數(shù)學(xué)中的推理和證明

邏輯基礎(chǔ)與數(shù)學(xué)教學(xué)§3數(shù)學(xué)中的推理和證明一、數(shù)學(xué)中的推理1推理的意義及其結(jié)構(gòu)

推理是從一個或幾個已知判斷作出一個新的判斷的思維形式。

§3數(shù)學(xué)中的推理和證明※什么是推理？推理中常用到的邏輯聯(lián)結(jié)詞有：“因為……，所以……”；“由于……，因此……”；“由……，得……”等.

每一個推理都由前提和結(jié)論兩部分組成。所依據(jù)的已知判斷叫做推理的前提，得出的新判斷叫做推理的結(jié)論?！评淼慕Y(jié)構(gòu)例1：

因為個位是0或5的整數(shù)能被5整除，275個位數(shù)字是5；所以

275能被5整除.這就是一個推理.其中前兩個判斷是這一推理的前提，最后得出的新的判斷就是這一推理的結(jié)論.一個正確的推理，必須是推理的前提真實，推理的形式有效(能夠推出，遵守推理規(guī)則).例2：因為負數(shù)大于0，-5是負數(shù)，所以-5大于0.例3：因為整數(shù)是有理數(shù)，分數(shù)是有理數(shù)，

所以整數(shù)是分數(shù).以上兩個例子都不是正確的推理.(為什么？)規(guī)則5

若“如果p，那么q”真，且“如果q，那么r”真，則“如果p，那么r”真。規(guī)則3

若“如果p，那么q”真，且非q真，則非p真。規(guī)則4

若p或q真，且非p真，則q真。2推理的規(guī)則規(guī)則1

若p且q真，則p真；若p且q真，則q真。規(guī)則2

若“如果p，那么q”真，且p真，則q真。凡是正確的推理形式，就是推理的規(guī)則.中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的推理規(guī)則有：規(guī)則6

若集合A中的每一個元素x，都具有屬性F，則集合A

的任一非空子集B中的每一個元素也具有屬性F。這條規(guī)則是邏輯上的一條演繹推理規(guī)則，它是作為公理提出來的，它保證了由全稱命題真可以推出相應(yīng)的特稱命題真.在中學(xué)數(shù)學(xué)的推理中，還有一些邏輯恒真命題，它們都可以作為推理規(guī)則使用.例如：

(1)p→p；﹁(﹁p)→p；

(2)﹁(p→q)→(p→﹁q)；

(3)(p→q)→(﹁q→﹁p)；

(4)(p→q)∧(q→p)→(pq)；

(5)﹁(p∨q)→(﹁p∧﹁q)；

(6)(p→q1)∧(p→q2)→(p→q1∧

q2)；

(7)(q1→p)∧(q2→p)→(q1∨q2→p).3推理的種類（1）歸納納推理

歸納推理，又稱歸納法，它是又特殊到一般的推理。歸納推理可分為完全歸納推理和不完全歸納推理。

①完全歸納推理：也稱完全歸納法，是根據(jù)某類事物中每一對象的情況或每一子類的情況，作出關(guān)于該類事物的一般性結(jié)論的推理。

②不完全歸納推理：也稱不完全歸納法，是根據(jù)某類事物中一部分對象的情況，作出關(guān)于該類事物的一般性結(jié)論的推理。歸納推理完全歸納枚舉法(對象有限)數(shù)學(xué)歸納法(對象無限)不完全歸納法★枚舉法舉例

例4證明在圓內(nèi)同弧所對的圓心角等于圓周角的兩倍.

證明(略)：(分三種情況進行枚舉歸納，即圓心在圓周角的一條邊上，圓心在圓周角內(nèi)，圓心在圓周角外)(作出圖形進行分析說明)★數(shù)學(xué)歸納法舉例例5圓上一點至內(nèi)接偶數(shù)多邊形相間各邊距離之積,等于該點至其余各邊的距離之積.已知：是圓內(nèi)接邊形,圓上一點P到各個邊所在直線……的距離依次記為.求證：=證明：(1)當(dāng)n=2時，即可述為如下命題：從圓上一點到內(nèi)接四邊形ABCD各邊做垂線PE、PF、PG、PH,則.(如圖)易證,從而易得.即當(dāng)n=2時命題成立.PP(2)設(shè)定理對于n成立,證明它對于n+1也成立.如圖,由歸納假設(shè)對于2n邊形有=.而對于四邊形有.兩式相乘約去因子p.即得求證.故,對取任意自然數(shù)命題都成立.Pp★不完全歸納舉例

