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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示,則針對2019年這一年的收支情況,下列說法中錯(cuò)誤的是()A.月收入的極差為60 B.7月份的利潤最大C.這12個(gè)月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D.這一年的總利潤超過400萬元2.已知四棱錐中,平面,底面是邊長為2的正方形,,為的中點(diǎn),則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.3.某校8位學(xué)生的本次月考成績恰好都比上一次的月考成績高出50分,則以該8位學(xué)生這兩次的月考成績各自組成樣本,則這兩個(gè)樣本不變的數(shù)字特征是()A.方差 B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.平均數(shù)4.下圖是來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊、直角邊,已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為,記,則()A. B. C.1 D.5.已知向量,,則向量在向量上的投影是()A. B. C. D.6.已知向量,,若,則()A. B. C. D.7.已知為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.定義在上的函數(shù)滿足,則()A.-1 B.0 C.1 D.29.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,拋物線上任意一點(diǎn)P,且PQ⊥y軸交y軸于點(diǎn)Q,則的最小值為()A. B. C.l D.110.已知雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別為,O為坐標(biāo)原點(diǎn),P為雙曲線在第一象限上的點(diǎn),直線PO,分別交雙曲線C的左,右支于另一點(diǎn),且,則雙曲線的離心率為()A. B.3 C.2 D.11.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,則下列命題正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,,則 D.若,,,則12.若為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù),則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)的最小正周期是_______________,單調(diào)遞增區(qū)間是__________.14.已知函數(shù),則關(guān)于的不等式的解集為_______.15.已知,滿足約束條件則的最大值為__________.16.已知一個(gè)圓錐的底面積和側(cè)面積分別為和,則該圓錐的體積為________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在如圖所示的四棱錐中,四邊形是等腰梯形,,,平面,,.(1)求證:平面;(2)已知二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)在,角、、所對的邊分別為、、,已知.(1)求的值;(2)若,邊上的中線,求的面積.19.(12分)某工廠為提高生產(chǎn)效率,需引進(jìn)一條新的生產(chǎn)線投入生產(chǎn),現(xiàn)有兩條生產(chǎn)線可供選擇,生產(chǎn)線①:有A,B兩道獨(dú)立運(yùn)行的生產(chǎn)工序,且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.02,0.03.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本為15萬元;若A工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加2萬元;若B工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加3萬元;若A,B兩道工序都出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加5萬元.生產(chǎn)線②:有a,b兩道獨(dú)立運(yùn)行的生產(chǎn)工序,且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.04,0.01.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本為14萬元;若a工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加8萬元;若b工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加5萬元;若a,b兩道工序都出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加13萬元.(1)若選擇生產(chǎn)線①,求生產(chǎn)成本恰好為18萬元的概率;(2)為最大限度節(jié)約生產(chǎn)成本,你會給工廠建議選擇哪條生產(chǎn)線?請說明理由.20.(12分)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足,,,(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式﹔(2)設(shè),求證:.21.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)如圖,底面是等腰梯形,,點(diǎn)為的中點(diǎn),以為邊作正方形,且平面平面.(1)證明:平面平面.(2)求二面角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
