插值與最小二乘法

插值與最小二乘法（擬合）1《數(shù)值分析》主講教師?問題的提出

設(shè)某個(gè)未知函數(shù)關(guān)系y=f(x)的一些測(cè)量值列表如下:x11.523y2.33.4-1.75.6那么對(duì)

,(i=0,1,2,...,n)應(yīng)該如何估值

2《數(shù)值分析》主講教師內(nèi)插法肇始于<周髀算經(jīng)>中關(guān)于晷長(zhǎng)的計(jì)算,后經(jīng)東漢、隋、唐、元等朝代天文學(xué)家在日、月、五星的運(yùn)行測(cè)量和計(jì)算中逐步得到發(fā)展.元代郭守敬的平立定三差法(招差法)標(biāo)志著中國古代歷法計(jì)算從二次到高次插值方法的演變.通過中外比較,有些成果比西方國家早400～1000年.

3《數(shù)值分析》主講教師等距節(jié)點(diǎn)內(nèi)插公式是由我國隋朝數(shù)學(xué)家劉焯(公元544-610年)首先提出的;

不等距節(jié)點(diǎn)內(nèi)插公式是由我國唐朝數(shù)學(xué)家張遂(公元683-727年)提出的;

比西歐學(xué)者發(fā)表相應(yīng)結(jié)果早一千余年.歷史4《數(shù)值分析》主講教師●問題的解決---插值方法概述尋求較簡(jiǎn)單的連續(xù)函數(shù)(x)，使它在給定的n+1個(gè)點(diǎn)滿足測(cè)量值，在其他點(diǎn)處估計(jì)未知函數(shù)值。若將連續(xù)函數(shù)(x)取為多項(xiàng)式函數(shù)，則稱為多項(xiàng)式(Polynomial)插值Pn(x)；當(dāng)然還有三角插值、有理插值等形式。5《數(shù)值分析》主講教師插值與最小二乘法§1插值問題與插值多項(xiàng)式§2Lagrange插值§3均差與Newton插值公式§4差分與Newton前后插值公式§5Hermite插值§6分段低次插值§7三次樣條插值§8曲線擬合的最小二乘法6《數(shù)值分析》主講教師§1插值問題與插值多項(xiàng)式7《數(shù)值分析》主講教師多項(xiàng)式插值有著簡(jiǎn)單、應(yīng)用廣泛、實(shí)用的特點(diǎn)，并且有較完備的理論體系。因此本課主要介紹多項(xiàng)式插值。8《數(shù)值分析》主講教師9《數(shù)值分析》主講教師10《數(shù)值分析》主講教師§2Lagrange多項(xiàng)式插值§2.1線性插值與二次插值---導(dǎo)引§2.2Lagrange插值多項(xiàng)式§2.3插值余項(xiàng)與誤差估計(jì)11《數(shù)值分析》主講教師§2.1線性插值與二次插值12《數(shù)值分析》主講教師§2.1線性插值與二次插值13《數(shù)值分析》主講教師§2.2Lagrange插值多項(xiàng)式14《數(shù)值分析》主講教師15《數(shù)值分析》主講教師§2.3插值余項(xiàng)與誤差估計(jì)前面的Cramer方法和該定理表明了插值多項(xiàng)式的唯一性。兩插值函數(shù)在n+1個(gè)點(diǎn)上函數(shù)值相同，故兩多項(xiàng)式相同。16《數(shù)值分析》主講教師17《數(shù)值分析》主講教師18《數(shù)值分析》主講教師19《數(shù)值分析》主講教師開始輸入X（xi,yi）i=0,1,…,n0:=y0：=k1:=t(x-xj)/(xk-xj)*t:=tj=0,…,k-1,k+1,….ny+t*yk:=yK=n?不等K+1:=k等于輸出y結(jié)束20《數(shù)值分析》主講教師§3Newton插值公式與均差（差商）21《數(shù)值分析》主講教師22《數(shù)值分析》主講教師23《數(shù)值分析》主講教師24《數(shù)值分析》主講教師25《數(shù)值分析》主講教師26《數(shù)值分析》主講教師27《數(shù)值分析》主講教師Newton均差（差商）表28《數(shù)值分析》主講教師關(guān)于k用數(shù)學(xué)歸納法證明（舉例說明三階差商）。29《數(shù)值分析》主講教師30《數(shù)值分析》主講教師31《數(shù)值分析》主講教師32《數(shù)值分析》主講教師33《數(shù)值分析》主講教師34《數(shù)值分析》主講教師Newton插值和均差的另一種形式推導(dǎo)*35《數(shù)值分析》主講教師Newton插值和均差的另一種形式推導(dǎo)*36《數(shù)值分析》主講教師Newton插值和均差的另一種形式推導(dǎo)*37《數(shù)值分析》主講教師三種多項(xiàng)式插值的關(guān)系*現(xiàn)已學(xué)的三種多項(xiàng)式插值方法：（1）直接（Cramer）法（2）Lagrange法（3）Newton法無非是選用了Pn[x]不同的基底，所獲的插值多項(xiàng)式是一樣的。38《數(shù)值分析》主講教師§4Hermite插值

