數(shù)據(jù)包絡(luò)分析DEA

DEA方法及其應(yīng)用

武漢理工大學(xué)管理學(xué)院

目錄：

一、DEA方法簡介

二、DEA基本原理和模型

三、DEA應(yīng)用案例

四、DEA軟件介紹

五、DEA主要應(yīng)用領(lǐng)域

六、DEA最新研究進(jìn)展

七、DEA主要參考文獻(xiàn)

假設(shè)有5個生產(chǎn)任務(wù)相同的工廠,如5家水泥廠或5家紡織廠等,每個工廠都有兩種投入和一種產(chǎn)出,其具體數(shù)據(jù)見表1．工廠(DMU)ABCDE投入1105131投入2171122產(chǎn)出1202062410表1各廠情況如何對5個工廠生產(chǎn)情況的“好壞”進(jìn)行評價呢？為了便于比較,現(xiàn)把5個工廠的各項投入和產(chǎn)出按比例變化,使其產(chǎn)出相同，見表2，這樣就可以只比較其投入了。工廠ABCDE投入11030201512投入2176201024產(chǎn)出120120120120120表2各廠調(diào)整后的情況現(xiàn)以兩項投入為坐標(biāo)建立投入平面，如圖1所示，5個工廠分別對應(yīng)于平面上5個等產(chǎn)出點。顯然,靠近左下方的工廠應(yīng)該是“好”的，而遠(yuǎn)離左下方的工廠則“不好”。將位于左下方的A,D,B依次連接起來,再由A向上做縱軸的平行線,由B向右做橫軸的平行線,可以得到一個“凸包”,這是使所有5個工廠均位于其右上方的“最小凸包”,A,D,B位于投入1投入2ABCDEHIO圖5-2凸包的邊界上,C,E位于其內(nèi)部.將C,E與原點相連,分別交凸包邊界于H,I點.H由A和D組合而成,可以看作是一個虛構(gòu)的對象.經(jīng)過簡單的計算可知,H是由A的5/12和D的7/12組合而成的,其投入和產(chǎn)出分別為投入1：投入2：產(chǎn)出：由于H是A和D的組合,因而在實際生產(chǎn)中是可以實現(xiàn)的,其兩項投入均是C兩項投入的顯然C不是相對有效的.同樣,I也可以看作是一個虛構(gòu)的工廠,其投入分別為10和20,產(chǎn)出為120，其投入是E的83.3%,因而E也不是相對有效的.很顯然,越偏向右上方,有效性越差.相對而言,位于凸包邊界上的A，D，B是有效的．在上面的例子中,DEA方法評價的對象是同類型的工廠,事實上,DEA方法評價的對象并不局限于這種真正的生產(chǎn)活動,它們可以是廣義的“生產(chǎn)”活動.比如：多所大學(xué)、多家醫(yī)院、多個空軍基地、多家銀行等都可以作為DMU,其基本的特點就是有相同種類的投入和產(chǎn)出,這些投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)就是評價相對有效性的依據(jù).判斷某個對象是否為相對有效的,就是看是否有一個虛構(gòu)的對象(它是實際觀察到的對象的某種組合)比它更“好”(相同產(chǎn)出條件下投入更少或相同投入情況下產(chǎn)出更多).若有這樣的對象,則原對象不是相對有效的,否則,是相對有效的,這就是DEA方法評價的基本思路.一、DEA方法簡介

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法（DEA，DataEnvelopmentAnalysis）由Charnes、Coopor和Rhodes于1978年提出，該方法的原理主要是通過保持決策單元（DMU,DecisionMakingUnits）的輸入或者輸入不變，借助于數(shù)學(xué)規(guī)劃和統(tǒng)計數(shù)據(jù)確定相對有效的生產(chǎn)前沿面，將各個決策單元投影到DEA的生產(chǎn)前沿面上，并通過比較決策單元偏離DEA前沿面的程度來評價它們的相對有效性。

DEA方法以相對效率概念為基礎(chǔ)，以凸分析和線形規(guī)劃為工具的一種評價方法，應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型計算比較決策單元之間的相對效率，對評價對象做出評價，它能充分考慮對于決策單元本身最優(yōu)的投入產(chǎn)出方案，因而能夠更理想地反映評價對象自身的信息和特點；同時對于評價復(fù)雜系統(tǒng)的多投入多產(chǎn)出分析具有獨到之處。DEA方法的特點：適用于多輸出-多輸入的有效性綜合評價問題，在處理多輸出-多輸入的有效性評價方面具有絕對優(yōu)勢DEA方法并不直接對數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合，因此決策單元的最優(yōu)效率指標(biāo)與投入指標(biāo)值及產(chǎn)出指標(biāo)值的量綱選取無關(guān)，應(yīng)用DEA方法建立模型前無須對數(shù)據(jù)進(jìn)行無量綱化處理（當(dāng)然也可以）無須任何權(quán)重假設(shè)，而以決策單元輸入輸出的實際數(shù)據(jù)求得最優(yōu)權(quán)重，排除了很多主觀因素，具有很強(qiáng)的客觀性DEA方法假定每個輸入都關(guān)聯(lián)到一個或者多個輸出，且輸入輸出之間確實存在某種聯(lián)系，但不必確定這種關(guān)系的顯示表達(dá)式DEA方法的特點：定義：

