《數(shù)學(xué)史》分析的嚴(yán)格化(上)

第10章

分析的嚴(yán)格化

第十章分析的嚴(yán)格化

10.1柯西與分析基礎(chǔ)

經(jīng)過近一個世紀(jì)的嘗試與醞釀，數(shù)學(xué)家們在嚴(yán)格化基礎(chǔ)上重建微積分的努力到19世紀(jì)初開始獲得成效．這方面的先聲來自捷克學(xué)者波爾察諾(B.Bolzano，1781—1848)，他在1817年發(fā)表了《純粹分析證明》，以證明連續(xù)函數(shù)的中值定理為目的，其中包含了對函數(shù)連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)等概念的合適定義，但波爾察諾的工作長期湮沒無聞．19世紀(jì)分析嚴(yán)格化真正有影響的先驅(qū)是法國數(shù)學(xué)家柯西．

柯西長期擔(dān)任巴黎綜合工科學(xué)校教授，他有許多著作都是以工科大學(xué)講義形式面世的．在分析方法方面，他寫出了一系列著作，其中最有代表性的是《分析教程》(1821)和《無限小計算教程概論》(1823)，它們以嚴(yán)格化為目標(biāo)，對微積分的基本概念，如變量、函數(shù)、極限、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、微分、收斂等等給出了明確的定義，并在此基礎(chǔ)上重建和拓展了微積分的重要事實與定理．什么叫數(shù)學(xué)概念？什么叫數(shù)學(xué)里面的定義？什么叫數(shù)學(xué)概念？數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的一門學(xué)科。透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數(shù)、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產(chǎn)生。為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)出的真理，數(shù)學(xué)家們拓展了這些概念。什么叫數(shù)學(xué)里面的定義？數(shù)學(xué)概念(mathematicalconcepts)：是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式。

正確地理解和形成一個數(shù)學(xué)概念，必須明確這個數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵——對象的“質(zhì)”的特征，及其外延——對象的“量”的范圍。一般來說，數(shù)學(xué)概念是運用定義的形式來揭露其本質(zhì)特征的。

有些數(shù)學(xué)概念要經(jīng)過長期的醞釀，最后才以定義的形式表達(dá)，如函數(shù)、極限等。

定義是準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)概念的方式。下面欣賞柯西給出的一些定義：以下是這方面的一些例子：

1.變量.“依次取許多互不相同的值的量叫作變量”．

2.函數(shù).“當(dāng)變量之間這樣聯(lián)系起來的時候，即給定了這些變量中的一個值，就可以決定所有其他變量的值的時候，人們通常想象這些量是用其中的一個來表達(dá)的，這時這個量就取名為自變量，而由這些自變量表示的其他量就叫作這個自變量的函數(shù)”．

3.極限.“當(dāng)同一變量逐次所取的值無限趨向于一個固定的值，最終使它的值與該定值的差要多小就多小，那么最后這個定值就稱為所有其他值的極限”．

4.無限小量.“當(dāng)同一變量逐次所取的絕對值無限減小，以致比任意給定的數(shù)還要小，這個變量就是所謂的無限小或無限小量”．

5.連續(xù)函數(shù)．柯西第一次解決了函數(shù)連續(xù)性的定義問題．按他的定義，函數(shù)在給定限之間關(guān)于保持連續(xù)，如果在這兩限之間變量的每個無限小增量總產(chǎn)生函數(shù)本身的一個無限小增量．6.導(dǎo)數(shù)與微分．柯西把導(dǎo)數(shù)明確定義為差商當(dāng)無限地趨向于零的極限，函數(shù)的微分則定義為

.

7.積分．柯西首先指出，在研究積分或原函數(shù)的各種性質(zhì)以前，應(yīng)先證明它們是存在的．也就是說需要首先對一大類函數(shù)給出積分的一般定義．設(shè)函數(shù)在給定區(qū)間上連續(xù)，并用點把區(qū)間劃分為個子區(qū)間，對應(yīng)于每個這樣的劃分，構(gòu)造近似和：問：你能簡單的總結(jié)一下這個過程嗎？柯西證明這個和數(shù)當(dāng)區(qū)間長趨向于零時的極限與劃分的方式無關(guān)，并把這個極限定義為在區(qū)間上的積分這個定義后來被黎曼直接推廣，將每個區(qū)間端點用區(qū)間內(nèi)任一點來代替，就得到現(xiàn)在所說的黎曼積分．

分割---近似---作和---取極限。

在以上一系列定義的基礎(chǔ)上，柯西得以嚴(yán)格地表述并證明微積分基本定理，中值定理等一系列重要定理，如微積分基本定理被表述為：在區(qū)間上給定連續(xù)函數(shù)，對于，由

定義的新函數(shù)就是的原函數(shù)或反導(dǎo)數(shù)，即在上有我們一般還稱為什么函數(shù)？柯西還對無窮級數(shù)進(jìn)行了嚴(yán)格化處理，明確定義了級數(shù)的收斂性，并研究了判別級數(shù)收斂的條件．令是所研究的無窮級數(shù)前項的和，為自然數(shù)，若當(dāng)趨向于無限大時，和無限趨近于某一極限，柯西就說級數(shù)是收斂的．

柯西在數(shù)學(xué)發(fā)明方面有特別豐富能力，其多產(chǎn)能力在歷史上只被超過了兩次（被歐拉和凱萊超過）。他的工作就象他的時代，是革命的。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩個引起興趣的主要問題應(yīng)歸功于柯西，這兩個問題中的每一個都標(biāo)志著與十八世紀(jì)數(shù)學(xué)的斷然決裂。