例6凸n邊形內(nèi)角和為

.（2）類比推理

類比推理，又稱類比法，它是由特殊到特殊的推理，即根據(jù)兩個或兩類對象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的推理。B類事物具有性質(zhì)P類比推理的一般形式是：類比推理是一中或然性的推理,它只能給人們提供線索、啟發(fā)人們思考和發(fā)現(xiàn)問題,結(jié)論是否正確,還必須借助其他方法驗證.★類比推理舉例

例7在直角三角形中,有勾股定理.相應(yīng)的,取空間中這樣的四面體:它的三個面是直角三角形,把這四面體的這三個面看成直角三角形的直角邊,而把第四面看作斜邊.又把這四面體的面積看作直角三角形相應(yīng)的各邊長.于是猜想命題”……那三面的面積的和等于第四面的平方”

類比勾股定理（3）演繹推理

演繹推理，又稱演繹法，它是一種由一般到特殊的推理，即以某類事物的一般判斷為前提，作出這類事物的個別、特殊判斷的思維形式。演繹推理的前提與結(jié)論間有著必然的聯(lián)系，只要前提是真實的，推理符合推理規(guī)則(形式有效)，就一定能得到正確的結(jié)論.因此，它是一種論證推理，可以作為數(shù)學(xué)中嚴格的推理方法.演繹推理的形式多種多樣，數(shù)學(xué)中運用最普遍的有三段論和關(guān)系推理，此外，還有選言推理、聯(lián)言推理、假言推理等.①三段論：由兩個包含著一個共同項的性質(zhì)判斷而推出一個新的性質(zhì)判斷的推理。其理論依據(jù)是“規(guī)則6”(演繹公理)，其一般形式為：因為M中的元素具有(或不具有)PS∈M所以S具有(或不具有)P三段論的結(jié)構(gòu)包括大前提、小前提和結(jié)論三個性質(zhì)判斷

.(大前提)(小前提)(結(jié)論)大前提是反應(yīng)一般原理的判斷；小前提是反映個別對象與一般原理聯(lián)系的判斷；結(jié)論是由大前提、小前提推出的判斷.例8：因為正數(shù)大于零（大前提）5是正數(shù)（小前提）所以5大于零（結(jié)論）

例9：凡矩形對角線相等，(大前提)

正方形是矩形,(小前提)

所以,正方形對角線相等.(結(jié)論)

數(shù)學(xué)中的三段論,為了敘述簡便,常常略去一個前提(多半是大前提),有時甚至略去小前提只寫出結(jié)論.

例10(如圖)D是線段BC的中點,過D引射線,A是射線上任一點.求證:∠ACB,∠ABC的大小順序不變,與A的位置無關(guān).

(以下對證明過程進行剖析)證明：不妨設(shè)∠ACB

＞∠ABC,在射線DA上任意取一,即需證明

.因為∠ACB＞∠ABC

所以,AB＞AC(三角形中大角對大邊)

則∠ADB＞∠ADC(兩三角形若有兩邊對應(yīng)相等,則第三邊大者對角也大)

因而（兩三角形若有兩邊對應(yīng)相等,則夾角大者對邊也大)

則（三角形大邊對大角）

②關(guān)系推理：是根據(jù)對象間關(guān)系的邏輯聯(lián)系（如對稱、傳遞等）進行推演的推理形式。它的前提和結(jié)論都是關(guān)系判斷。設(shè)a,b,c表示對象，R表示關(guān)系(如“相等”、“平行”、“大于”等關(guān)系).那么，兩對象間的關(guān)系判斷可表示為“aRb”.關(guān)系推理又可以分為直接關(guān)系推理和間接關(guān)系推理★直接關(guān)系推理——從一個關(guān)系判斷推出另一個關(guān)系判斷稱為直接關(guān)系推理.直接關(guān)系推理常見的有對稱關(guān)系推理與反對稱關(guān)系推理.若一個關(guān)系R具有對稱性,稱為對稱關(guān)系推理.即aRb

bRa.例如：“相等”、“平行”、“相似”、“垂直”等都具有對稱性.若R具有反對稱性，稱為反對稱性關(guān)系推理.即.例如：“大于”、“小于”、“整除”、“包含”等都具有反對稱性.★間接關(guān)系推理——由兩個或兩個以上的關(guān)系判斷進行的推理稱為簡介關(guān)系推理.簡介關(guān)系推理常見的有可進行傳遞關(guān)系推理和可進行反傳遞性關(guān)系推理.若關(guān)系R具有傳遞性,稱可進行傳遞關(guān)系推理,即(aRb)∧(bRc)aRc.例如：“相等”、“相似”、“平行”、“大于”、“小于”、“整除”等關(guān)系，都具有傳遞性.若R具有反傳遞性,稱可進行反傳遞性關(guān)系推理，即(aRb)∧(bRc).

