第4章空間力系

第四章空間力系1第四章空間力系m2＝Pr2PFByxyzFBzFCzFCy作用在物體上的力系，其作用線分布在空間，而且不能簡化到某一平面時(shí)，這種力系就稱為空間力系。Fm1＝Fr1PFCBAE2§4—1空間匯交力系

一、力在空間直角坐標(biāo)系上的投影1、直接投影法已知力與x、y、z

軸夾角，即力的方向角α、β、γ。

Fx＝FcosαFy＝FcosβFz＝Fcosγ90FyFzOFxyzαβγFx3xzφFyOγ已知力F與z

軸夾角γ，以及在與該軸垂直平面上的投影與另一軸的夾角φ。(2)Fxy向x、y軸投影Fz＝FcosγFxy＝Fsinγ(1)F向z軸和xy

面投影Fx＝FsinγcosφFy＝FsinγsinφFzFxFyFx＝FsinγcosφFy＝FsinγsinφFz＝Fcosγ2．二次投影法Fxy43、投影與分力的關(guān)系在直角坐標(biāo)系中，投影與分力的關(guān)系和平面問題完全相同。力對同向平行軸的投影相等。（空間問題往往作輔助坐標(biāo)軸）力投影（1）投影的絕對值＝分力的大小。（2）投影的符號為正，分力與相應(yīng)坐標(biāo)軸的方向一致。將力沿坐標(biāo)軸分解，如圖。FyFzFxFzFyFxOFxyzαβγ5Fyxzx’z’y’例：半徑為r的斜齒輪，其上作用有力F。求力F沿坐標(biāo)軸的投影。作輔助坐標(biāo)軸x’y’z’。分解FxyFxy＝Fcos(1)先分解FFa

＝Fcos

cos(軸向力)Ft

＝Fcos

sin(圓周力或切向力)解：Fr

＝

Fsin(徑向力)FrFxyFtFaxzFtFr(2)

求F在x、y、z軸投影。Fz＝－Fr

＝－

FsinFx

＝Ft

＝Fcos

sinFy

＝－Fa

＝－Fcos

cosxyFaFtFxyα壓力角、β螺旋角6二、空間匯交力系的合力與平衡條件合力投影定理空間匯交力系的合力

合力的大小方向余弦空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過匯交點(diǎn).7空間匯交力系平衡的充分必要條件是：空間匯交力系的平衡方程該力系的合力等于零，即空間匯交力系平衡的充要條件：該力系中所有各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別為零。注意：看懂題——看清圖——必要時(shí)作輔助圖8EzABy30oFθFAP例2已知：物重P=10kN，CE=EB=DE；CBD與平面成30o，求：桿受力及繩拉力。EDxzABCy30oFθPx’解：研究對象：起重桿AB解得：FAF1F2∠CBE＝∠DBE＝45o9平面上力對一點(diǎn)之矩，實(shí)際上為力使物體對過該點(diǎn)與平面垂直的軸的力矩。即：xyF平面上實(shí)際中，當(dāng)力不作用在垂直與轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)時(shí)，力也可使物體轉(zhuǎn)動。僅有平面上力對點(diǎn)的力矩的概念是不夠的?！?—2力對點(diǎn)的矩和力對軸之矩yxz空間F10§4–2力對點(diǎn)的矩和力對軸的矩(1)作用面：力矩作用面。（力和矩心確定的平面）(2)方向：轉(zhuǎn)動方向。(3）大?。毫與力臂的乘積?？臻g力對點(diǎn)之矩與下列因素有關(guān)：xzyFF11BOxyzhA(x,y,z)1、

力對點(diǎn)的矩用矢量表示——力矩矢§4–2力對點(diǎn)的矩和力對軸的矩方位：力矩作用面法線；指向：右手螺旋法則。大?。憾x式：12力矩矢量在坐標(biāo)軸上的投影：

力矩矢的起點(diǎn)：力對點(diǎn)之矩大小和方向都與矩心Ｏ位置有關(guān)，故力矩矢的起點(diǎn)必須在Ｏ點(diǎn)。所以力對點(diǎn)之矩為定點(diǎn)矢量(定位矢量)。BOxyzA(x,y,z)13hBzyOx2、力對軸之矩是力使物體繞軸轉(zhuǎn)動效果的度量。分解Fxy在與z軸垂直的xy面內(nèi)FFz