123…j…nv11x11x12x13…x1j…x1nv22x21x22x23…x2j…x2n......….vi.....Xij….......….vmmxm1xm2xm3…xmj…xmn

y11y12y13…y1j…y1n1u1

y21y22y23…y2j…y2n2u2.....…......yrj…..ur.....…..ys1ys2ys3…ysj…ysnsusm種輸入n個決策單元（DMU）s種輸出二、DEA基本原理和模型權(quán)系數(shù)權(quán)系數(shù)各字母定義如下：xij--------第j個決策單元對第i種類型輸入的投入總量.xij〉0yrj--------第j個決策單元對第r種類型輸出的產(chǎn)出總量.yrj〉0vi--------對第i種類型輸入的一種度量，權(quán)系數(shù)ur--------對第r種類型輸出的一種度量，權(quán)系數(shù)i----------1,2,…,mr----------1,2,…,sj----------1,2,…,n對于每一個決策單元DMUj都有相應(yīng)的效率評價指數(shù)：

我們總可以適當(dāng)?shù)娜?quán)系數(shù)v和u，使得hj≤1,j=1,…，n

對第j0個決策單元進(jìn)行效率評價，一般說來，hj0越大表明DUMj0能夠用相對較少的輸入而取得相對較多的輸出。這樣我們?nèi)绻麑UMj0進(jìn)行評價，看DUMj0在這n個DMU中相對來說是不是最優(yōu)的，我們可以考察當(dāng)盡可能的變化權(quán)重時，hj0的最大值究竟是多少。如以第j0個決策單元的效率指數(shù)為目標(biāo)，以所有決策單元的效率指數(shù)為約束，就構(gòu)造了如下的CCR（C2R）模型：上述規(guī)劃模型是一個分式規(guī)劃，使用Charnes－Cooper變化，令：可變成如下的線性規(guī)劃模型P：（P）

利用線性規(guī)劃的最優(yōu)解來定義決策單元j0的有效性，從模型可以看出，該決策單元j0的有效性是相對其他所有決策單元而言的。對于CCR模型可以用規(guī)劃P表達(dá)，而線性規(guī)劃一個重要的有效理論是對偶理論，通過建立對偶模型更容易從理論和經(jīng)濟(jì)意義上作深入分析規(guī)劃P的對偶規(guī)劃為規(guī)劃D/：（D/）為了討論和計算應(yīng)用方便，進(jìn)一步引入松弛變量s＋和剩余變量s－，將上面的不等式約束變?yōu)榈仁郊s束，可變成：（D）將上述規(guī)劃（D）直接定義為規(guī)劃（P）的對偶規(guī)劃幾個定理和定義：定理1

線性規(guī)劃（P）和對偶規(guī)劃（D）均存在可行解，所以都存在最優(yōu)值。假設(shè)它們的最優(yōu)值為別為hj0*與θ*，則有hj0*＝θ*