例如：“垂直”關(guān)系在平面中是反傳遞關(guān)系，在空間是非傳遞性關(guān)系.

③聯(lián)言推理——根據(jù)聯(lián)言命題的邏輯性質(zhì)而進行推演的推理，它的前提或結(jié)論為聯(lián)言命題.從聯(lián)言命題p∧q的真值表易知，p∧q為真，當(dāng)且僅當(dāng)p、q皆真.據(jù)此，可以得到聯(lián)言推理的分解式和組合式兩種基本的推理形式.★聯(lián)言推理的分解式——由聯(lián)言命題p∧q為真，推演出它的合取項p、q為真的推理，稱為聯(lián)言推理的分解式.即(p∧q)p，(p∧q)q.例如：聯(lián)言命題“2是偶數(shù)且2是素數(shù)”為真，可以推演出它的兩個合取項“2是偶數(shù)”、“2是素數(shù)”都是真命題.★聯(lián)言推理的組合式——由命題p、q全為真，推演出它們的聯(lián)言命題p∧q為真的推理，稱為聯(lián)言推理的組合式.例如：如果已知前提“x>0”及“x<5”都真，則可推出聯(lián)言命題“(x>0)∧(x<5)”為真,即“0<x<5”.為真.聯(lián)言推理的分解與組合還可以推廣到兩個以上命題組成的聯(lián)言命題的情形.

④選言推理——根據(jù)宣言命題的邏輯性質(zhì)而進行推演的推理，它的前提中有一個是選言命題.從選言命題的真值表可以看出,當(dāng)p∨q和﹁p皆為真時，q必真.例如：如果命題“a≥0”、“a≠0”都是真的，那么推出“a>0”為真.

⑤假言推理——根據(jù)假言命題的邏輯性質(zhì)而進行推演的推理,它的前提至少有一個是假言命題.從假言命題的真值表可以看出：當(dāng)p→q真且P為真時，q必真；當(dāng)p→q真且﹁q真時，﹁p必真.由此得到假言推理的肯定式和否定式兩種基本的推理形式.★肯定式——肯定假言命題p→q的前件p,從而肯定它的后件q的推理.例如：“若∠1和∠2是對頂角，則∠1=∠2”真，“∠1和∠2是對頂角”真，推出“∠1=∠2”真.★否定式——否定假言命題p→q的后件q，從而否定它的前件p的推理.例如：“若∠1和∠2是對頂角，則∠1=∠2”真，“∠1≠∠2”真，推出“∠1和∠2不是對頂角”真.二、數(shù)學(xué)中的證明

㈠證明的意義和結(jié)構(gòu)

證明就是根據(jù)一些已經(jīng)確定真實性的命題來判斷某一命題真實性的思維過程。任何邏輯證明都是由論題、論據(jù)、論證三部分組成。數(shù)學(xué)中的證明與推理有何區(qū)別于聯(lián)系？論題即需要證明其真性的命題；論據(jù)即被用來作為證明依據(jù)的真命題；論證就是指由論據(jù)出發(fā)進行一系列推理來確定論題真實性的過程.

㈡證明的規(guī)則

規(guī)則1

論題必須明確且保持同一.

論題是論證的目標和方向，必須確切清楚，避免歧義；否則，就要犯“論題不清”的邏輯錯誤.同時，在整個證明過程中，論題只能有一個，必須始終保持不變，這是同一律的要求；否則，就要犯“偷換論題”的邏輯錯誤.例11連接四邊形各中點成一平行四邊形.這里所犯邏輯錯誤就是論題不清.例12求證四邊形內(nèi)角和等于360°.證明：設(shè)四邊形ABCD是矩形，則它的四個角都是直角，有∠A+∠B+∠C=90°+90°+90°+90°=360°所以，四邊形內(nèi)角和等于360°.這一證明犯了偷換論題的邏輯錯誤.

規(guī)則2論據(jù)必須真實、充分.論據(jù)是論題的支柱，論題靠論據(jù)來證明.因此，論據(jù)必須是已知條件、已知的公理(定義、定理)或已經(jīng)證明其真實性的命題.如果論據(jù)是假的，或者未經(jīng)證明，雖然不能由此斷定論題必然是假的，但畢竟論題是沒有得到證明的.這就犯了“虛假理由”或“預(yù)期理由”的邏輯錯誤；同時，論據(jù)應(yīng)是論題的充足理由，否則就犯了“不能推出”的邏輯錯誤.例13已知和都是無理數(shù)，試證明：

也是無理數(shù).證明：由題意，和都是無理數(shù)，而無理數(shù)與無理數(shù)的仍然是無理數(shù)，故結(jié)論成立.本例犯了“虛假理由”的邏輯錯誤.例14一個三角形兩邊和其中一邊的高，同另一三角形的兩邊和其中一邊的高對應(yīng)相等，則此兩個三角形全等.(這曾經(jīng)是我國初中課本上的一道習(xí)題)

證題思路如下圖：本例論據(jù)不充分，犯了“不能推出”的邏輯錯誤.

