概率的意義和概率的性質(zhì)

3.1隨機(jī)事件的概率3.1.2概率的意義

問題提出1.在條件S下進(jìn)行n次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，事件A出現(xiàn)的頻數(shù)和頻率的含義分別如何？

2.概率是反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的一個(gè)數(shù)據(jù)，概率與頻率之間有什么聯(lián)系和區(qū)別？它們的取值范圍如何？

聯(lián)系：概率是頻率的穩(wěn)定值；區(qū)別：頻率具有隨機(jī)性，概率是一個(gè)確定的數(shù)；范圍：[0，1].3.大千世界充滿了隨機(jī)事件，生活中處處有概率.利用概率的理論意義，對各種實(shí)際問題作出合理解釋和正確決策，是我們學(xué)習(xí)概率的一個(gè)基本目的.

概率的意義探究（一）：

概率的正確理解

思考1：連續(xù)兩次拋擲一枚硬幣，可能會出現(xiàn)哪幾種結(jié)果？

“兩次正面朝上”，“兩次反面朝上”，“一次正面朝上，一次反面朝上”.思考2：拋擲—枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正、反面的概率都是0.5，那么連續(xù)兩次拋擲一枚硬幣，一定是出現(xiàn)一次正面和一次反面嗎？

思考3：試驗(yàn)：全班同學(xué)各取一枚同樣的硬幣，連續(xù)拋擲兩次，觀察它落地后的朝向.將全班同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果匯總，計(jì)算三種結(jié)果發(fā)生的頻率.你有什么發(fā)現(xiàn)？隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，三種結(jié)果發(fā)生的頻率會有什么變化規(guī)律？

“兩次正面朝上”的頻率約為0.25，“兩次反面朝上”的頻率約為0.25，“一次正面朝上，一次反面朝上”的頻率約為0.5.思考4：圍棋盒里放有同樣大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次從中隨機(jī)摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，你認(rèn)為一定有一次會摸到黑子嗎？說明你的理由.

不一定.摸10次棋子相當(dāng)于做10次重復(fù)試驗(yàn)，因?yàn)槊看卧囼?yàn)的結(jié)果都是隨機(jī)的，所以摸10次棋子的結(jié)果也是隨機(jī)的.可能有兩次或兩次以上摸到黑子，也可能沒有一次摸到黑子，摸到黑子的概率為1-0.910≈0.6513.思考5：如果某種彩票的中獎(jiǎng)概率為

，那么買1000張這種彩票一定能中獎(jiǎng)嗎？為什么？不一定，理由同上.買1000張這種彩票的中獎(jiǎng)概率約為1-0.9991000≈0.632，即有63.2%的可能性中獎(jiǎng)，但不能肯定中獎(jiǎng).思考1：某中學(xué)高一年級有12個(gè)班，要從中選2個(gè)班代表學(xué)校參加某項(xiàng)活動(dòng)。由于某種原因，一班必須參加，另外再從二至十二班中選1個(gè)班.有人提議用如下的方法：擲兩個(gè)骰子得到的點(diǎn)數(shù)和是幾，就選幾班，你認(rèn)為這種方法公平嗎？哪個(gè)班被選中的概率最大？

不公平，因?yàn)楦靼啾贿x中的概率不全相等，七班被選中的概率最大.探究（二）：概率思想的實(shí)際應(yīng)用

思考2：如果連續(xù)10次擲一枚骰子，結(jié)果都是出現(xiàn)1點(diǎn)，你認(rèn)為這枚骰子的質(zhì)地是均勻的，還是不均勻的？如何解釋這種現(xiàn)象？

