帶電粒子在磁場中的臨界問題

磁偏轉(zhuǎn)與電偏轉(zhuǎn)的區(qū)別

磁偏轉(zhuǎn)電偏轉(zhuǎn)受力特征v垂直B時(shí),FB=qvB,v不垂直于B時(shí),FB=qvBsinα,FB為變力,只改變v方向無論v是否與E垂直,FE=qE,FE為恒力運(yùn)動規(guī)律圓周運(yùn)動

T=,

R=類平拋運(yùn)動vx=v0,vy=x=v0t,y=

偏轉(zhuǎn)情況若沒有磁場邊界,粒子所能偏轉(zhuǎn)的角度不受限制因做類平拋運(yùn)動,在相等的時(shí)間內(nèi)偏轉(zhuǎn)的角度往往不等動能變化動能不變動能不斷增大且增大得越來越快電場強(qiáng)度三個(gè)公式的區(qū)別：區(qū)別公式公式含義適用范圍E=FqE=kQr2E=Ud是電場強(qiáng)度的定義式任意電場是真空中點(diǎn)電荷電場的場強(qiáng)計(jì)算公式真空中點(diǎn)電荷電場

是勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)的計(jì)算公式勻強(qiáng)電場力的特點(diǎn)功和能的特點(diǎn)靜電場大?。篎＝

