《變化率與導數(shù)》課件

變化率與導數(shù)問題1氣球膨脹率

在吹氣球的過程中,可發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加得越來越慢.從數(shù)學的角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?

結論：隨著氣球體積逐漸變大,它的平均膨脹率逐漸變小.（一）平均變化率思考：當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?問題2高臺跳水

在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數(shù)關系

在某段時間內(nèi)，高度相對于時間的變化率用平均速度來描述。

即:在0≤t≤0.5這段時間里,在1≤t≤2這段時間里,問題2.平均速度.思考：求t1到t2時的平均速度．

觀察函數(shù)f(x)的圖象OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)平均變化率的定義：一般地，函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為

令△x=

x2–x1,△y=

f(x2)–

f(x1),則平均變化率可以表示為幾何意義是表示曲線上兩點連線（就是曲線的割線）的斜率。例1、已知函數(shù)f(x)=2x+1,計算在區(qū)間[1，2]上f(x)的平均變化率.

例2、已知函數(shù)f(x)=x2,計算f(x)在下列區(qū)間[1，3]上的平均變化率：

例3

已知f(x)=2x2+1(1)求:其從x1到x2的平均變化率；(2)求:其從x0到x0+Δx的平均變化率.平均速度不能反映他在這段時間里運動狀態(tài)，

需要用瞬時速度描述運動狀態(tài).探究討論：（二）、導數(shù)的概念在高臺跳水運動中，平均速度不能反映他在這段時間里運動狀態(tài)，需要用瞬時速度描述運動狀態(tài).我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.

又如何求瞬時速度呢?

平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢.如何精確地刻畫曲線在一點處的變化趨勢呢?求：從2s到(2+Δt)s這段時間內(nèi)平均速度Δt

<0時，在[2+Δt,2]這段時間內(nèi)Δt

>0時,在[2,2+Δt

]這段時間內(nèi)當Δt=–0.01時,當Δt=

0.01時,當Δt=–0.001時,當Δt=0.001時,當Δt=–0.0001時,當Δt=0.0001時,Δt=–0.00001,Δt=0.00001,Δt=–0.000001,Δt=0.000001,

平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢.如何精確地刻畫曲線在一點處的變化趨勢呢?…………

當Δt趨近于0時,即無論t從小于2的一邊,還是從大于2的一邊趨近于2時,平均速度都趨近與一個確定的值–13.1.

從物理的角度看,時間間隔|Δt

|無限變小時,平均速度就無限趨近于t=2時的瞬時速度.因此,運動員在t=2

時的瞬時速度是–13.1.表示“當t=2,Δt趨近于0時,平均速度趨近于確定值–13.1”.從2s到(2+△t)s這段時間內(nèi)平均速度1.運動員在某一時刻t0的瞬時速度怎樣表示?2.函數(shù)f(x)在x=

x0處的瞬時變化率怎樣表示?導數(shù)的概念一般地，函數(shù)y=f(x)

在點x=x0處的瞬時變化率是我們稱它為函數(shù)y=f(x)在點x=x0處的導數(shù)，記為或，即說明：（1）函數(shù)在點處可導，是指時，有極限．如果不存在極限，就說函數(shù)在處不可導，或說無導數(shù)．點是自變量x在處的改變量，，而是函數(shù)值的改變量，可以是零．

（2）由導數(shù)的定義可知，求函數(shù)在處的導數(shù)的步驟:（1）求函數(shù)的增量:；（2）求平均變化率:；．（3）取極限，得導數(shù):例1.(1)求函數(shù)y=3x2在x=1處的導數(shù).(2)求函數(shù)f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均變化率，并求出在該點處的導數(shù)．(3)質點運動規(guī)律為s=t2+3，求質點在t=3的瞬時速度.三．典例分析

例1將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品,需要對原油進行冷卻和加熱.如果第xh