第一個是把嚴(yán)格性引進(jìn)了數(shù)學(xué)分析。

第二個是組合方面。

柯西(A-L.Cauchy，1789—1851)于1789年8月21日（巴士底獄陷落后不到六個星期）出生在巴黎?？挛鳌?813年，柯西已經(jīng)以他光輝的研究工作，特別是關(guān)于多面體的論文和關(guān)于對稱函數(shù)的論文，吸引了法國主要數(shù)學(xué)家們的注意。

○柯西到二十七歲(1816年)時已經(jīng)使自己上升到當(dāng)時的數(shù)學(xué)家的最前列。他唯一的重要競爭對手是沉默的高斯?？挛?/p>

○1826—1830年，創(chuàng)辦一個他自己的雜志《數(shù)學(xué)練習(xí)》，第二輯繼續(xù)以《分析數(shù)學(xué)和物理練習(xí)》為名，發(fā)表他在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的評論性的和獨創(chuàng)性的著作。偉大數(shù)學(xué)家柯西柯西

柯西（Cauchy1789-1857），法國數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，有很高的建樹和造詣。很多數(shù)學(xué)的定理和公式也都以他的名字來稱呼，如柯西不等式、柯西積分公式...

柯西創(chuàng)造力驚人，數(shù)學(xué)論文像連綿不斷的泉水在柯西的一生中噴涌，他發(fā)表了789篇論文，出版專著7本。從他23歲寫出第一篇論文到68歲逝世的45年中，平均每月發(fā)表一至兩篇論文.

柯西

他在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的功力是相當(dāng)深厚的，在數(shù)學(xué)寫作上，他是被認(rèn)為在數(shù)量上僅次于歐拉的人，他一生一共著作了789篇論文和幾本書，其中有些還是經(jīng)典之作。

柯西柯西在幼年時，有機(jī)會遇到拉普拉斯和拉格朗日兩位大數(shù)學(xué)家。他們對他的才能十分賞識；拉格朗日認(rèn)為他將來必定會成為大數(shù)學(xué)家，但建議他的父親在他學(xué)好文科前不要學(xué)數(shù)學(xué)?？挛饔?805年考入綜合工科學(xué)校，在那里主要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和力學(xué)；1807年考入橋梁公路學(xué)校，1810年以優(yōu)異成績畢業(yè)，前往瑟堡參加海港建設(shè)工程?？挛?/p>

柯西去瑟堡時攜帶了拉格朗日的《解析函數(shù)論》和拉普拉斯的《天體力學(xué)》，后來還陸續(xù)收到從巴黎寄出或從當(dāng)?shù)亟璧玫囊恍?shù)學(xué)書。他在業(yè)余時間悉心攻讀有關(guān)數(shù)學(xué)各分支方面的書籍，從數(shù)論直到天文學(xué)方面。根據(jù)拉格朗日的建議，他進(jìn)行了多面體的研究，并于1811及1812年向科學(xué)院提交了兩篇論文。

柯西27歲即當(dāng)選為法國科學(xué)院院士，還是英國皇家學(xué)會會員和許多國家的科學(xué)院院士.二、柯西的數(shù)學(xué)成就

柯西對數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)是在微積分中引進(jìn)了清晰和嚴(yán)格的表述與證明方法.正如著名數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼所說：“嚴(yán)密性的統(tǒng)治地位基本上由柯西重新建立起來的.”

在這方面他寫下了三部專著：《分析教程》、《無窮小計算教程》、《微分計算教程》.他的這些著作，擺脫了微積分單純的對幾何、運動的直觀理解和物理解釋，引入了嚴(yán)格的分析上的敘述和論證，從而形成了微積分的現(xiàn)代體系.柯西馮·諾伊曼的簡介，參看第99頁?？挛?/p>

作為一位學(xué)者，他思路敏捷，功績卓著。由柯西卷帙浩大的論著和成果，人們不難想象他的一生是怎樣孜孜不倦的勤奮工作。但是柯西卻是個具有復(fù)雜性格的人。他是忠誠的保王黨人，熱心的天主教徒，落落寡歡的學(xué)者。尤其作為久負(fù)盛名的科學(xué)泰斗，他常常忽視青年學(xué)者的創(chuàng)造。例如，由于柯西“失落”了才華出眾的年輕數(shù)學(xué)家阿貝爾和伽羅華的開創(chuàng)性論文手稿，造成群論晚問世半個世紀(jì)。柯西1857年5月23日，他突然去世，享年68歲，他因為熱病去世，臨終前，他還與巴黎大主教在說話，他說的最后一句話是：

“人總是要死的，但是，他們的功績永存！”

10.2分析的算術(shù)化

柯西的工作是令人尊敬的，但他的理論還只能說是“比較嚴(yán)格”，人們不久便發(fā)現(xiàn)柯西的理論也存在漏洞.例如，他用了許多“無限趨近”、“想要多小就多小”等直覺描述的語言．特別是，微積分計算是在實數(shù)舞臺上進(jìn)行的，但直到19世紀(jì)中葉，對于什么是實數(shù)，竟還沒有明確的定義．?dāng)?shù)學(xué)家們對實數(shù)系本身仍然是以直觀的方式來理解的，他們相當(dāng)隨意地使用無理數(shù)(如)，而沒有認(rèn)真考察它們的確切意義和性質(zhì)．為了進(jìn)行計算，他們依靠了這樣的假設(shè)：任何無理數(shù)都能用有理數(shù)來任意逼近，如=1.4142…．由于對實數(shù)系缺乏充分的理解，就不可能真正為微積分奠定牢固的基礎(chǔ)．例如，柯西在證明連續(xù)函數(shù)積分(作為和式的極限)的存在性、證明級數(shù)收斂判別準(zhǔn)則的充分性以及證明中值定理