方向：正電荷受力方向與場強(qiáng)方向

；負(fù)電荷受力方向與場強(qiáng)方向

電場力做功與路徑

W＝qU電場力做功改變電荷的磁場洛倫茲力F＝

方向符合左手定則洛倫茲力不做功，不改變帶電粒子的qE相同相反無關(guān)電勢能動能qvBsinθ1．帶電粒子在勻強(qiáng)電場、勻強(qiáng)磁場中可能的運(yùn)動性質(zhì)在場強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場中在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中初速度為零做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動保持靜止初速度平行場線做勻變速直線運(yùn)動做勻速直線運(yùn)動初速度垂直場線做勻變速曲線運(yùn)動(類平拋運(yùn)動)做勻速圓周運(yùn)動特點(diǎn)受恒力作用，做勻變速運(yùn)動洛倫茲力不做功，動能不變1．三種場的特點(diǎn)對比項(xiàng)目名稱力的特點(diǎn)功和能的特點(diǎn)重力場大?。篏＝_________方向：_____________重力做功與______無關(guān)重力做功改變物體的____________靜電場大小：F＝______電場力做功與____無關(guān)方向：a.正電荷受力方向與場強(qiáng)方向_______W＝______b.負(fù)電荷受力方向與場強(qiáng)方向_________電場力做功改變________磁場洛倫茲力F＝______方向符合_______定則洛倫茲力不做功，不改變帶電粒子的_______mg豎直向下qE相同相反左手路徑重力勢能路徑電勢能動能UqqvB電偏轉(zhuǎn)磁偏轉(zhuǎn)運(yùn)動軌跡運(yùn)動規(guī)律電偏轉(zhuǎn)磁偏轉(zhuǎn)射出邊界的速率運(yùn)動時(shí)間1.帶電粒子在勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場中偏轉(zhuǎn)的區(qū)別垂直電場線進(jìn)入勻強(qiáng)電場(不計(jì)重力)垂直磁感線進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(不計(jì)重力)受力情況電場力FE＝qE，其大小、方向不變，與速度v無關(guān)，F(xiàn)E是恒力洛倫茲力FB＝qvB，其大小不變，方向隨v而改變，F(xiàn)B是變力軌跡拋物線圓或圓的一部分運(yùn)動軌跡2.在電場和磁場組合而成的組合場問題中，帶電粒子分別在兩個(gè)區(qū)域中做類平拋和勻速圓周運(yùn)動，通過連接點(diǎn)的速度將兩種運(yùn)動聯(lián)系起來，一般可用類平拋和勻速圓周運(yùn)動的規(guī)律求解．另外，準(zhǔn)確畫好運(yùn)動軌跡圖是解題的關(guān)鍵．“電偏轉(zhuǎn)”和“磁偏轉(zhuǎn)”的比較垂直進(jìn)入磁場(磁偏轉(zhuǎn))垂直進(jìn)入電場(電偏轉(zhuǎn))情景圖圖6-2-1【例1】真空中寬為d的區(qū)域內(nèi)有強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，方向如圖6-2-1所示，質(zhì)量m帶電量-q的粒子以與CD成q角的速度v0垂直射入磁場中．要使粒子必能從EF射出，則初速度v0應(yīng)滿足什么條件？EF上有粒子射出的區(qū)域？一、處理同源帶電粒子在磁場中運(yùn)動的臨界極值方法--放縮法思維導(dǎo)圖1．帶電粒子在平行直線邊界磁場中的運(yùn)動①速度較小時(shí)，作半圓運(yùn)動后從原邊界飛出；②速度增加為某臨界值時(shí)，粒子作部分圓周運(yùn)動其軌跡與另一邊界相切；③速度較大時(shí)粒子作部分圓周運(yùn)動后從另一邊界飛出SBPSSQPQQ①速度較小時(shí)，作圓周運(yùn)動通過射入點(diǎn)；②速度增加為某臨界值時(shí)，粒子作圓周運(yùn)動其軌跡與另一邊界相切；③速度較大時(shí)粒子作部分圓周運(yùn)動后從另一邊界飛出圓心在過入射點(diǎn)跟跟速度方向垂直的直線上圓心在過入射點(diǎn)跟邊界垂直的直線上圓心在磁場原邊界上量變積累到一定程度發(fā)生質(zhì)變，出現(xiàn)臨界狀態(tài)P①速度較小時(shí)，作圓弧運(yùn)動后從原邊界飛出；②速度增加為某臨界值時(shí)，粒子作部分圓周運(yùn)動其軌跡與另一邊界相切；③速度較大時(shí)粒子作部分圓周運(yùn)動后從另一邊界飛出【分析】如圖甲所示，當(dāng)入射速度很小時(shí)電子會在磁場中轉(zhuǎn)動一段圓弧后又從同一側(cè)射出，速率越大，軌道半徑越大，當(dāng)軌道與邊界相切時(shí)，電子恰好不能從另一側(cè)射出，當(dāng)速率大于這個(gè)臨界值時(shí)便從右邊界射出，依此畫出臨界軌跡，借助幾何知識即可求解速度的臨界值；對于射出區(qū)域，只要找出上下邊界即可．【解析】粒子從A點(diǎn)進(jìn)入磁場后受洛倫茲力做勻速圓周運(yùn)動，要使粒子必能從EF射出，則相應(yīng)的臨界軌跡必為過點(diǎn)A并與EF相切的軌跡如圖乙所示，作出A、P點(diǎn)速度的垂線相交于O即為該臨界軌跡的圓心．設(shè)臨界半徑R0，由R0(1+cos

)=d得：R0=；故粒子必能穿出EF的實(shí)際運(yùn)動軌跡半徑R≥R0即：R=≥

得：v0≥由圖知粒子不可能從P點(diǎn)下方射出EF，即只能從P點(diǎn)上方某一區(qū)域射出；又由于粒子從點(diǎn)A進(jìn)入磁場后所受洛倫茲力必使其向右下方偏轉(zhuǎn)，故粒子不可能從AG直線上方射出；由此可見EF中有粒子射出的區(qū)域?yàn)镻G，且由圖知：PG=R0sin+dcot=+dcot

