第一章自由振動

結(jié)構(gòu)動力學(xué)與振動

MechanicalDynamicsandVibration

諶勇

chenyong@

34206332-818

董興建donxj@

34206332-818EM206辦公室機械樓A樓818/818室第一章單自由度系統(tǒng)基礎(chǔ)知識單自由度自由振動單自由度強迫振動任意激勵下的響應(yīng)正弦函數(shù)的描述正弦函數(shù)的描述簡諧運動可由長度為A且以固定的角速度旋轉(zhuǎn)的向量來表示例子求兩個簡諧運動的和方法1：三角函數(shù)法方法2：矢量運算法例子根據(jù)矢量加法的幾何表示可求得合矢量為：復(fù)數(shù)的代數(shù)運算方法3：復(fù)數(shù)方法例子分別表示為復(fù)數(shù)形式后再按復(fù)數(shù)的加減法規(guī)則：Mass-mStiffness-k不論采用什么方法，單自由系統(tǒng)的運動方程最終可以歸結(jié)為一個二階常微分方程組NotdrivenbyexternalforceLetthen代入方程，可以得到且：固有圓頻率所以，解的一般形式可以寫成(1)單自由系統(tǒng)的解特征值特征方程求

c1

和

c2

c1

和c2

是和初值相關(guān)的常數(shù)，可有x(0)and

得到簡諧振動withand簡諧振子(2)固有頻率的討論∵∴固有頻率固有周期固有圓頻率速度、加速度通過簡單的微分關(guān)系，可以從振動位移求得振動速度及加速度Position,velocityandaccelerationofaharmonicoscillatorPosition,velocityandaccelerationofaSHMasphasors能量關(guān)系系統(tǒng)的

動能T隨時間的變化規(guī)律可寫為系統(tǒng)的

勢能U

隨時間的變化規(guī)律可寫為系統(tǒng)的總能量可以寫為自由振動的特點ΦΦ黏性阻尼系統(tǒng)的解令得到特征方程兩個特征根對應(yīng)的解解的一般形式臨界阻尼與阻尼比當(dāng)阻尼滿足，稱為系統(tǒng)的臨界阻尼無量綱量稱為阻尼比，此時有：解的一般形式（量綱：牛頓·秒/米）欠阻尼系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng)的阻尼小于其臨界阻尼，稱為欠阻尼系統(tǒng)。即：為負(fù)數(shù)通解可寫成初始條件為任意常數(shù)給定初始條件可求得解的具體形式為常數(shù)可寫為（圖中）欠阻尼系統(tǒng)的時域曲線即為阻尼振動的角頻率阻尼增大頻率變??！根據(jù)初始條件有：臨界阻尼系統(tǒng)臨界阻尼系統(tǒng)的兩個根相等，即：通解為此時，稱為臨界阻尼系統(tǒng)（）過阻尼系統(tǒng)稱為過阻尼系統(tǒng)。其兩個實根通解為當(dāng)由初始條件可得：不同阻尼系統(tǒng)響應(yīng)臨界阻尼是使系統(tǒng)作非周期運動的最小阻尼！根軌跡（反映了特征方程的根隨阻尼變化的規(guī)律）相軌跡對數(shù)衰減系數(shù)定義：任意兩個相鄰的振幅之比的自然對數(shù)定義t1和t2

為兩個連續(xù)的振幅相對應(yīng)的時間，則有則有因為所以令δ

稱為“對數(shù)衰減系數(shù)”或“對數(shù)衰減率”小阻尼情形有對數(shù)衰減率與阻尼比之間的相互關(guān)系為對數(shù)衰減率與阻尼比（用于實驗測試阻尼）也可通過任意m個整數(shù)周期的位移來求得，∵∴則有：當(dāng)，二、有阻尼情形運動方程一般形式假設(shè)穩(wěn)態(tài)解形式并代入運動方程得用三角函數(shù)公式展開令兩邊同諧波項相等幅頻特性相頻特性穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)問題??！全解！無量綱化振幅放大系數(shù)（幅值比）式中：卷積積分非周期變化的激振力大小是隨著時間變換的，最簡單的非周期激振力即為沖擊力-------幅值大但作用時間短當(dāng)沖擊力很短時，則可根據(jù)沖量定理更一般的沖量表達(dá)形式為則單位沖量定義為沖量作用下的單自由度系統(tǒng)響應(yīng)考慮具有粘性阻尼的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)在t=0時受到一個單位沖量作用:對沖量的響應(yīng)對于欠阻尼系統(tǒng)，其運動方程為則系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)為其中對沖量的響應(yīng)如果質(zhì)量塊在沖量作用之前靜止，即則系統(tǒng)的初始條件變?yōu)橄到y(tǒng)的響應(yīng)為我們有:稱為

單位脈沖響應(yīng)函數(shù)對沖量的響應(yīng)如果沖量的大小是而不是1，那么初始速度變?yōu)榇藭r系統(tǒng)的響應(yīng)成為沖量及響應(yīng)如右圖所示。如果沖量是作用在任意時刻處，則該時刻速度變化為。假設(shè)沖量作用前，則系統(tǒng)響應(yīng)為脈沖發(fā)生的時刻對任意外力的作用，可將任意力看成是一系列大小變化的沖量組成的。對一般力的響應(yīng)假設(shè)在時刻，力在很短的時間作用在系統(tǒng)上，則在這一時刻的沖量就是，對于任意時刻，沖量發(fā)生的時間為，則該沖量在時刻引起的系統(tǒng)的響應(yīng)為:則系統(tǒng)在

t

時刻的總響應(yīng)等于之前所有時刻的微沖量引