時，都需要實數(shù)的完備性，而實數(shù)系的這種基本性質(zhì)在當(dāng)時并沒有證實．

對實數(shù)系缺乏認(rèn)識不僅造成邏輯上的間斷，而且實際上常常導(dǎo)致錯誤．由于沒有建立一致收斂性概念，柯西得出過一個錯誤判斷：

若皆連續(xù)，且級數(shù)收斂，則連續(xù)；他還斷定這時對收斂級數(shù)可以逐項積分

另一個在當(dāng)時普遍持有的錯誤觀念是認(rèn)為凡連續(xù)函數(shù)都是可微的．因此，當(dāng)?shù)聡鴶?shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯在1861年舉出一個處處連續(xù)但卻處處不可微的函數(shù)例子時，數(shù)學(xué)界可以說是大為震驚.

魏爾斯特拉斯的例子是：其中是奇數(shù)，常數(shù)，是使得．

高斯曾經(jīng)稱“數(shù)學(xué)是眼睛的科學(xué)”，但是要看清魏爾斯特拉斯擺在數(shù)學(xué)家們面前的這條曲線，單靠一雙好眼睛是無論如何不夠的．魏爾斯特拉斯的例子使人們迫切感到徹底擺脫對幾何直覺的依賴，重新認(rèn)識考察分析基礎(chǔ)的必要性．另一位德國數(shù)學(xué)家戴德金(R.Dedekind)在1858年開始講授微積分時說過的一段話，也反映出當(dāng)時的數(shù)學(xué)家不滿足于柯西的標(biāo)準(zhǔn)，而尋求使分析進(jìn)一步嚴(yán)格化的途徑的愿望：

“我比以往任何時候更加強(qiáng)烈地感到這種算法缺乏真正科學(xué)的基礎(chǔ)．在討論一個變量逼近于一個固定的極限值的概念時，特別是在證明每個連續(xù)增加但不超過一切界限的量必定趨向于一個極限這一定理時，我依靠的是幾何上的證據(jù)．……但是，決不能認(rèn)為以這種方式引入微分學(xué)是科學(xué)的．這一點已經(jīng)得到公認(rèn)．至于我本人，也無法克制這種不滿意的感覺而下定決心研究這個問題，直到為無窮小分析原理建立純粹算術(shù)的和完全嚴(yán)格的基礎(chǔ)為止．”

把分析建立在“純粹算術(shù)”的基礎(chǔ)之上，這方面的努力在19世紀(jì)后半葉釀成了數(shù)學(xué)史上著名的“分析算術(shù)化”運動，這場運動的主將是上面已經(jīng)提到的魏爾斯特拉斯．魏爾斯特拉斯認(rèn)為實數(shù)賦予我們極限與連續(xù)等概念，從而成為全部分析的本源．要使分析嚴(yán)格化，首先就要使實數(shù)系本身嚴(yán)格化．為此最可靠的辦法是按照嚴(yán)密的推理將實數(shù)歸結(jié)為整數(shù)(有理數(shù))．這樣，分析的所有概念便可由整數(shù)導(dǎo)出，使以往的漏洞和缺陷都能得以填補(bǔ)．這就是所謂“分析算術(shù)化”綱領(lǐng)，魏爾斯特拉斯本人和他的學(xué)生們?yōu)閷崿F(xiàn)這一綱領(lǐng)作出了艱苦的努力并獲得了很大成功．10.2.1魏爾斯特拉斯

魏爾斯特拉斯(Weierstrass，1815—1897），德國數(shù)學(xué)家，中學(xué)畢業(yè)時成績優(yōu)秀，共獲7項獎，其中包括數(shù)學(xué)，但他的父親卻把他送到波恩大學(xué)去學(xué)習(xí)法律和商業(yè)．魏爾斯特拉斯對商業(yè)和法律都毫無興趣．在波恩大學(xué)他把相當(dāng)一部分時間花在自學(xué)他所喜歡的數(shù)學(xué)上，攻讀了包括拉普拉斯的《天體力學(xué)》在內(nèi)的一些名著。他在波恩的另一部分時間則花在了擊劍上．魏爾斯特拉斯體魄魁偉，擊劍時出手準(zhǔn)確，加上旋風(fēng)般的速度，很快就成為波恩人心目中的擊劍名星．魏爾斯特拉斯魏爾斯特拉斯這樣在波恩大學(xué)度過四年之后，魏爾斯特拉斯回到家里，沒有得到他父親所希望的法律博士學(xué)位，連碩士學(xué)位也沒有得到．這使他父親勃然大怒，呵斥他是一個“從軀殼到靈魂都患病的人”．這時多虧他家的一位朋友建議，魏爾斯特拉斯被送到明斯特去準(zhǔn)備教師資格考試．1841年，他正式通過了教師資格考試．在這期間，他的數(shù)學(xué)老師居德曼認(rèn)識到他的才能．

居德曼(C.Gudermann)是一位橢圓函數(shù)論專家，他的橢圓函數(shù)論給了魏爾斯特拉斯很大影響，魏爾斯特拉斯為通過教師資格考試而提交的一篇論文的主題就是求橢圓函數(shù)的冪級數(shù)展開．居德曼在這篇論文的評語中寫道：“論文顯示了一位難得的數(shù)學(xué)人才，只要不被埋沒荒廢，一定會對科學(xué)的進(jìn)步作出貢獻(xiàn)”．

居德曼的評語并沒有引起任何重視，魏爾斯特拉斯在獲得中學(xué)教師資格后開始了漫長的中學(xué)教師生活．他在兩處偏僻的地方中學(xué)度過了包括30歲到40歲的這段數(shù)學(xué)家的黃金歲月．

