最優(yōu)捕魚策略KYM

最優(yōu)捕魚策略二.人口預(yù)測(cè)的Leslie矩陣模型問題提出：

利用數(shù)學(xué)模型描述、預(yù)測(cè)我國(guó)人口的變化規(guī)律，并提出相應(yīng)的控制方案。Malthu模型與Logistic模型的不足：（1）僅有人口總數(shù)，不能滿足需要；（2）沒有考慮到社會(huì)成員之間的個(gè)體差異，即不同年齡、不同體質(zhì)的人在死亡、生育方面存在的差異。完全忽略這些差異顯然是不合理的。但我們不可能對(duì)每個(gè)人的情況逐個(gè)加以考慮，故僅考慮年齡的差異對(duì)人口變動(dòng)的影響，因此假設(shè)：同一年齡的人有相同的死亡機(jī)會(huì)和生育能力，且男女人口數(shù)相等。這樣建立的模型不但使我們能夠更細(xì)致的預(yù)測(cè)人口總數(shù)，而且能夠預(yù)測(cè)老年人口、學(xué)齡人口等不同年齡組的人口信息。模型假設(shè)模型建立假設(shè)bk是k歲人口的年生育率，pk是k歲人口的年存活率，設(shè)xk(t)為第t年年齡為k的人口數(shù)量，k=0,1,2,….,100(忽略百歲以上的人口)。根據(jù)人口發(fā)展變化的特點(diǎn)：時(shí)間和年齡同步增長(zhǎng)得到模型如下：其中pk=1-dk是k歲人口的年存活率，dk為k歲人口的年死亡率。由于婦女的育齡區(qū)間一般取為15歲至49歲，因此不bk=0,k>49或k<15。Leslie模型為按年齡分組的分布向量，令令則得Leslie模型的矩陣形式：Leslie矩陣（L矩陣）模型預(yù)測(cè)而且利用區(qū)間[a1,a2]的人口數(shù)。例如老年人口少年人口勞動(dòng)力人口根據(jù)Leslie模型預(yù)測(cè)第s年后的人口分布，得還可預(yù)測(cè)任意年齡模型的穩(wěn)態(tài)分析

Leslie模型不但能夠給出近期的人口變化情況，它也能夠給出長(zhǎng)時(shí)期之后包含年齡構(gòu)成的人口的穩(wěn)定分布，為此需要研究Leslie矩陣的特征值性質(zhì)。L矩陣存在唯一的正的特征根它對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為定理1定理2是矩陣的任意一個(gè)特征根，則必有若若L第一行中至少有兩個(gè)順次的定理3則（i）若是矩陣的任意一個(gè)特征根，則必有

(ii)即當(dāng)t充分大時(shí)，定理1的證明：令對(duì)L作相似變換得由非負(fù)矩陣的譜性質(zhì)，L矩陣有最大的特征值是單重的且為正數(shù)。設(shè)為則下面只需求出一個(gè)相應(yīng)的特征向量。其中考慮矩陣L的特征多項(xiàng)式則矩陣L的非零特征值所滿足的特征方程可寫為由于是L的最大正特征值，所以定理3(ii)的證明：設(shè)L的特征值和特征向量分別為如果所有的特征值是單根，將x(0)表示為利用矩陣特征值的性質(zhì)可知由定理3(i)可知故穩(wěn)態(tài)分析——t充分大種群按年齡組的分布~種群按年齡組的分布趨向穩(wěn)定，x*稱穩(wěn)定分布,與初始分布無(wú)關(guān)。~各年齡組種群數(shù)量按同一倍數(shù)增減，0——稱固有增長(zhǎng)率——人口控制的依據(jù)與基本模型比較3）0=1時(shí)~各年齡組種群數(shù)量不變