∥

z經(jīng)驗(yàn)可知：Fz不能使門轉(zhuǎn)動。只有Fxy對門有轉(zhuǎn)動效應(yīng)。且這種轉(zhuǎn)動效應(yīng)與力Fxy的大小及其作用線到點(diǎn)O的距離有關(guān)。為代數(shù)量即：力對軸之矩，等于力在垂直于該軸的平面上的投影對軸與平面交點(diǎn)之矩。Fz

Fxy

力對軸之矩定義式為：FA14逆z軸看，F(xiàn)xy使物體繞O點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動為正，反之為負(fù)。符號規(guī)定：右手螺旋法則：四指屈向表Fxy繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動方向，拇指與z軸指向一致為正，反之為負(fù)。>0zOFxyFxy<0zOFxy為代數(shù)量2、力對軸之矩15力對軸之矩為代數(shù)量即：力對軸之矩，等于力在垂直于該軸的平面上的投影對軸與平面交點(diǎn)之矩。1、力與軸平行，矩為零。即：力與軸位于同一平面內(nèi)時(shí)，力對軸之矩為零。2、力與軸相交，矩為零。特殊情況：zyOxF1F2F16合力矩定理空間任意力系的合力對于任一軸的矩等于力系中所有各力對于該軸的矩的代數(shù)和。（用于求力矩）17力對軸之矩的解析式：xyzzyx以矩心Ｏ為原點(diǎn)。計(jì)算力對軸之矩，常用合力矩定理。力對點(diǎn)之矩在通過該點(diǎn)的某軸上的投影，等于力對該軸之矩。對照：O同理：A(x,y,z)18所以，欲求力對一點(diǎn)之矩，可先求力對過該點(diǎn)三個(gè)直角坐標(biāo)軸的矩。理論分析——用力對點(diǎn)之矩。實(shí)際計(jì)算——用力對軸之矩。注意：19x’z’解：laθDlABCExzy例4-4直角手柄ABCDE在平面Axy內(nèi)，力F在垂直與y軸的平面內(nèi)如圖。求力F對x、y、z軸的力矩。（方法1）利用合力矩定理（方法2）利用解析式求力的投影力作用點(diǎn)坐標(biāo)分解力F20§4–3空間力偶400N400N0.2m0.5m0.5m討論空間力偶對物體的作用效果（1）大?。毫εc力偶臂的乘積；（3）作用面：力偶作用面。

（2）方向：轉(zhuǎn)動方向；400N400N400N400N1000N1000N21dCAB大?。毫Τ艘粤ε急跢d=2?ABC。方位：力偶作用面法線。轉(zhuǎn)向：右手螺旋法則。力偶矩矢定義式：22ABO力偶的性質(zhì)（3）力偶對任意點(diǎn)取矩都等于力偶矩，不因矩心的改變而改變。(2）力偶中兩力在任意坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和為零。(1)力偶沒有合力，力偶平衡只能由力偶來平衡。23AB2、空間力偶等效定理作用在同一剛體上的兩個(gè)力偶，如果力偶矩矢相等，則它們彼此等效。力對點(diǎn)之矩為定點(diǎn)矢量。ABC力為滑移矢量。只要保持力偶矩不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，可以同時(shí)改變力的大小與力偶臂的長短，且作用面可以平行移動，對剛體的作用效果不變?？臻g力偶矩矢為自由矢量。24與匯交力系的合成相同，對于空間力偶系：3．力偶系的合成與平衡條件（證明P80自習(xí)）為合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。25合力偶矩矢的大小和方向余弦:合矢量投影定理：合力偶矩矢力偶系的合成（與匯交力系的計(jì)算完全相同）26空間力偶系的平衡方程.空間力偶系平衡的充分必要條件是：合力偶矩矢等于零。即：27把各力偶矩矢平行移到一點(diǎn)。求力偶在坐標(biāo)軸的投影解：45o例4-5已知：在工件四個(gè)面上同時(shí)鉆5個(gè)孔，每個(gè)孔所受切削力偶矩均為80N·m。求：工件所受合力偶矩在x、y、z