他在中學(xué)不光是教數(shù)學(xué)，還教物理、德文、地理甚至體育和書法課，而所得薪金連進(jìn)行科學(xué)通信的郵資都付不起．但魏爾斯特拉斯以驚人的毅力，過著一種雙重的生活．他白天教課，晚上攻讀研究阿貝爾等人的數(shù)學(xué)著作，并寫了許多論文．其中有少數(shù)發(fā)表在當(dāng)時德國中學(xué)發(fā)行的一種不定期刊物“教學(xué)簡介”上，但正如魏爾斯特拉斯后來的學(xué)生、瑞典數(shù)學(xué)家米塔·列夫勒所說的那樣：“沒有人會到中學(xué)的教學(xué)簡介中去尋找有劃時代意義的數(shù)學(xué)論文。”不過魏爾斯特拉斯這一段時間的業(yè)余研究，卻奠定了他一生數(shù)學(xué)創(chuàng)造的基礎(chǔ)．

一直到1853年，魏爾斯特拉斯將一篇關(guān)于阿貝爾函數(shù)的論文寄給了德國數(shù)學(xué)家克雷爾主辦的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》(常常簡稱《數(shù)學(xué)雜志》)，這才使他時來運轉(zhuǎn)．

克雷爾的雜志素以向有創(chuàng)造力的年青數(shù)學(xué)家開放而著稱．他接受了魏爾斯特拉斯的論文并在第二年就發(fā)表出來，隨即引起了轟動．哥尼斯堡大學(xué)一位數(shù)學(xué)教授親自到魏爾斯特拉斯當(dāng)時任教的布倫斯堡中學(xué)向他頒發(fā)了哥尼斯堡大學(xué)博士學(xué)位證書．普魯士教育部宣布晉升魏爾斯特拉斯，并給了他一年假期帶職從事研究．此后，他再也沒有回到布倫斯堡．1856年，也就是他當(dāng)了15年中學(xué)教師之后，魏爾斯特拉斯被任命為柏林工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)教授，同年被選進(jìn)柏林科學(xué)院．他后來又轉(zhuǎn)到柏林大學(xué)任教授直到去世，晚年享有很高的聲譽(yù)，幾乎被看成是德意志的民族英雄．在數(shù)學(xué)史上，魏爾斯特拉斯關(guān)于分析嚴(yán)格化的貢獻(xiàn)使他獲得了“現(xiàn)代分析之父”的稱號．這種嚴(yán)格化的突出表現(xiàn)是創(chuàng)造了一套語言，用以重建分析體系．可以說，數(shù)學(xué)分析達(dá)到今天所具有的嚴(yán)密形式，本質(zhì)上歸功于魏爾斯特拉斯的工作.

10.2.2實數(shù)理論

魏爾斯特拉斯很少正式發(fā)表自己的研究成果，他的許多思想和方法主要是通過他在柏林工業(yè)大學(xué)和柏林大學(xué)的課堂講授而傳播的，其中有一些后來由他的學(xué)生整理發(fā)表出來．在1857年開始的解析函數(shù)論課程中，魏爾斯特拉斯給出了第一個嚴(yán)格的實數(shù)定義，這個定義大意是先從自然數(shù)出發(fā)定義正有理數(shù)，然后通過無窮多個有理數(shù)的集合來定義實數(shù)．像大多數(shù)情況一樣，魏爾斯特拉斯只是在課堂上作了講授．1872年，有人曾建議他發(fā)表這一定義，但被魏爾斯特拉斯拒絕了．不過，1872年，戴德金、康托爾(Cantor，1845—1918)、梅雷(H.C.R.Meray)和海涅(H.E.Heinte)等人幾乎同時發(fā)表了他們各自的實數(shù)理論，而其中戴德金和康托爾的實數(shù)構(gòu)造方法正是我們現(xiàn)在通常所采用的．戴德金尤利烏斯·威廉·理查德·戴德金（JuliusWilhelmRichardDedekind

，1831—1916）又譯狄德金，最偉大的德國數(shù)學(xué)家、理論家和教育家，近代抽象數(shù)學(xué)的先驅(qū)。據(jù)《辭?！罚鞯陆疬€是格丁根大學(xué)哲學(xué)博士、柏林科學(xué)院院士。格奧爾格·康托爾

格奧爾格·康托爾（Cantor，GeorgFerdinandLudwigPhilipp，1845.3.3-1918.1.6）德國數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始人。生于俄國圣彼得堡（今俄羅斯列寧格勒）。父親是猶太血統(tǒng)的丹麥商人，母親出身藝術(shù)世家。1856年全家遷居德國的法蘭克福。先在一所中學(xué)，后在威斯巴登的一所大學(xué)預(yù)科學(xué)校學(xué)習(xí)。

戴德金的方法也稱為戴德金分割，是將一切有理數(shù)的集合劃分為兩個非空不相交的子集和，使得中的每一個元素小于中的每一個元素，這時戴德金把這個劃分定義為有理數(shù)的一個分割，記為。有些分割是有理數(shù)產(chǎn)生的，在這樣的分割中，要么有最大元素，要么有最小元素．但有些分割卻不是.例如，若是由滿足的一切正有理數(shù)組成，是由一切其余的有理數(shù)組成，則既不存在的最大元素，也不存在的最小元素，因為不存在有理數(shù)使得．戴德金說：每當(dāng)我們考慮一個不是由有理數(shù)產(chǎn)生的分割時，就得到一個新數(shù)即無理數(shù)，我們認(rèn)為這個數(shù)是由分割完全確定的．因此，戴德金就把一切實數(shù)組成的集合R定義為有理數(shù)集的一切分割，而一個實數(shù)就是一個分割．