人均凈生育率為1~1個(gè)個(gè)體在整個(gè)存活期內(nèi)的繁殖數(shù)量為1穩(wěn)態(tài)分析存活率pi~同一時(shí)段的xi+1與xi之比（與pi的定義比較）3）0=1時(shí)南非的一家大型自然公園放養(yǎng)了大約11000頭大象，管理部門希望為大象創(chuàng)造一個(gè)健康的生存環(huán)境，將大象的總數(shù)控制在11000頭左右。每年，公園的管理人員都要統(tǒng)計(jì)當(dāng)年大象的總數(shù)。過(guò)去20年里，公園每年都要處理一些大象，以便保持大象總數(shù)維持在11000頭左右，通常都是采用捕殺或者遷移的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。統(tǒng)計(jì)表明，每年約處理600-800頭大象。近年來(lái)，公眾強(qiáng)烈反對(duì)捕殺大象行為，而且即使是遷移少量的大象也是不允許的。但是一種新的給大象打避孕針的方法也被研制成功。一只成年母象打了避孕針后，兩年內(nèi)不再懷孕。公園有一些關(guān)于大象的資料，供建模參考：

1幾乎不再遷入或遷出大象；

2目前性別比接近1：1，采取控制后，也希望維持這個(gè)比例；

3初生象的性別比也是大約1：1，生雙胎的比例為1.35%4母象初次懷孕大約在10-12歲,一直到60歲大約每3.5年懷胎一次,60歲后不再受孕,懷孕期為22個(gè)月；

5避孕針可能引起大象每個(gè)月都發(fā)情,但不受孕,因?yàn)榇笙笸ǔＣ?.5年生育1次,所以按月循壞的方案是不足取的；

6避孕針對(duì)母象沒有副作用,打了避孕針的母象2年內(nèi)不再受孕；Leslie模型的應(yīng)用：公園大象管理

7初生象存活到1歲的比例為70%-80%,此后,直至60歲前,存活率都比較均勻,大約在95%以上,大象一般只活到70歲；

8公園里不存在捕殺行為,偷獵可以不考慮；公園管理部門有一份過(guò)去兩年移出公園大象的粗略統(tǒng)計(jì),不幸的是沒有捕殺或公園大象的具體數(shù)據(jù)；你的任務(wù)是,構(gòu)造一個(gè)模型,利用模型研究如何采用避孕措施控制公園大象的總數(shù).同時(shí)需要完成以下任務(wù)：

1建立并利用模型推算2-60歲大象可能的存活率,以及目前的大象年齡結(jié)構(gòu)；

2估計(jì)每年需要避孕多少大象,才能保證大象總數(shù)控制在11000頭左右,說(shuō)明數(shù)據(jù)不確定性對(duì)你的結(jié)論的影響,評(píng)價(jià)一下年齡結(jié)構(gòu)的變化以及對(duì)旅游的影響,(你可能被要求觀察30-60年)；

3假設(shè)每年可以移出50-300頭大象,避孕大象數(shù)可以減少多少,評(píng)價(jià)如何根據(jù)經(jīng)濟(jì)效益平衡兩種方案；

4有一些反對(duì)觀點(diǎn)認(rèn)為,假如出現(xiàn)疾病或者失控的偷獵,使大象總數(shù)突然大幅度下降,即使停止避孕,也會(huì)對(duì)大象群的恢復(fù)存在不良影響,研究并回答這個(gè)問題；

5公園公管理部門正在構(gòu)造模型,特別希望批駁那些以缺乏完整數(shù)據(jù)為由而嘲笑利用模型指導(dǎo)決策的觀點(diǎn).希望你的模型包括一份技術(shù)報(bào)告能給公園管理部門提一些建議，提高公園管理部門的信心,除此之外,你的報(bào)告,還應(yīng)該包括一個(gè)詳細(xì)的技術(shù)流程(最多3頁(yè))回答公共關(guān)心的問題。

6假如非洲其它公園對(duì)你的模型感興趣,有意利用你的模型,請(qǐng)為公園大象數(shù)在300-25000頭規(guī)模的公園提供一份避孕計(jì)劃,順便考慮一下存活率稍有不同或者可以有遷移的情況.