軸上的投影Mx、My、Mz

。xzyll45oxzyA28解：解得例4-6

已知：兩圓盤半徑均為200mm，AB=800mm，圓盤面O1垂直于z軸，圓盤面O2垂直于x軸，兩盤面上作用有力偶，F(xiàn)1=3N，F(xiàn)2=5N，構(gòu)件自重不計(jì)，求：軸承A，B處的約束力。yzxABF1F2F’1F’2OO1O2研究對象：整體FAxFBxFAzFBz29xzyOxzyOxzyO§4–4

空間任意力系向一點(diǎn)的簡化·主矢和主矩1．空間任意力系向一點(diǎn)的簡化空間任意力系空間匯交力系空間力偶系30稱為原力系的主矩稱為原力系的主矢空間力偶系的合力偶矩空間匯交力系的合力1．空間任意力系向一點(diǎn)的簡化31xzyO空間任意力系的主矩，大小方向一般與簡化中心有關(guān)。xzyOD空間任意力系的主矢，大小方向與簡化中心無關(guān)。DxzyOD空間任意力系向不同點(diǎn)O、D簡化后，主矩的關(guān)系式。32—有效推進(jìn)力飛機(jī)向前飛行—有效升力飛機(jī)上升—側(cè)向力飛機(jī)側(cè)移—滾轉(zhuǎn)力矩飛機(jī)繞x軸滾轉(zhuǎn)—偏航力矩飛機(jī)轉(zhuǎn)彎—俯仰力矩飛機(jī)仰頭飛機(jī)所受的全部力向重心簡化的主矢和主矩，沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分量。33（1）（3）（2）（4）原力系的合力偶矩，大小方向與簡化中心無關(guān)。（1）簡化為一個(gè)合力偶的情況。2．空間任意力系的簡化結(jié)果分析（最終結(jié)果）34O’dOO當(dāng)原力系的合力，大小方向與簡化中心有關(guān)。（2）簡化為一個(gè)合力的情況。2．空間任意力系的簡化結(jié)果分析（最終結(jié)果）O’O35（3）簡化為一個(gè)力螺旋的情況。OOOO力螺旋是由靜力學(xué)的兩個(gè)基本要素力和力偶組成的最簡單的力系。不能進(jìn)一步合成。力的作用線為中心軸。右螺旋左螺旋2．空間任意力系的簡化結(jié)果分析（最終結(jié)果）36（3）簡化為一個(gè)力螺旋的情況。OOO’dOθ（4）空間任意力系平衡的情況。一般情況下，，都可以簡化為一個(gè)力螺旋。37§4–5

空間任意力系的平衡方程空間任意力系平衡的充要條件：該力系的主矢、主矩分別為零。1.空間任意力系的平衡方程空間任意力系平衡的充要條件：所有各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和等于零，以及所有各力對于每一個(gè)坐標(biāo)軸的矩的代數(shù)和等于零。6個(gè)獨(dú)立方程，求解6個(gè)未知量。38空間平行力系的平衡方程3個(gè)獨(dú)立方程，求解3個(gè)未知量。F1F2FnxzOy392.空間約束類型舉例約束力(反力)：約束給予被約束物體的阻礙運(yùn)動的力。觀察被約束物體在空間可能的6種獨(dú)立的位移中（沿x、y、z的移動和繞此三軸的轉(zhuǎn)動）有哪幾種位移被約束所阻礙。阻礙移動的是約束力，阻礙轉(zhuǎn)動的是約束力偶。確定約束的約束力個(gè)數(shù)的方法

：P88401.2m2m0.2m0.2m0.6m0.6mOP1PABCDE例題4－7三輪小車，自重P＝8kN，載荷P1＝10kN。求小車靜止時(shí)地面對車輪的約束力。yzxFAFBFD研究對象：小車解：承受空間平行力系41yzxθβF200200200F1F2DABR例題4-8

已知如圖：皮帶直徑D＝400mm，拉力F2＝2F1,θ＝30O,β＝60O。曲柄R=300mm,作用鉛垂力F＝2000N,求皮帶張力和軸承反力。解：研究對象：曲軸F1z’Dx’RF2θβFFBzFBxFAxFAz4238848876DABCFxFyFzFrFtr例