康托爾的基本思想則是把實數(shù)定義為有理數(shù)序列，這里必須是滿足柯西收斂準(zhǔn)則的基本序列，即當(dāng)時，對任意正整數(shù)一致地趨于0．康托爾把每個有理數(shù)基本序列與一個實數(shù)等同起來．而兩個基本序列與,若，則被看成是等價的，即它們定義同一個實數(shù)．用現(xiàn)代語言說，康托爾的定義相當(dāng)于把實數(shù)集合定義為有理數(shù)的基本序列的一切等價類的集合．如果是一個有理數(shù)，則序列就表示對應(yīng)于的實數(shù)．

戴德金和康托爾在他們各自的實數(shù)定義下都嚴(yán)格證明了實數(shù)系的完備性．例如，康托爾證明了，若是任一實數(shù)序列，又若對于任意正整數(shù)一致地有成立，則必存在唯一的一個實數(shù)，它被一個由有理數(shù)構(gòu)成的基本序列所確定，使得．這表明，由實數(shù)構(gòu)成的基本序列不會產(chǎn)生任何更新類型的數(shù)，或者說由實數(shù)構(gòu)成的基本序列不需要任何更新類型的數(shù)來充當(dāng)它的極限，因為已經(jīng)存在的實數(shù)已足夠提供其極限了．因此，從為基本序列提供極限的觀點來說，實數(shù)系是一個完備系．這樣，長期以來圍繞著實數(shù)概念的邏輯循環(huán)得以徹底消除．實數(shù)的定義及其完備性的確立，標(biāo)志著由魏爾斯特拉斯倡導(dǎo)的分析算術(shù)化運動大致宣告完成．10.2.3集合論的誕生在分析的嚴(yán)格化過程中，一些基本概念如極限、實數(shù)、級數(shù)等的研究都涉及到由無窮多個元素組成的集合，特別是在對那些不連續(xù)函數(shù)進(jìn)行分析時，需要對使函數(shù)不連續(xù)或使收斂問題變得很困難的點集進(jìn)行研究，這樣就導(dǎo)致了集合論的建立．狄利克雷、黎曼等人都研究過這方面的問題，但只有康托爾在這一過程中系統(tǒng)發(fā)展了一般點集的理論，并開拓了一個全新的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域．

康托爾是在研究函數(shù)的三角級數(shù)表達(dá)式的唯一性問題時開始接觸無窮點集的．為了描述這種集合，他在1872年發(fā)表的《關(guān)于三角級數(shù)中一個定理的推廣》這篇文章里，定義了一系列點集論的基本概念，如極限點、導(dǎo)集、二階導(dǎo)集，…，第一型導(dǎo)集、第二型導(dǎo)集等，奠定了無窮點集論的初步基礎(chǔ)．在將唯一性定理推廣到允許無窮例外點等的過程中，康托爾認(rèn)識到，這些例外點的集合及其導(dǎo)集所產(chǎn)生的問題與全體實數(shù)集合的構(gòu)造性質(zhì)密切相關(guān)．因此，康托爾開始關(guān)注這樣一個問題：

像自然數(shù)集那樣的無窮集合和像實數(shù)集那樣的無窮集合存在著怎樣的關(guān)系?

1873年11月29日，康托爾在給戴德金的信中將上述問題以更明確的形式提了出來：

全體正整數(shù)集合和全體實數(shù)集合能否建立一一對應(yīng)?

康托爾這個問題看起來似乎不成問題，因為是離散的，是連續(xù)的，但康托爾認(rèn)為這個問題也許并不那么簡單，我們不能過分相信直覺．

康托爾

導(dǎo)致康托爾作出這種判斷的，是他不久前剛剛證明的一個結(jié)論：全體有理數(shù)的集合是可數(shù)的．這很有些出乎意料，因為有理數(shù)不像自然數(shù)，它是稠密的，在任何兩個不同的有理數(shù)之間都存在另一個有理數(shù)，事實上，有無限多個．依靠直覺，似

考慮正有理數(shù)按以下方式排成的陣列（如圖）。在其中，第一行依大小次序包括所有以1為分母的正分?jǐn)?shù)，即全體正整數(shù)；第二行依大小次序包括所有以2為分母的正分?jǐn)?shù)；第三行依大小次序包括所有以3為分母的正分?jǐn)?shù)等等．顯然，每個正有理數(shù)出現(xiàn)在這個陣列中．如果我們按箭頭所示依次重新排序，略去已經(jīng)出現(xiàn)過的數(shù)，就得到全體正有理數(shù)的一個無窮序列，