附過(guò)去兩年的遷出數(shù)據(jù)年齡0123456789總量1103777170686158515251母象150364129313028242229總量298746961605452595857母象257343329342827312525年齡10111213141516171819總量151505148474948474342母象127272627262528271925總量260636460635952554950母象226363830333424302130

年齡20212223242526272829總量142373941424345484947母象118161924172521262927總量253576553565053494340母象229274023292421262416

年齡30313233343536373839總量146424444464947484641母象124222022242423252124總量238353733203330292926母象217161818151812171613

年齡40414243444546474849總量141424338343433303526母象124192620201516132011總量210242522212211212119母象261114101012811129年齡50515253545556575859總量12118145976044母象110984443032總量2155109765470母象26454423240

年齡6061626364656667686970總量143221302102母象121110300102總量223020201000母象221000101000

為保護(hù)人類賴以生存的自然環(huán)境，可再生資源（如漁業(yè)、林業(yè)等資源）的開發(fā)必須適度。一種合理、簡(jiǎn)化的策略是，在實(shí)現(xiàn)可持續(xù)收獲的前提下，追求最大產(chǎn)量或最佳效益?？紤]對(duì)某種魚的最優(yōu)捕撈策略。假設(shè)這種魚分4個(gè)年齡組：稱一齡魚、二齡魚、三齡魚、四齡魚。各年齡組每條魚的平均重量分別為5.07，11.55，17.86，22.99（克）；各年齡組魚的自然死亡率均為0.8（/年）；這種魚季節(jié)性集中產(chǎn)卵繁殖，平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量為為1.109×105（個(gè)），3齡魚產(chǎn)卵量為這個(gè)數(shù)的一半，2齡魚和1齡魚不產(chǎn)卵，產(chǎn)卵和孵化期為每年的最后4個(gè)月；卵孵化并成活為1齡魚，成活率為（1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵總量n之比）1.22×1011/(1.22×1011+n).

三.最優(yōu)捕魚策略

漁業(yè)管理部門規(guī)定，每年只允許在產(chǎn)卵孵化期的前8個(gè)月內(nèi)進(jìn)行捕撈作業(yè)。如果每年投入的捕撈能力（如魚船數(shù)、下網(wǎng)次數(shù)等）固定不變，這時(shí)單位時(shí)間捕撈量將與各年齡組魚群條數(shù)成正比，比例系數(shù)不妨稱為捕撈強(qiáng)度系數(shù)。通常使用13mm網(wǎng)眼的拉網(wǎng)，這種網(wǎng)只能捕撈3齡魚和4齡魚，其兩個(gè)捕撈強(qiáng)度系數(shù)之比為0.42:1。漁業(yè)上稱這種方式為固定努力量捕撈。（1）建立數(shù)學(xué)模型分析如何實(shí)現(xiàn)可持續(xù)捕撈（即每年開始捕撈時(shí)漁場(chǎng)中各年齡組魚群條數(shù)不變），并且在此前提下得到最高年收獲量（捕撈總重量）。（2）某漁業(yè)公司承包這種魚的捕撈業(yè)務(wù)5年，合同要求5年后魚群的生產(chǎn)能力不能受到太大破壞。