.【評析】帶電粒子在磁場中以不同的速度運(yùn)動時(shí)，圓周運(yùn)動的半徑隨著速度的變化而變化，因此可以將半徑放縮，運(yùn)用“放縮法”探索出臨界點(diǎn)的軌跡，使問題得解；對于范圍型問題，求解時(shí)關(guān)鍵是尋找引起范圍的“臨界軌跡”及“臨界半徑R0”，然后利用粒子運(yùn)動的實(shí)際軌道半徑R與R0的大小關(guān)系確定范圍．總結(jié)：放縮法帶電粒子以任意速度沿特定方向射入勻強(qiáng)磁場時(shí)，它們將在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，其軌跡半徑隨速度的變化而變化，如圖所示，(圖中只畫出粒子帶正電的情景)，速度v0越大，運(yùn)動半徑也越大．可以發(fā)現(xiàn)這樣的粒子源產(chǎn)生的粒子射入磁場后，它們運(yùn)動軌跡的圓心在垂直速度方向的直線PP′上．由此我們可得到一種確定臨界條件的方法：在確定這類粒子運(yùn)動的臨界條件時(shí)，可以以入射點(diǎn)P為定點(diǎn)，圓心位于PP′直線上，將半徑放縮作軌跡，從而探索出臨界條件，使問題迎刃而解，這種方法稱為“放縮法”．變式題12．帶電粒子在矩形邊界磁場中的運(yùn)動oBdabcθB圓心在磁場原邊界上圓心在過入射點(diǎn)跟速度方向垂直的直線上①速度較小時(shí)粒子作半圓運(yùn)動后從原邊界飛出；②速度在某一范圍內(nèi)時(shí)從側(cè)面邊界飛出；③速度較大時(shí)粒子作部分圓周運(yùn)動從對面邊界飛出。①速度較小時(shí)粒子做部分圓周運(yùn)動后從原邊界飛出；②速度在某一范圍內(nèi)從上側(cè)面邊界飛；③速度較大時(shí)粒子做部分圓周運(yùn)動從右側(cè)面邊界飛出；④速度更大時(shí)粒子做部分圓周運(yùn)動從下側(cè)面邊界飛出。量變積累到一定程度發(fā)生質(zhì)變，出現(xiàn)臨界狀態(tài)（軌跡與邊界相切）例3.如圖所示，一足夠長的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿方向垂直紙面向里的、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，在ad邊中點(diǎn)O方向垂直磁場射入一速度方向跟ad邊夾角θ=300

、大小為v0的帶電粒子，已知粒子質(zhì)量為m、電量為q，ab邊足夠長，ad邊長為L，粒子的重力不計(jì)。求：⑴.粒子能從ab邊上射出磁場的v0大小范圍。⑵.如果帶電粒子不受上述v0大小范圍的限制，求粒子在磁場中運(yùn)動的最長時(shí)間。V0OabcdV0Oabcdθ300600●●例1．如圖,在一水平放置的平板MN上方有勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B,磁場方向垂直于紙面向里,許多質(zhì)量為m,帶電量為+q的粒子,以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方向,由小孔O射入磁場區(qū)域,不計(jì)重力,不計(jì)粒子間的相互影響.下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域,其中R=mv/qB.哪個(gè)圖是正確的?MNBO2RR2RMNO2RR2RMNO2R2R2RMNOR2R2RMNOD.A.B.C.二、處理一群帶電粒子在磁場中運(yùn)動的臨界極值思維方法

--平移法解：帶電量為+q的粒子,以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方向,由小孔O射入磁場區(qū)域,由R=mv/qB,各個(gè)粒子在磁場中運(yùn)動的半徑均相同,在磁場中運(yùn)動的軌跡圓圓心是在以O(shè)為圓心、以R=mv/qB為半徑的1/2圓弧上,如圖虛線示:各粒子的運(yùn)動軌跡如圖實(shí)線示:帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域陰影部分如圖斜線示2RR2RMNO總結(jié)：平移法本題是粒子以一定速度沿任意方向射入磁場的問題，由平移法做出軌跡圓心圓（如虛圓），再做動態(tài)圓，找臨界狀態(tài)（如圖P1P2）。【變式題2】(2010·新課標(biāo))如圖6-1-3所示，在0≤x≤a、0≤y≤