于是序列就是包括所有有理數(shù)的集合。這樣就證明了有理數(shù)集的可數(shù)性．乎可以斷言有理數(shù)是不可數(shù)的，但事實并非如此．康托爾的證明如下(這里是他1895年給出的第二個證明)．更令人驚異的是，康托爾還證明全體實代數(shù)數(shù)的集合也是可數(shù)的，而在直覺上實代數(shù)數(shù)似乎要比有理數(shù)多得多．康托爾起初想要證明實數(shù)集也是可數(shù)的，但他終于發(fā)現(xiàn)，在自然數(shù)集和實數(shù)集之間不可能建立一一對應(yīng)．康托爾的第一個證明是在1873年12月作出的，而以“康托爾對角線法”著稱的第二個證明則發(fā)表于1890年．在這第二個證明中，康托爾實際考慮的是實數(shù)集．他的思路是，假定是可數(shù)集，則必然存在中所有實數(shù)的一個序列，現(xiàn)將每個這樣的實數(shù)寫成十進(jìn)小數(shù)形式，并約定將有理數(shù)寫成無窮小數(shù)，如于是有現(xiàn)構(gòu)造，并規(guī)定如果，則，如果，則，因此是中的一個實數(shù)，但卻不同于上面序列中的任何一個數(shù)．這就與假定相矛盾，因此是不可數(shù)的．康托爾關(guān)于實數(shù)不可數(shù)性的發(fā)現(xiàn)，是為建立超窮集合論而邁出的真正有意義的一步．之后，康托爾開始考慮在正整數(shù)和實數(shù)兩個不同的無窮集合之外，是否還有更大的無窮?從1874年到1877年，他經(jīng)過三年的探索，證明了維空間的點集與線性點集是可以建立一一對應(yīng)的．這個結(jié)論與直覺如此相悖，以致康托爾驚呼：“我見到了，但我不相信．”當(dāng)這個結(jié)果在1878年發(fā)表后，也引起了克羅內(nèi)克等人的激烈反對．正是在這篇文章中，康托爾明確提出了“基數(shù)”或“勢”的概念：給定兩個集合和，如果能夠根據(jù)某種規(guī)則在它們之間建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，就稱這兩個集合有相同的“基數(shù)”，或者說“等勢”．康托爾認(rèn)為，建立集合論重要的是把數(shù)的概念從有窮數(shù)推廣到無窮數(shù)．為此，他建立了超窮基數(shù)和超窮序數(shù)的理論．因為既然維空間不能產(chǎn)生更大的無窮集合，進(jìn)一步就要問能否從已知的無窮集合出發(fā)根據(jù)確鑿的數(shù)學(xué)運算來形成更大的無窮．康托爾先是在1883年的一篇文章里提出了良序集和序數(shù)的概念，并根據(jù)序數(shù)理論從序數(shù)集來形成更大的無窮．而后他又在1891年發(fā)表的“集合論的一個根本問題”里，利用一集合的冪集(即該集合所有子集的集合)來形成較原集合更大的無窮，并證明了著名的康托爾定理：一集合的冪集的基數(shù)較原集合的基數(shù)大。

因此，從自然數(shù)集的基數(shù)(也是一切可數(shù)集的基數(shù))出發(fā)，根據(jù)康托爾定理就得到了超窮基數(shù)一個無限上升的序列：

這里表示自然數(shù)集的基數(shù)，表示其冪集的基數(shù)，等等．這樣，康托爾就為我們展現(xiàn)了一幅壯麗的圖景：無窮也具有無窮多的“層次”，并不存在一個最大的無窮．

可以證明，就是實數(shù)集的基數(shù)(也稱連續(xù)統(tǒng)的基數(shù))，那么在自然數(shù)集基數(shù)與連續(xù)統(tǒng)基數(shù)之間是否還存在其他基數(shù)?上述序列是否窮盡了一切超窮基數(shù)呢?

這就是著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，康托爾沒有解決這個問題，后來希爾伯特把它列為他所提出的23個著名問題的第一個問題(見第11章)．格奧爾格·康托爾

格奧爾格·康托爾（Cantor，1845-1918）德國數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始人。生于俄國圣彼得堡（今俄羅斯列寧格勒）。父親是猶太血統(tǒng)的丹麥商人，母親出身藝術(shù)世家。1856年全家遷居德國的法蘭克福。先在一所中學(xué)，后在威斯巴登的一所大學(xué)預(yù)科學(xué)校學(xué)習(xí)。

康托爾，1862年入蘇黎世大學(xué)學(xué)工,翌年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué)攻讀數(shù)學(xué)和神學(xué)，受教于庫默爾（Kummer，1810-1893）、維爾斯特拉斯和克羅內(nèi)克(Kronecker，1823-1891)。

1866年曾去格丁根學(xué)習(xí)一學(xué)期。1867年在庫默爾指導(dǎo)下獲博士學(xué)位。畢業(yè)后受魏爾斯特拉斯的直接影響，由數(shù)論轉(zhuǎn)向嚴(yán)格的分析理論的研究，不久嶄露頭角。他在哈雷大學(xué)任教（1869-1913）的初期證明了復(fù)合變量函數(shù)三角級數(shù)展開的唯一性，繼而用有理數(shù)列極限定義無理數(shù)。

1872年成為該校副教授，1879年任教授。由于學(xué)術(shù)觀點上受到的沉重打擊，使康托爾曾一度患精神分裂癥。

1884年，由于連續(xù)統(tǒng)假設(shè)長期得不到證明，再加上與克羅內(nèi)克（康托爾的老師）的尖銳對立，精神上屢遭打擊，5月底，他支持不住了，第一次精神崩潰。雖在1887年恢復(fù)了健康，繼續(xù)工作，但晚年一直病魔纏身。1918年1月6日在德國哈雷（Halle）-維滕貝格大學(xué)附屬精神病院去世。令人唏噓不已…

康托爾愛好廣泛，極有個性，終身信奉宗教。早期在數(shù)學(xué)方面的興趣是數(shù)論，1870年開始研究三角級數(shù)并由此導(dǎo)致19世紀(jì)末、20世紀(jì)初最偉大的數(shù)學(xué)成就——集合論和超窮數(shù)理論的建立。除此之外，他還努力探討在新理論創(chuàng)立過程中所涉及的數(shù)理哲學(xué)問題.1888-1893年康托爾任柏林?jǐn)?shù)學(xué)會第一任會長，1890年領(lǐng)導(dǎo)創(chuàng)立德國數(shù)學(xué)家聯(lián)合會并任首屆主席。主要貢獻(xiàn)