定義1若線性規(guī)劃（P）的最優(yōu)值hj0*＝1，則稱決策單元DMUj0為弱DEA有效定義2若線性規(guī)劃（P）的解中存在w*＞0，μ*

＞0，并且最優(yōu)值hj0*＝1，則稱決策單元DMUj0為DEA有效的定理2

DMUj0

為弱DEA有效的充要條件是線性規(guī)劃（D）的最優(yōu)值θ*＝1；DMUj0為DEA有效的充要條件是線性規(guī)劃（D）的最優(yōu)值θ*＝1，并且對于每個最優(yōu)解λ*，都有s*＋＝0，s*-＝0DEA有效性的定義：我們能夠用CCR模型判定是否同時技術(shù)有效和規(guī)模有效：（1）θ*＝1，且s*＋＝0，s*-＝0。則決策單元j0為DEA有效，決策單元的經(jīng)濟(jì)活動同時為技術(shù)有效和規(guī)模有效（2）θ*＝1，但至少某個輸入或者輸出大于0，則決策單元j0為弱DEA有效，決策單元的經(jīng)濟(jì)活動不是同時為技術(shù)效率最佳和規(guī)模最佳（3）θ*＜1，決策單元j0不是DEA有效，經(jīng)濟(jì)活動既不是技術(shù)效率最佳，也不是規(guī)模最佳DEA有效性的定義：還可以用CCR模型中的λj判斷DMU的規(guī)模收益情況：（1）如果存在λj*（j＝1，2，…，n）使得∑λj*＝1，則DMU為規(guī)模收益不變（2）如果不存在λj*（j＝1，2，…，n）使得∑λj*＝1，若∑λj*＜1，則DMU為規(guī)模收益遞增（3）如果不存在λj*（j＝1，2，…，n）使得∑λj*＝1，若∑λj*＞1，則DMU為規(guī)模收益遞減1952年，Charnes通過引入具有非阿基米德無窮小量ε，成功的解決了計算和技術(shù)上的困難，建立了具有非阿基米德無窮小量ε的

CCR模型：CCR模型的計算：最優(yōu)解為，，，λj使各個有效點連接起來,形成有效前沿面;非零的s+、s-使有效前沿面可以沿水平和垂直方向延伸,形成包絡(luò)面。在實際運用中,對松弛變量的研究是有意義的,因為它是一種純的過剩量(s-)或不足量(s+)，θ則表示DMU離有效前沿面或包絡(luò)面的一種徑向優(yōu)化量或“距離”設(shè)其中,,是決策單元j0對應(yīng)的線性規(guī)劃（D）的最優(yōu)解,則(,)為DMUj0對應(yīng)的(x0,y0)在DEA的相對有效面上的投影,它是DEA有效的CCR模型中變量的經(jīng)濟(jì)含義:定理3三、DEA應(yīng)用案例1.對生產(chǎn)水平的相對有效性分析

--梁敏.邊馥萍.生產(chǎn)水平的相對有效性分析.

數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究[J]2003.9：91-94利用含有非阿基米德無窮小ε的CCR模型，對北京地區(qū)建立如下模型：同樣建立其他三個直轄市的模型，求得的解如下：

由定理3可知，對于非DEA有效的DMU，可將其投影到DEA有效面，即把非DEA有效的DMU變成有效的DMU以天津為例，為得到同樣的總產(chǎn)值和財政收入，輸入可減少到：三、DEA應(yīng)用案例2.對經(jīng)濟(jì)效益的評價

--侯風(fēng)華，張在旭，徐青.DEA方法在石油企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益評價中的應(yīng)用.

系統(tǒng)工程理論方法應(yīng)用[J]2000.3：252-257

設(shè)研究對象為11個油田,將這11個油田簡記為DMUj(j=1,2,…,11)

輸入指標(biāo)的選取：投資總額；職工總數(shù)；銷售成本；固定資產(chǎn)原值輸出指標(biāo)的選?。涸彤a(chǎn)量(含天然氣)；利稅總額；新增探明儲量(含天然氣)CCR模型的解CCR模型的解根據(jù)上述的DEA有效性的判別定理,可知:(1)達(dá)到DEA有效的DMU分別為：

DMU1,DMU2,DMU4,DMU7,DMU9,DMU11(2)非DEA有效的DMU分別為：

DMU3,DMU5,DMU6,DMU8,DMU10(3)非DEA有效的DMU按定理3進(jìn)行投影計算結(jié)果如后投影分析結(jié)果:用DEA方法評價決策單元的相對效率時,最后的結(jié)果很可能出現(xiàn)多個單元同時為相對有效，而不能做進(jìn)一步的評價與比較。故采用一種改進(jìn)的DEA模型(簡稱MDEA)來對DEA

有效單元做進(jìn)一步評價,從而對所有地區(qū)按效率值進(jìn)行充分排名.MDEA模型：在MDEA模型中,將某個DMU能增加其投入而仍保持相對有效性的最大比例值,稱為該DMU

的“MDEA

效率”,顯然該效率值有可能大于1。由于MDEA模型是對有效單元進(jìn)行再評價,故被評價單元是技術(shù)有效的且其規(guī)模收益不變.因此,MDEA模型能做到對所有被評價單元的充分評價與排序,為決策提供了更加完備的信息.四、DEA軟件介紹1.DEAP-Versionhttp://.au/econometrics/cepa.htm2.FRONTIERhttp://.au/econometrics/cepa.htm3.EfficiencyMeasurementSystem

http://www.wiso-uni-dortmund.de/lstg/or/scheel/ems/4.LINDO軟件五、DEA主要應(yīng)用領(lǐng)域1.經(jīng)濟(jì)體效率評價：

企業(yè)效率，銀行效率,鐵路運營