規(guī)則3論證必須遵循推理規(guī)則，不得循環(huán)論證推理規(guī)則是論證有效性的保證，在論證過程中，如果違反推理規(guī)則，那么即使論據(jù)真實，也會犯“推不出”的邏輯錯誤；同時，不得引用直接或間接依賴論題的命題作為論據(jù),否則就會犯“邏輯循環(huán)”的邏輯錯誤.例15在Rt⊿ABC中，∠C=90°，求證：.證明：因為所以

㈢數(shù)學(xué)中常用的證明方法

1分析法與綜合法

在數(shù)學(xué)證明中,如果思考推理的方向是從求證追溯到已知，即從未知到已知，這種證明的方法稱為分析法；反之，如果思考推理的方向是從已知到求證，即從已知到未知，這種證明方法稱為綜合法。

分析法的邏輯關(guān)系——執(zhí)果索因

DCBA…………(因)(果)向下找結(jié)論的充分條件綜合法的邏輯關(guān)系——由因?qū)Ч鸄BCD…………(果)(因)向下推

例16

分別用分析法和綜合法證明：已知，并且，求證：.證明一：(分析法略)證明二：(綜合法略)

例17為的中線上任一點，且，求證：

證明一：(用分析法)

欲證①只需證②(注意到與)只需證，③只需證，④④式顯然成立.證明二：(綜合法略)用分析法和綜合法證明的注意事項：1.分析與綜合并用；2.注意因果關(guān)系.例18正方形ABCD中,E、F分別是CD與DA的中點,連接BE、CF,它們交與P.求證：AP=AB.12

證明：

由題設(shè)容易得證：⊿DCF≌CBE，從而∠1＝∠2所以有CF⊥BE.(如圖)再從欲證AP=AB進行分析.(這里分析的思路很多)

[思路一]構(gòu)造全等形Ⅰ

(1)過點A作AP得垂線交CF的延長線于G，得直角三角形APG.

(2)證AF=AG.(注意到A、B、P、F共圓)

(3)證⊿ABF≌⊿APG→AB=AP.

[思路二]只需證⊿ABP為等腰三角形

注意到A、B、P、F共圓及F時中點，有∠1＝∠2＝∠3＝∠4，從而有AB=AP.

這一證法最為簡單.例19已知a-b=1，求證：運用分析法證明的常見錯誤舉例證明：因為所以即，所以，即，a-b=1.這一證明犯了“因果顛倒”的邏輯錯誤.

2直接證法與間接證法（1）反證法通過證明論題的否定論題不真，從而肯定原論題真實，這種證法稱為反證法。在數(shù)學(xué)證明中，直接從正面證明論題真實性的方法，稱為直接證法。如果不是直接證明論題的真實性，而是通過證明論題的否定論題不真，或者證明論題的等效命題成立，從而肯定論題的真實性的證明方法，稱為間接證法。間接證法主要有反證法和同一法。

運用反證法證明的一般步驟是：

Ⅰ否定結(jié)論；

Ⅱ由此結(jié)合已知推出矛盾；

Ⅲ根據(jù)排中律因此原結(jié)論不能為假，只能為真。

反證法的類型：

歸謬法

——結(jié)論的反面只有一款。

窮舉法

——結(jié)論的反面有若干款。

例20證明不是有理數(shù)。證明：(略)本例的證明屬于歸謬法例21在△ABC中,已知BE,CF分別是∠B,∠C的平分線，且BE=CF.求證：AB=AC.證明：(略)本例的證明屬于窮舉法.運用窮舉法來證明，有時還能得到與命題相關(guān)的其他命題.例22直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.已知：求證：證明：（用窮舉法）

（2）同一法通過證明原命題的等價命題而間接證明原命題的方法，稱為同一法。什么命題的證明適用于同一法？

如果一個命題的前提和結(jié)論所確定的對象都唯一存在，則稱此命題為同一性命題.

互逆的兩個命題未必等價，但是當(dāng)條件和結(jié)論所確定的對象都唯一存在，它們所指的概念的外延完全相同，是同一概念時，這個命題就和他的逆命題等價.這一性質(zhì)通常稱為同一原理或同一法.

同一法常用于證明符合同一原理的幾何命題.應(yīng)用同一法證明時，一般有