康托爾對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)是集合論和超窮數(shù)理論。

兩千多年來，科學(xué)家們接觸到無窮，卻又無力去把握和認(rèn)識它，這的確是向人類提出的尖銳挑戰(zhàn)。康托爾以其思維之獨特，想象力之豐富，方法之新穎繪制了一幅人類智慧的精品——集合論和超窮數(shù)理論，令19、20世紀(jì)之交的整個數(shù)學(xué)界、甚至哲學(xué)界感到震驚。

可以毫不夸張地講，“關(guān)于數(shù)學(xué)無窮的革命幾乎是由他一個人獨立完成的。”評價

康托爾的集合論得到公開的承認(rèn)和熱情的稱贊應(yīng)該說首先在瑞士蘇黎世召開的第一屆國際數(shù)學(xué)家大會上表現(xiàn)出來。隨著時間的推移，人們逐漸認(rèn)識到集合論的重要性。希爾伯特(Hilbert，1862-1943)高度贊譽(yù)康托爾的集合論“是數(shù)學(xué)天才最優(yōu)秀的作品”，“是人類純粹智力活動的最高成就之一”，“是這個時代所能夸耀的最巨大的工作”。在1900年第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上，希爾伯特高度評價了康托爾工作的重要性，并把康托爾的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)列入20世紀(jì)初有待解決的23個重要數(shù)學(xué)問題之首。希爾伯特用堅定的語言向世界宣布：“沒有任何人能將我們從康托爾所創(chuàng)造的伊甸園中驅(qū)趕出來”。

10.3分析的擴(kuò)展

19世紀(jì)分析的嚴(yán)格化成為這個時代分析的特點，但是，加固基礎(chǔ)的工作并沒有影響到19世紀(jì)的分析學(xué)家們?nèi)ミM(jìn)一步拓廣自己的領(lǐng)域。伴隨著分析的嚴(yán)格化，分析中的一朵奇葩——復(fù)變函數(shù)論成長壯大起來；與物理問題密切相關(guān)的微分方程繼續(xù)成為數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家共同關(guān)注的焦點；數(shù)學(xué)家們也開始更自覺地將分析工具應(yīng)用于其他的數(shù)學(xué)分支，解析數(shù)論應(yīng)運而生，概率論則為在20世紀(jì)的獨立發(fā)展作好了準(zhǔn)備(概率論的發(fā)展將在第11章中介紹)．10.3.1復(fù)分析的建立

直到19世紀(jì)初，復(fù)數(shù)的“合法性”仍是一個未解決的問題，但是這并沒有妨礙18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家如達(dá)朗貝爾和歐拉等人在他們的工作中大量地使用復(fù)數(shù)和復(fù)變量，他們也由此發(fā)現(xiàn)了復(fù)函數(shù)的一些重要性質(zhì)．例如，達(dá)朗貝爾在研究流體力學(xué)問題時，歐拉在用復(fù)函數(shù)計算實積分時，都得到了現(xiàn)在所稱的柯西—黎曼方程：

其中分別是復(fù)變量的一個復(fù)函數(shù)的實部和虛部．他們的工作導(dǎo)致了分析技巧和函數(shù)概念的重要發(fā)展然而不論是歐拉還是達(dá)朗貝爾都沒有進(jìn)一步研究復(fù)函數(shù)的性質(zhì)，在他們那里復(fù)函數(shù)并不是一個基本的實體，相反，他們是依靠把的實部和虛部分開來進(jìn)行其分析工作的．下面簡單回顧一下：達(dá)朗貝爾和歐拉達(dá)朗貝爾(法,1717-1783)

自學(xué)成才，進(jìn)入巴黎科學(xué)院：院士、終身秘書1751-1757年與狄德羅(1713-1784)共同主編《百科全書》“科學(xué)處于17世紀(jì)的數(shù)學(xué)時代到18世紀(jì)的力學(xué)時代，力學(xué)應(yīng)該是數(shù)學(xué)家的主要興趣?！薄秳恿W(xué)》、《數(shù)學(xué)手冊》數(shù)學(xué)分析的重要開拓者之一，其成就僅次于歐拉、拉格朗日、拉普拉斯和丹尼爾?伯努利

18世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家、分析的化身、“數(shù)學(xué)家之英雄”

圣彼得堡科學(xué)院(1727-1741,1766-1783)柏林科學(xué)院(1741-1766)1748年《無窮小分析引論》、1755年《微分學(xué)原理》、1768-1770年《積分學(xué)原理》最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家、《歐拉全集》84卷李善蘭譯的《代數(shù)學(xué)》（1859）等著作記載了歐拉的學(xué)說“讀讀歐拉，他是我們大家的老師”“四杰”：阿基米德、牛頓、歐拉、高斯歐拉(瑞士,1707-1783)

復(fù)分析真正作為現(xiàn)代分析的一個研究領(lǐng)域，是在19世紀(jì)建立起來的，而且主要是通過柯西、黎曼和魏爾斯特拉斯三個人的工作而發(fā)展的．

柯西的第一篇復(fù)變函數(shù)論方面的重要論文是他1814年所寫的“關(guān)于定積分理論的報告”．確切地說，柯西討論的是計算反常(實)積分的值，這是自歐拉時代起數(shù)學(xué)家們所研究的一個課題．

柯西認(rèn)為，在計算定積分的值時，歐拉以及后來的拉普拉斯等人使用了“一種基于從實到虛的過程的歸納法”，而他本人的目的則是將這一過程用“直接的和嚴(yán)格的分析來建立”．他還討論了二重積分的換序問題，正是在這里，他引入了我們上面提到的那個著名方程．