直接根據(jù)折線圖依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】由圖可知月收入的極差為,故選項(xiàng)A正確;1至12月份的利潤分別為20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利潤最高,故選項(xiàng)B正確;易求得總利潤為380萬元,眾數(shù)為30,中位數(shù)為30,故選項(xiàng)C正確,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了折線圖,意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.2.B【解析】
由題意建立空間直角坐標(biāo)系,表示出各點(diǎn)坐標(biāo)后,利用即可得解.【詳解】平面,底面是邊長為2的正方形,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,由題意:,,,,,為的中點(diǎn),.,,,異面直線與所成角的余弦值為即為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的應(yīng)用,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.3.A【解析】
通過方差公式分析可知方差沒有改變,中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)都發(fā)生了改變.【詳解】由題可知,中位數(shù)和眾數(shù)、平均數(shù)都有變化.本次和上次的月考成績相比,成績和平均數(shù)都增加了50,所以沒有改變,根據(jù)方差公式可知方差不變.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查樣本的數(shù)字特征,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.4.D【解析】
根據(jù)以直角邊為直徑的半圓的面積之比求得,即的值,由此求得和的值,進(jìn)而求得所求表達(dá)式的值.【詳解】由于直角邊為直徑的半圓的面積之比為,所以,即,所以,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,考查二倍角公式,屬于基礎(chǔ)題.5.A【解析】
先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求解,再利用向量在向量上的投影公式即得解【詳解】由于向量,故向量在向量上的投影是.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法、減法的坐標(biāo)運(yùn)算和向量投影的概念,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.6.A【解析】
利用平面向量平行的坐標(biāo)條件得到參數(shù)x的值.【詳解】由題意得,,,,解得.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查向量平行定理,考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7.B【解析】
求出復(fù)數(shù),得出其對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),確定所在象限.【詳解】由題意,對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為,在第二象限.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8.C【解析】
推導(dǎo)出,由此能求出的值.【詳解】∵定義在上的函數(shù)滿足,∴,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用,屬于中檔題.9.A【解析】
設(shè)點(diǎn),則點(diǎn),,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值.【詳解】解:設(shè)點(diǎn),則點(diǎn),,,,當(dāng)時(shí),取最小值,最小值為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線背景下的向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是基礎(chǔ)題.10.D【解析】
本道題結(jié)合雙曲線的性質(zhì)以及余弦定理,建立關(guān)于a與c的等式,計(jì)算離心率,即可.【詳解】結(jié)合題意,繪圖,結(jié)合雙曲線性質(zhì)可以得到PO=MO,而,結(jié)合四邊形對角線平分,可得四邊形為平行四邊形,結(jié)合,故對三角形運(yùn)用余弦定理,得到,而結(jié)合,可得,,代入上式子中,得到,結(jié)合離心率滿足,即可得出,故選D.【點(diǎn)睛】本道題考查了余弦定理以及雙曲線的性質(zhì),難度偏難.11.C【解析】
根據(jù)空間中直線與平面、平面與平面位置關(guān)系相關(guān)定理依次判斷各個(gè)選項(xiàng)可得結(jié)果.【詳解】對于,當(dāng)為內(nèi)與垂直的直線時(shí),不滿足,錯(cuò)誤;對于,設(shè),則當(dāng)為內(nèi)與平行的直線時(shí),,但,錯(cuò)誤;對于,由,知:,又,,正確;對于,設(shè),則當(dāng)為內(nèi)與平行的直線時(shí),,錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線面關(guān)系、面面關(guān)系有關(guān)命題的辨析,考查學(xué)生對于平行與垂直相關(guān)定理的掌握情況,屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】
首先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值將復(fù)數(shù)化為,求出,再利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】,,則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,位于第二象限.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.,,【解析】