---帶導(dǎo)數(shù)條件的多項(xiàng)式插值39《數(shù)值分析》主講教師40《數(shù)值分析》主講教師41《數(shù)值分析》主講教師42《數(shù)值分析》主講教師43《數(shù)值分析》主講教師44《數(shù)值分析》主講教師45《數(shù)值分析》主講教師正如Lagrange插值的弱點(diǎn)，也應(yīng)有Newton型Hermite插值。46《數(shù)值分析》主講教師誤差估計(jì)47《數(shù)值分析》主講教師5Hermite插值---多點(diǎn)情形48《數(shù)值分析》主講教師49《數(shù)值分析》主講教師50《數(shù)值分析》主講教師多點(diǎn)Hermite多項(xiàng)式插值誤差估計(jì)51《數(shù)值分析》主講教師證明：52《數(shù)值分析》主講教師Hermite插值的兩個(gè)性質(zhì) 53《數(shù)值分析》主講教師6分段低次插值§5.6.1多項(xiàng)式插值的收斂性問題（Runge現(xiàn)象）§5.6.2分段線性插值§5.6.3分段三次Hermite插值§5.6.4三次樣條插值54《數(shù)值分析》主講教師6.1多項(xiàng)式插值收斂性問題前面介紹了n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)上構(gòu)造不超過n次的插值多項(xiàng)式的方法，并分析了它們的余項(xiàng)，從余項(xiàng)的表達(dá)式看到，插值多項(xiàng)式與被插函數(shù)逼近的程度是與分點(diǎn)的數(shù)目、位置及被插函數(shù)的特性有關(guān)。考慮如下問題：是否插值節(jié)點(diǎn)越多，插值多項(xiàng)式對(duì)函數(shù)的逼近程度就越好呢？——龍格現(xiàn)象55《數(shù)值分析》主講教師56《數(shù)值分析》主講教師6.2分段線性插值多項(xiàng)式插值雖有許多優(yōu)點(diǎn)，但由于多項(xiàng)式“在一點(diǎn)的性質(zhì)足以決定其整體性質(zhì)”的特點(diǎn)，難以描述自然界“在不同的區(qū)域內(nèi)的性狀可以完全不相關(guān)”的大范圍現(xiàn)象，如Runge現(xiàn)象；因此高次插值收斂性沒有保證，實(shí)際的計(jì)算穩(wěn)定性也沒保證。故當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)n較大時(shí)通常不采用高次多項(xiàng)式插值，而改用低次分段插值。57《數(shù)值分析》主講教師58《數(shù)值分析》主講教師59《數(shù)值分析》主講教師利用Lagrange插值基底的思想60《數(shù)值分析》主講教師證明：逐段應(yīng)用Lagrange插值的誤差估計(jì)。61《數(shù)值分析》主講教師6.3分段三次Hermite插值62《數(shù)值分析》主講教師63《數(shù)值分析》主講教師利用Lagrange插值基底的思想64《數(shù)值分析》主講教師65《數(shù)值分析》主講教師66《數(shù)值分析》主講教師67《數(shù)值分析》主講教師§7三次樣條插值三次樣條函數(shù)

三彎矩方程三次樣條插值收斂性68《數(shù)值分析》主講教師

7.1三次樣條函數(shù)（Spline）由于分段線性插值和分段Hermite插值的光滑性不夠（例如船體放樣、飛機(jī)的外形曲線設(shè)計(jì)常需二階可導(dǎo)），況且節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值難以獲得。下面介紹的樣條仍是一種分段多項(xiàng)式，各相鄰段將具有更高階光滑連接性質(zhì)，因而它既保持了多項(xiàng)式的簡(jiǎn)單性，又保持了各段相對(duì)獨(dú)立的局部性質(zhì)和整體光滑性。69《數(shù)值分析》主講教師樣條函數(shù)70《數(shù)值分析》主講教師三次樣條函數(shù)的求法（三彎矩方程）71《數(shù)值分析》主講教師三次樣條函數(shù)的求法（三彎矩方程）72《數(shù)值分析》主講教師三次樣條函數(shù)的求法（三彎矩方程）73《數(shù)值分析》主講教師三次樣條函數(shù)的求法（三彎矩方程）74《數(shù)值分析》主講教師三次樣條函數(shù)的求法（三彎矩方程）75《數(shù)值分析》主講教師7.2三彎矩方程組的定解條件76《數(shù)值分析》主講教師77《數(shù)值分析》主講教師78《數(shù)值分析》主講教師79《數(shù)值分析》主講教師例80《數(shù)值分析》主講教師81《數(shù)值分析》主講教師82《數(shù)值分析》主講教師83《數(shù)值分析》主講教師EX:Anaturalcubicspline

s(x)on[1,3]whichinterpolates(2,1),(3,0)isdefinedby（1）Find

b,D,d;(2)UseLagrangeorNewtoninterpolatingpolynomialsof2-degreetoapproximate

s(1.5)

fromthedata:

s(1),s(2),s(3);%(3)Findtheleastsquarepolynomialoforder1fromthedata

s(1),s(2),s(3).Solution:(1)b=--1/2,D=1/4,d=1/4,thus:s(1)=1,s(2)=1,s(3)=0,(2)

,(3)Assumep(x)=ax+b,thenobtainthenormalequations,solveitgivesa=-0.5,b=5/3,sop(x)=-0.5x+5/3.84《數(shù)值分析》主講教師7.3三次樣條插值收斂性85《數(shù)值分析》主講教師8曲線擬合的最小二乘法86《數(shù)值分析》主講教師線性函數(shù)擬合87《數(shù)值分析》主講教師88《數(shù)值分析》主講教師89《數(shù)值分析》主講教師90《數(shù)值分析》主講教師i12345xiyi165