然而，柯西在這篇文章中仍舊像歐拉和拉普拉斯那樣沒有把復(fù)函數(shù)作為一個基本實體來考慮．事實上，直到1825年，柯西在這方面并沒有前進(jìn)幾步．柯西在1825年出版的一本小冊子《關(guān)于積分限為虛數(shù)的定積分的報告》可以看成是復(fù)分析發(fā)展史上的一個里程碑．在其中他建立了我們現(xiàn)在所稱的柯西積分定理．柯西本人對這個定理的敘述如下：如果對于和是有窮的并且是連續(xù)的，，并令，其中取實值，那么積分的值與函數(shù)和的形式無關(guān)，也就是說與積分路徑無關(guān)．柯西還考慮了在矩形區(qū)域內(nèi)部或邊界上成為無窮的情形．這時沿著兩條不同路徑的積分的值一般是不同的．他在各種假設(shè)下計算了它們之間的差．例如只在位于兩條積分路徑之間的一點處成為無窮，并且以下極限存在，即在有一個單極點，他證明積分之間的差是．柯西在1826年的一篇論文中稱量本身為積分留數(shù)．另外柯西還指出，當(dāng)一個函數(shù)在兩條積分路徑之間有幾個極點時，積分之差必須取留數(shù)之和.從1826年起，柯西發(fā)表了一系列有關(guān)留數(shù)計算的文章，并給出了留數(shù)的新的表達(dá)式．留數(shù)的概念和發(fā)展是柯西的一個重要貢獻(xiàn)．然而，直到1846年，柯西所關(guān)心的中心問題還是實積分及其值的計算．標(biāo)志著柯西復(fù)變函數(shù)觀點發(fā)生轉(zhuǎn)變的是他在1846年發(fā)表的兩篇文章，其中他把與路徑無關(guān)的基本定理和留數(shù)定理分別推廣到了任意閉曲線的情形。到1850年前后，柯西已完全認(rèn)識到他的工作作為復(fù)變函數(shù)基本結(jié)果的重要性．

也就在這個時候，黎曼以他的一篇關(guān)于復(fù)分析基礎(chǔ)的論文在哥廷根大學(xué)獲得博士學(xué)位．正如著名數(shù)學(xué)家阿爾福斯(L.V.Ahlfors)所說，這篇論文不僅包含了現(xiàn)代復(fù)變函數(shù)論主要部分的萌芽，而且開啟了拓?fù)鋵W(xué)的系統(tǒng)研究，革新了代數(shù)幾何，并為黎曼自己的微分幾何研究鋪平了道路．

就復(fù)變函數(shù)論來講，這篇論文最突出的特征是其中的幾何觀點．正是在這里，黎曼引入了一個全新的幾何概念，即黎曼曲面．

引入這種曲面的出發(fā)點在于對多值函數(shù)進(jìn)行研究．黎曼面可以看作是由一些互相適當(dāng)連接的重疊的平面構(gòu)成．例如考察函數(shù)，對于每個值，一般有的兩個值與之對應(yīng)．為了研究這個函數(shù)并保持兩個值集和(或者說函數(shù)的兩個分支)分開，黎曼給每個分支引進(jìn)一個值平面，還在每個平面上引進(jìn)一個點對應(yīng)于，將這兩個平面看成是一個位于另一個的上方，它們在兩個分支給出相同值的那些值處，即和處連接起來．這樣的這兩個平面(或稱葉)就構(gòu)成了黎曼面．因此，當(dāng)在黎曼面上變動時，就變?yōu)榈囊粋€單值函數(shù)．

雖然黎曼面是一個幾何概念，但它遠(yuǎn)非是直觀的，我們也不可能在三維空間里準(zhǔn)確地表示出黎曼面，為此，黎曼的觀點還遭遇到了一些同時代人的反對．例如魏爾斯特拉斯就稱黎曼面不過是一種“幾何幻想物”．

黎曼非歐幾何黎曼(1826-1866）德國著名數(shù)學(xué)家。1846年，進(jìn)入哥廷根大學(xué)學(xué)神學(xué)，后在數(shù)學(xué)家的影響下，放棄神學(xué)改學(xué)數(shù)學(xué)，有幸成為高斯晚年的學(xué)生。獲博士后留校。

黎曼（1826-1866）魏爾斯特拉斯本人為復(fù)變函數(shù)論開辟了又一條研究途徑．魏爾斯特拉斯的工作一向以嚴(yán)格著稱，這一點我們在上一節(jié)已經(jīng)領(lǐng)略到了．同樣，他關(guān)于解析函數(shù)的工作也是以追求絕對的嚴(yán)格性為特征的．因此，魏爾斯特拉斯不僅拒絕使用柯西通過復(fù)積分所獲得的結(jié)果(包括柯西積分定理和留數(shù)理論)，他也不能接受黎曼提出的那種幾何“超驗”方法．他相信函數(shù)論的原理必須建立在代數(shù)真理的基礎(chǔ)上，所以他把目光投向了冪級數(shù)．用冪級數(shù)表示已用解析形式給出的復(fù)函數(shù)，對于魏爾斯特拉斯來說并不是一個新的創(chuàng)造．但是，從已知的一個在限定區(qū)域內(nèi)定義某個函數(shù)的冪級數(shù)出發(fā)，根據(jù)冪級數(shù)的有關(guān)定理，推導(dǎo)出在其他區(qū)域中定義同一函數(shù)的另一些冪級數(shù)，這個問題是魏爾斯特拉斯解決的．上述過程也稱為解析開拓，它在魏爾斯特拉斯的理論中起著基本的作用．使用這種方法，已知某個解析函數(shù)在一點處的冪級數(shù)，通過解析開拓，我們就可以完全得到這個解析函數(shù)．在19世紀(jì)末，魏爾斯特拉斯的方法占據(jù)了主導(dǎo)地位，正是這種影響，使得