起點的射線向前。。2023/2/32023/2/32023/2/32023/2/39、沒有失敗，只有暫時停止成功！。2023/2/32023/2/3Friday,February3,202310、很多事情努力了未必有結果，但是不努力卻什么改變也沒有。。2023/2/32023/2/32023/2/32/3/20234:23:35PM11、成功就是日復一日那一點點小小努力的積累。。2023/2/32023/2/32023/2/3Feb-2303-Feb-2312、世間成事，不求其絕對圓滿，留一份不足，可得無限完美。。2023/2/32023/2/32023/2/3Friday,February3,202313、不知香積寺，數(shù)里入云峰。。2023/2/32023/2/32023/2/32023/2/32/3/202314、意志堅強的人能把世界放在手中像泥塊一樣任意揉捏。03二月20232023/2/32023/2/32023/2/315、楚