范圍內(nèi)有垂直于xy平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在0～90°范圍內(nèi)．已知粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑介于

到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁場中做圓周運(yùn)動周期的四分之一．求最后離開磁場的粒子從粒子源射出時(shí)的(1)速度的大小；(2)速度方向與y軸正方向夾角的正弦．分析：本題是粒子以一定速度沿任意方向射入磁場的問題，由平移法做出軌跡圓心圓（如虛圓），

再做動態(tài)圓，找臨界狀態(tài)。最后離開磁場的粒子在磁場中的圓周運(yùn)動的弦最長，經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁場中做圓周運(yùn)動周期的四分之一．則粒子速度方向改變900粒子也即粒子半徑轉(zhuǎn)過的最大圓心角為900在動態(tài)圓中與邊界相切的這種情況弦最長，對應(yīng)的圓心角為900，最后射出磁場【解析】(1)設(shè)粒子的發(fā)射速度為v，粒子做圓周運(yùn)動的軌道半徑為R，由牛頓第二定律和洛倫茲力公式，得qvB=m

①由①式得R=②當(dāng)a/2<R<a時(shí)，在磁場中運(yùn)動時(shí)間最長的粒子，其軌跡是圓心為C的圓弧，圓弧與磁場的上邊界相切，如右圖所示，設(shè)該粒子在磁場運(yùn)動的時(shí)間為t，依題意t=T/4，得∠OCA=③設(shè)最后離開磁場的粒子的發(fā)射方向與y軸正方向的夾角為a，由幾何關(guān)系可得Rsina=R-④Rsina=a-Rcosa

⑤又sin2a+cos2a=1⑥由④⑤⑥式得R=(2-)a

⑦由②⑦式得v=(2-)⑧(2)由④⑦式得sina=⑨小結(jié)1.帶電粒子進(jìn)入有界磁場,運(yùn)動軌跡為一段弧線.2.當(dāng)同源粒子垂直進(jìn)入磁場的運(yùn)動軌跡3.注意圓周運(yùn)動中的有關(guān)對稱規(guī)律:(2)粒子進(jìn)入單邊磁場時(shí),入射速度與邊界夾角等于出射速度與邊界的夾角;(1)在圓形磁場區(qū)域內(nèi),沿徑向射入的粒子,必沿徑向射出.練習(xí)1一定速度的粒子沿各個(gè)方向從內(nèi)圓射出時(shí)與內(nèi)圓相切方向射入磁場徑向距離最大，最易射出磁場（平移法做出軌跡圓心圓如虛圓，如左圖）當(dāng)粒子以大小不同的速度沿與內(nèi)圓相切方向射入磁場（由放縮法知）軌道與外圓相切時(shí)對應(yīng)的速度是所有粒子射不出磁場的最大速度練習(xí)2平移法做出軌跡圓心圓如虛圓，如左圖練習(xí)3練習(xí)4練習(xí)5放縮法兩平面熒光屏互相垂直放置，在兩屏內(nèi)分別取垂直于兩屏交線的直線為x軸和y軸，交點(diǎn)O為原點(diǎn)，如圖6-3-1所示．在y>0,0<x<a的區(qū)域有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，在y>0，x>a的區(qū)域有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，兩區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B.在O點(diǎn)處有一小孔，一束質(zhì)量為m、帶電量為q(q>0))的粒子沿x軸經(jīng)小孔射入磁場，最后打在豎直和水平熒光屏上，使熒光屏發(fā)亮．入射粒子的速度可取從零到某一最大值之間的各種數(shù)值．已知速度最大的粒子在0<x<a的區(qū)域中運(yùn)動的時(shí)間與在x>a的區(qū)域中運(yùn)動的時(shí)間之比為2∶5，在磁場中運(yùn)動的總時(shí)間為7T/12，其中T為該粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中做圓周運(yùn)動的周期．試求兩個(gè)熒光屏上亮