車床主軸。車刀的切削力Fx=4.25kN，F(xiàn)y=6.8kN，F(xiàn)z=17kN。齒輪C的嚙合力Ft＝0.36Fr，節(jié)圓半徑R=50mm,工件的半徑r=30mm。切削時(shí)工件等速轉(zhuǎn)動。

求（1）齒輪C的嚙合力；（2）軸承A、B

的約束力；（3）三爪卡盤對工件的約束力。FBxFBzFByyzxFAxFAz

FzFxxzFtFrrR100x’z’解（1）研究對象：軸43例

已知Fx=4.25kN，F(xiàn)y=6.8kN，F(xiàn)z=17kN。Ft＝0.36Fr，R=50mm,r=30mm。求（1）嚙合力；（2）軸承約束力z38848876DABCFxFyFzFrFtrFBxFBzFByyxFAxFAz

FzFxxzFtFrrRx’z’解44例車刀的切削力Fx=4.25kN，F(xiàn)y=6.8kN，F(xiàn)z=17kN。求（3）三爪卡盤對工件的約束力。30100FxFzFyMzxzyOFOyFOzFOxMx解（1）研究對象：工件My45對于空間力系，相互獨(dú)立的平衡方程有6個(gè)，可以根據(jù)題意列出多個(gè)力矩方程，靈活求解問題。平面力系的平衡方程有基本式、二矩式、三矩式。力矩平衡方程形式簡單，求解方便。46EHABCDFGbbaP612345F例均質(zhì)長方形板由6根直桿支撐于水平位置。板重P。F=2P，求各桿內(nèi)力。F1F2F3F4F5F6αyzx解（1）研究對象：長方形板47ABC1、平行力系的中心平行力系的中心是平行力系的合力通過的一個(gè)點(diǎn)。利用合力矩定理，確定合力作用點(diǎn)?！?-6重心平行力系合力作用點(diǎn)的位置僅與各平行力的大小和作用點(diǎn)的位置有關(guān)，而與各平行力的方向無關(guān)。此點(diǎn)稱為平行力系的中心。48對于反向平行力系，上述方法和結(jié)論仍適用。平行力系合力作用點(diǎn)的位置僅與各平行力的大小和作用點(diǎn)的位置有關(guān)，而與各平行力的方向無關(guān)。此點(diǎn)稱為平行力系的中心。AB設(shè)合力作用點(diǎn)為CC49xzyo2、重心WC1?W1?W2?WiCiC2C物體的重力——是地球?qū)ξ矬w的吸引力。若將物體視為無數(shù)微元的集合，則所有微元所受地球引力近似構(gòu)成空間平行力系。實(shí)驗(yàn)證明，無論物體怎樣放置，其重力永遠(yuǎn)通過物體內(nèi)一個(gè)固定的點(diǎn)，該點(diǎn)為物體的重心。其合力即為物體的重力。其中心即為物體的重心。502、重心xzyC1?W1?W2?WiWCiC2CxCyCzCxiyizi利用合力矩定理：若物體在xi、yi、zi處單位體積的重量為。則：?Wi=dVi對于均質(zhì)物體為常量：51R3、確定物體重心的方法（1）簡單幾何形狀的物體的重心均質(zhì)物體有對稱面、對稱軸、對稱中心，物體的重心一定在對稱面、對稱軸、對稱中心上。xy例題：求圖示扇形面積的重心。解：θ對于半圓2＝，重心由對稱性，有xC＝052（2）組合法求重心若物體由多個(gè)形狀簡單的物體組合而成，每塊物體重力為P1,P2….Pn，重心為（x1,y1,z1）（x2,y2,z2）…（xn,yn,zn），那么整個(gè)物體的重心為：53（2）組合法求重心若物體由多個(gè)形狀簡單的均質(zhì)物體組合而成，每塊物體體積為V1,V2….Vn，重心為（x1,y1,z1）（x2,y2,z2）…（xn,yn,zn），那么整個(gè)物體的重心為：均質(zhì)物體的重心和形心重合。對于均質(zhì)物體重心位置僅取決于物體的幾何形狀和尺寸，此時(shí)，重心又為物體的幾何中心，即形心。54（2）組合法求重心若物體由多個(gè)形狀簡單的均質(zhì)等厚的薄板組合而成，每塊物體面積為A1,A