化簡函數(shù)的解析式,利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可.【詳解】函數(shù),最小正周期,令,,可得,,所以單調(diào)遞增區(qū)間是,,.故答案為:,,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角的公式的應(yīng)用,余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.14.【解析】
判斷的奇偶性和單調(diào)性,原不等式轉(zhuǎn)化為,運(yùn)用單調(diào)性,可得到所求解集.【詳解】令,易知函數(shù)為奇函數(shù),在R上單調(diào)遞增,,即,∴∴,即x>故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運(yùn)用:解不等式,考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力,屬于中檔題.15.1【解析】
先畫出約束條件的可行域,根據(jù)平移法判斷出最優(yōu)點(diǎn),代入目標(biāo)函數(shù)的解析式,易可得到目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】解:由約束條件得如圖所示的三角形區(qū)域,由于,則,要求的最大值,則求的截距的最小值,顯然當(dāng)平行直線過點(diǎn)時(shí),取得最大值為:.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃求最值問題,我們常用幾何法求最值.16.【解析】
依據(jù)圓錐的底面積和側(cè)面積公式,求出底面半徑和母線長,再根據(jù)勾股定理求出圓錐的高,最后利用圓錐的體積公式求出體積?!驹斀狻吭O(shè)圓錐的底面半徑為,母線長為,高為,所以有解得,故該圓錐的體積為?!军c(diǎn)睛】本題主要考查圓錐的底面積、側(cè)面積和體積公式的應(yīng)用。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)由已知可得,結(jié)合,由直線與平面垂直的判定可得平面;(2)由(1)知,,則,,兩兩互相垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,所在直線為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),0,,由二面角的余弦值為求解,再由空間向量求解直線與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)證明:因?yàn)樗倪呅问堑妊菪危?,,所?又,所以,因此,,又,且,,平面,所以平面.(2)取的中點(diǎn),連接,,由于,因此,又平面,平面,所以.由于,,平面,所以平面,故,所以為二面角的平面角.在等腰三角形中,由于,因此,又,因?yàn)?,所以,所以以為軸、為軸、為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,設(shè)平面的法向量為所以,即,令,則,,則平面的法向量,,設(shè)直線與平面所成角為,則【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面垂直的判定,考查空間想象能力與思維能力,訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角,屬于中檔題.18.(1)(2)答案不唯一,見解析【解析】
(1)由題意根據(jù)和差角的三角函數(shù)公式可得,再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得的值;(2)在中,由余弦定理可得,解方程分別由三角形面積公式可得答案.【詳解】解:(1)在中,因?yàn)?,又已知,所以,因?yàn)?,所以,于?所以.(2)在中,由余弦定理得,得解得或,當(dāng)時(shí),的面積,當(dāng)時(shí),的面積.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理理解三角形,涉及三角形的面積公式和分類討論思想,屬于中檔題.19.(1)0.0294.(2)應(yīng)選生產(chǎn)線②.見解析【解析】
(1)由題意轉(zhuǎn)化條件得A工序不出現(xiàn)故障B工序出現(xiàn)故障,利用相互獨(dú)立事件的概率公式即可得解;(2)分別算出兩個(gè)生產(chǎn)線增加的生產(chǎn)成本的期望,進(jìn)而求出兩個(gè)生產(chǎn)線的生產(chǎn)成本期望值,比較期望值即可得解.【詳解】(1)若選擇生產(chǎn)線①,生產(chǎn)成本恰好為18萬元,即A工序不出現(xiàn)故障B工序出現(xiàn)故障,故所求的概率為.(2)若選擇生產(chǎn)線①,設(shè)增加的生產(chǎn)成本為(萬元),則的可能取值為0,2,3,5.,,,,所以萬元;故選生產(chǎn)線①的生產(chǎn)成本期望值為(萬元).若選生產(chǎn)線②,設(shè)增加的生產(chǎn)成本為(萬元),則的可能取值為0,8,5,13.,,,,所以,故選生產(chǎn)線②的生產(chǎn)成本期望值為(萬元),故應(yīng)選生產(chǎn)線②.【點(diǎn)睛】本題考查了相互獨(dú)立事件的概率,考查了離散型隨機(jī)變量期望的應(yīng)用,屬于中檔題.20.(1)證明見解析,;(2)證明見解析【解析】
(1)由,作差得到,進(jìn)一步得到,再作差即可得到,從而使問題得到解決;(2),求和即可.【詳解】(1),,兩式相減:①用換,得②②—①,得,即,所以數(shù)列是等差數(shù)列,又,∴,,公差,所以.(II).【點(diǎn)睛】本題考查由與的關(guān)系求通項(xiàng)以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道容易題.21.(1);(2)【解析】
(1)分類討論去絕對值號,即可求解;(2)原不等式可轉(zhuǎn)化為在R上恒成立,分別求函數(shù)與的最小值,根據(jù)能同時(shí)成立,可得的最小值,即可求解.【詳解】(1)①當(dāng)時(shí),不等式可化為,得,無解;②當(dāng)-2≤x≤1時(shí),不等式可化為得x>0,故0<x≤1;③當(dāng)x>1時(shí),不等式可化為,得x<2,故1<x<2.綜上,不等式
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