已知承包時(shí)各年齡組魚群數(shù)量分別為：122，29.7，10.1，3.29（×109條）。如果仍用固定努力量的捕撈方式，該公司采用怎樣的策略才能使總收獲量最高。（1）假設(shè)只考慮一種魚的繁殖和捕撈，魚群增長(zhǎng)過(guò)程中不考慮魚的遷入與遷出。（2）假設(shè)各年齡組的魚在一年內(nèi)的任何時(shí)間都會(huì)發(fā)生自然死亡，產(chǎn)卵可在后四個(gè)月內(nèi)任何時(shí)間發(fā)生；r為自然死亡率(單位時(shí)間內(nèi)死亡的魚的數(shù)量與魚的總量之比).（3）假設(shè)3、4齡魚全部具有生殖能力，或者雖然雄魚不產(chǎn)卵，但平均產(chǎn)卵量掩蓋了這一差異。（4）假設(shè)各年齡組的魚經(jīng)過(guò)一年后，即進(jìn)入高一級(jí)的年齡組，但4齡魚經(jīng)過(guò)一年后仍視為4齡魚。（5）假設(shè)對(duì)魚的捕撈用固定努力量捕撈方式，每年的捕撈強(qiáng)度系數(shù)保持不變，且捕撈只在前八個(gè)月進(jìn)行。模型假設(shè)及符號(hào)說(shuō)明

（6）假設(shè)t時(shí)刻i齡魚的數(shù)量為Ni(t),i=12,3,4.

（7）假設(shè)第k年初i齡魚的數(shù)量為Ni0(k)；第k年底i齡魚的數(shù)量為Ni1(k)(i=1，2，3，4).

（8）假設(shè)魚的自然死亡率為r；4齡魚、3齡魚的平均產(chǎn)卵量分別為c和c/2。

（8）假設(shè)第k年度魚產(chǎn)卵總量為Qk，p表示魚卵的成活率.

（10）假設(shè)第i齡魚的平均重量為Mi（i=1，2，3，4）.

（11）假設(shè)對(duì)第i齡魚的捕撈強(qiáng)度系數(shù)為Ei

；對(duì)i齡魚的年捕撈量為ai（i=3，4）.

（12）假設(shè)年總收獲量為W，即W=M3a3+M4a4.

（13）假設(shè)5年的總收獲量為WW，即模型建立第一步----給出第k年底i齡魚的數(shù)量Ni1(k)與第k年初i齡魚的數(shù)量Ni0(k)之間的遞推關(guān)系；給出第k年度的捕魚量

該步可通過(guò)考慮一年內(nèi)各齡魚數(shù)量的演化獲得第二步----給出第k+1年初i齡魚的數(shù)量Ni0(k+1)與第k年初i齡魚的數(shù)量Ni0(k+1)的遞推關(guān)系由已知條件，可得（E為捕撈努力量）年齡增長(zhǎng)已知r為自然死亡率，其定義為單位時(shí)間內(nèi)死亡的魚的數(shù)量與魚的總量之比。由于不捕撈1、2齡魚，所以在[t，t+Δt]內(nèi)，根據(jù)死亡率的定義，變形得解得從而(1)第一步（時(shí)間以年為單位，考慮一年內(nèi)各齡魚數(shù)量的演化）對(duì)于3、4齡魚由于捕撈在前8個(gè)月進(jìn)行，因此在前8個(gè)月內(nèi)，捕撈與死亡均影響魚的變化，因而微分方程變形為(2)由(2)式解得從而對(duì)于3、4齡魚由于后四個(gè)月無(wú)捕撈，只有自然死亡，所以在后四個(gè)月其數(shù)量演化的方程為(3)解得從而由于僅在前八個(gè)月捕撈,且僅捕撈3齡魚和4領(lǐng)魚，而且捕撈強(qiáng)度系數(shù)表示的是單位時(shí)間內(nèi)捕撈量與各年齡組魚群條數(shù)成正比的比例系數(shù)，所以對(duì)i齡魚的年捕撈量為從而一年捕魚總收獲量為由于每年各齡魚的演化規(guī)律相同，且捕撈模式相同，綜上可得：第k年底i齡魚的數(shù)量Ni1(k)對(duì)第k年初i齡魚的數(shù)量Ni0(k)的遞推關(guān)系第k年年度捕魚收獲量(4)(5)由各齡魚之間的年齡增長(zhǎng)關(guān)系,并利用關(guān)系式(4)得第二步從而第k+1年初i齡魚的數(shù)量Ni0(k+1)與第k年初i齡魚的數(shù)量Ni0(k+1)

