第七版D6-2幾何應(yīng)用

第六章利用元素法解決:定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在物理上的應(yīng)用定積分的應(yīng)用第一節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定積分的元素法一、什么問(wèn)題可以用定積分解決?二、如何應(yīng)用定積分解決問(wèn)題?第六章定積分概念的出現(xiàn)和發(fā)展都是由實(shí)際問(wèn)題引起和推動(dòng)的。因此定積分的應(yīng)用也非常廣泛。本書(shū)主要介紹幾何上，物理上實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用，例如：計(jì)算平面圖形面積，曲線弧長(zhǎng)，旋轉(zhuǎn)體體積，引力，做功等。回顧曲邊梯形面積A轉(zhuǎn)化為定積分的計(jì)算過(guò)程：把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間,有總量A對(duì)于[a,b]具有區(qū)間可加性,計(jì)算Ai的近似值得A的近似值(1)分割.(2)近似.(3)求和.(4)求極限.n個(gè)部分量Ai的和.ab0xyy=f(x)即A可以分割成

把上述步驟略去下標(biāo)，改寫(xiě)為：計(jì)算A的近似值得A的近似值得(1)分割.(2)近似.(3)求和.(4)求極限.把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間，任取其中一個(gè)小區(qū)間[x,x+dx]（區(qū)間微元），用A表示[x,x+dx]上的小曲邊梯形的面積，于是xx+dx這種方法通常叫元素法.面積微元若總量U在[a,b]上有可加性且部分量Uif(i)xi時(shí),求U可分兩部進(jìn)行:(1)求元素局部近似得dU=f(x)dx(2)求全量元素積分得應(yīng)用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長(zhǎng)；功；水壓力；引力和平均值等．例1.寫(xiě)出長(zhǎng)為l的非均勻細(xì)直棒質(zhì)量的積分表達(dá)式任一點(diǎn)的線密度是長(zhǎng)度的函數(shù)。解:建立坐標(biāo)如圖,oxlxx+dx則任意點(diǎn)x的密度為step1.

step2.step3.本章用微元法討論定積分在幾何，物理中的一些應(yīng)用。微元法(ElementMethod)表示為一、什么問(wèn)題可以用定積分解決?

1)所求量

U

是與區(qū)間[a,b]上的某分布f(x)

有關(guān)的2)U

對(duì)區(qū)間[a,b]

具有可加性

,即可通過(guò)“大化小,常代變,近似和,取極限”定積分定義機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一個(gè)整體量;二、如何應(yīng)用定積分解決問(wèn)題?第一步利用“化整為零,以常代變”求出局部量的微分表達(dá)式第二步利用“積零為整,無(wú)限累加”求出整體量的積分表達(dá)式這種分析方法成為元素法

(或微元分析法)元素的幾何形狀常取為:條,帶,段,環(huán),扇,片,殼等近似值精確值第二節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積(補(bǔ)充)三、平面曲線的弧長(zhǎng)

第二節(jié)一、平面圖形的面積二、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用第六章一、平面圖形的面積1.直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線與直線及

x

軸所圍曲則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束邊梯形面積為A,右下圖所示圖形面積為例1.

計(jì)算兩條拋物線在第一象限所圍所圍圖形的面積.解I:

由得交點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解II:

例2.

計(jì)算拋物線與直線的面積.解:

由得交點(diǎn)所圍圖形為簡(jiǎn)便計(jì)算,選取

y

作積分變量,則有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.求橢圓解:

利用對(duì)稱(chēng)性,所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分換元法得當(dāng)a=b

時(shí)得圓面積公式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一般地,當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程

給出時(shí),按順時(shí)針?lè)较蛞?guī)定起點(diǎn)和終點(diǎn)的參數(shù)值則曲邊梯形面積機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束補(bǔ)充例*.求由擺線的一拱與x

軸所圍平面圖形的面積.解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.極坐標(biāo)情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)應(yīng)

從0變例4.計(jì)算阿基米德螺線解:點(diǎn)擊圖片任意處播放開(kāi)始或暫停機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束到2

所圍圖形面積.例5.計(jì)算心形線所圍圖形的面積.解:(利用對(duì)稱(chēng)性)心形線目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束心形線(外擺線的一種)即點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫(huà)開(kāi)始或暫停

尖點(diǎn):

面積:

弧長(zhǎng):參數(shù)的幾何意義補(bǔ)充例*.

計(jì)算心形線與圓所圍圖形的面積.解:

利用對(duì)稱(chēng)性,所求面積機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束補(bǔ)充例*.

求雙紐線所圍圖形面積.解:

利用對(duì)稱(chēng)性,則所求面積為思考:用定積分表示該雙紐線與圓所圍公共部分的面積.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束答案:(二)體積1．旋轉(zhuǎn)體的體積2．平行截面面積已知的立體體積

旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺(tái)1、旋轉(zhuǎn)體的體積xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為解直線方程為及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體．旋轉(zhuǎn)體(旋轉(zhuǎn)橢球體)的體積．體積元素為于是所求旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為abxyOdV

y2dx

，例7

計(jì)算由橢圓所成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的解這個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體也可以看作是由半個(gè)橢圓V

y2dx

(a2x2)dx[a2x

x3

a

b2．a(chǎn)b解補(bǔ)充利用這個(gè)公式，可知上例中2、平行截面面積為已知的立體的體積如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來(lái)計(jì)算.立體體積解取坐標(biāo)系如圖底圓方程為截面面積立體體積解取坐標(biāo)系如圖底圓方程為截面面積立體體積旋轉(zhuǎn)體的體積平行截面面積為已知的立體的體積繞軸旋轉(zhuǎn)一周繞軸旋轉(zhuǎn)一周柱殼法3、小結(jié)三、平面曲線的弧長(zhǎng)定義:

若在弧

AB

上任意作內(nèi)接折線,當(dāng)折線段的最大邊長(zhǎng)→0時(shí),折線的長(zhǎng)度趨向于一個(gè)確定的極限,此極限為曲線弧AB

的弧長(zhǎng),即并稱(chēng)此曲線弧為可求長(zhǎng)的.定理:

任意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的.(證明略)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則稱(chēng)(1)曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:弧長(zhǎng)元素(弧微分):因此所求弧長(zhǎng)(P168)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(2)曲線弧由參數(shù)方程給出:弧長(zhǎng)元素(弧微分):因此所求弧長(zhǎng)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(3)曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:因此所求弧長(zhǎng)則得弧長(zhǎng)元素(弧微分):(自己驗(yàn)證)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解所求弧長(zhǎng)為例12.

計(jì)算擺線一拱的弧長(zhǎng).解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例13.

求阿基米德螺線相應(yīng)于0≤≤2一段的弧長(zhǎng).解:(P349公式39)小結(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程2.平面曲線的弧長(zhǎng)曲線方程參數(shù)方程方程