的遞推關(guān)系為(6)(5)式是每年捕魚的總收獲量，式

(6)刻劃了魚群各年齡組每年的變化情況，它們一起構(gòu)成了基本模型。模型求解（1）為了實(shí)現(xiàn)可持續(xù)的最大捕撈（即每年開始捕撈時(shí)漁場(chǎng)中各年齡組魚群條數(shù)不變），即要求的前提下獲得最高年收獲量。結(jié)合基本模型，即可得到年度產(chǎn)量最優(yōu)模型：(7)其中約束條件第二個(gè)等號(hào)說(shuō)明各組魚群條數(shù)及產(chǎn)卵量均與k無(wú)關(guān)。優(yōu)化模型（7）中的約束條件與k無(wú)關(guān)，故可把k丟掉，并利用E3=0.42E4，把目標(biāo)函數(shù)和約束條件同時(shí)化簡(jiǎn)得(7’)注意到四個(gè)約束條件中含五個(gè)變量,因此從約束方程組可用符號(hào)計(jì)算軟件解出Ni0(i=1，2，3，4),它們都是E4的函數(shù),從而目標(biāo)函數(shù)就是E4的一元函數(shù).問題最終歸結(jié)為一元函數(shù)的極值問題.該題目也可完全通過(guò)數(shù)值迭代求解！即：E4從0開始，逐漸增加，逐個(gè)計(jì)算W，挑出使W最大的E4。

%最優(yōu)捕魚策略ch431

%文件名：ch431.m

x=sym('x');

E3=0.42*x;

d=1.22*10^11;

r=0.8;

q=d*exp(-(3*r+2/3*E3))*(32529.55*exp(r)+65059.1*exp(-2/3*x)/(1-exp(-(r+2/3*x))));

N10=d*q/(d+q);

N40=d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*x)));

a3=E3/(r+E3)*(1-exp(-2/3*(r+E3)))*d*q/(d+q)*exp(-2*r);

a4=x/(r+x)*(1-exp(-2/3*(r+x)))*d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*x)));下面給出MATLAB計(jì)算程序：M3=17.86;M4=22.99;M=M3*a3+M4*a4;M1=-M;

M10=char(M);

M11=char(M1);

fplot(M10,[0,100])

E4=fmin(M11,0,100);

E3=0.42*E4;

d=1.22*10^11;

r=0.8;

q=d*exp(-(3*r+2/3*E3))*(32529.55*exp(r)+65059.1*exp(-2/3*E4)/(1-exp(-(r+2/3*E4))));

N10=d*q/(d+q);

N40=d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*E4)));a3=E3/(r+E3)*(1-exp(-2/3*(r+E3)))*d*q/(d+q)*exp(-2*r);

a4=E4/(r+E4)*(1-exp(-2/3*(r+E4)))*d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*E4)));

M3=17.86;M4=22.99;

E3

E4

M=M3*a3+M4*a4;

Max=M

N1=N10%各年齡組魚的數(shù)量

N2=N1*exp(-r)

N3=N2*exp(-r)

N4=N40

執(zhí)行后輸出

E3=7.335

E4=17.4664

Max=3.8886e+011

各年齡組數(shù)為

N1=1.1958e+011

N2=5.3730e+010

N3=2.4142e+010

N4=8.1544e+007

圖4-5年度總捕獲量隨捕撈強(qiáng)度E4的變化曲線E4W(g)(2)針對(duì)漁業(yè)公司的5年固定努力量的捕撈計(jì)劃，我們?cè)谝阎髂挲g組魚初始條數(shù)的前提下，利用迭代方程(6)可逐次求得以后各年齡組魚的初始條數(shù)，以及各年的年度捕撈收獲量，這些量都是E4的函數(shù)。模型求解數(shù)值解得

WWmax=1.6057×1012gE4=17.58E