這枚骰子的質(zhì)地不均勻，標(biāo)有6點(diǎn)的那面比較重，會使出現(xiàn)1點(diǎn)的概率最大，更有可能連續(xù)10次都出現(xiàn)1點(diǎn).如果這枚骰子的質(zhì)地均勻，那么拋擲一次出現(xiàn)1點(diǎn)的概率為，連續(xù)10次都出現(xiàn)1點(diǎn)的概率為.這是一個(gè)小概率事件，幾乎不可能發(fā)生.如果我們面臨的是從多個(gè)可選答案中挑選正確答案的決策任務(wù)，那么“使得樣本出現(xiàn)的可能性最大”可以作為決策的準(zhǔn)則，這種判斷問題的方法稱為極大似然法.思考3：天氣預(yù)報(bào)是氣象專家依據(jù)觀測到的氣象資料和專家們的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過分析推斷得到的.某地氣象局預(yù)報(bào)說，明天本地降水概率為70%，能否認(rèn)為明天本地有70%的區(qū)域下雨，30%的區(qū)域不下雨？你認(rèn)為應(yīng)如何理解？

降水概率≠降水區(qū)域；明天本地下雨的可能性為70%.思考4：天氣預(yù)報(bào)說昨天的降水概率為90％，結(jié)果昨天根本沒下雨，能否認(rèn)為這次天氣預(yù)報(bào)不準(zhǔn)確？如何根據(jù)頻率與概率的關(guān)系判斷這個(gè)天氣預(yù)報(bào)是否正確？

不能，概率為90％的事件發(fā)生的可能性很大，但“明天下雨”是隨即事件，也有可能不發(fā)生.收集近50年同日的天氣情況，考察這一天下雨的頻率是否為90％左右.思考5：奧地利遺傳學(xué)家孟德爾從1856年開始用豌豆作試驗(yàn)，他把黃色和綠色的豌豆雜交，第一年收獲的豌豆都是黃色的.第二年，他把第一年收獲的黃色豌豆再種下，收獲的豌豆既有黃色的又有綠色的.同樣他把圓形和皺皮豌豆雜交，第一年收獲的豌豆都是圓形的.第二年，他把第一年收獲的圓形豌豆再種下，收獲的豌豆卻既有圓形豌豆，又有皺皮豌豆.類似地，他把長莖的豌豆與短莖的豌豆雜交，第一年長出來的都是長莖的豌豆.第二年，他把這種雜交長莖豌豆再種下，得到的卻既有長莖豌豆，又有短莖豌豆.試驗(yàn)的具體數(shù)據(jù)如下：

豌豆雜交試驗(yàn)的子二代結(jié)果277短莖787長莖莖的高度1850皺皮5474圓形種子的性狀2001綠色6022黃色子葉的顏色隱性顯性性狀你能從這些數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？顯性與隱性之比都接近3︰1孟德爾的豌豆實(shí)驗(yàn)表明，外表完全相同的豌豆會長出不同的后代，并且每次試驗(yàn)的顯性與隱性之比都接近3︰1，這種現(xiàn)象是偶然的，還是必然的？我們希望用概率思想作出合理解釋.思考6：在遺傳學(xué)中有下列原理：（1）純黃色和純綠色的豌豆均由兩個(gè)特征因子組成，下一代是從父母輩中各隨機(jī)地選取一個(gè)特征組成自己的兩個(gè)特征.（2）用符號YY代表純黃色豌豆的兩個(gè)特征，符號yy代表純綠色豌豆的兩個(gè)特征.（3）當(dāng)這兩種豌豆雜交時(shí)，第一年收獲的豌豆特征為：Yy.把第一代雜交豌豆再種下時(shí)，第二年收獲的豌豆特征為：YY

，Yy，yy.黃色豌豆(YY，Yy)︰綠色豌豆(yy)≈3︰1

（4）對于豌豆的顏色來說．Y是顯性因子，y是隱性因子.當(dāng)顯性因子與隱性因子組合時(shí)，表現(xiàn)顯性因子的特性，即YY，Yy都呈黃色；當(dāng)兩個(gè)隱性因子組合時(shí)才表現(xiàn)隱性因子的特性，即yy呈綠色．在第二代中YY，Yy，yy出現(xiàn)的概率分別是多少？黃色豌豆與綠色豌豆的數(shù)量比約為多少？黃色圓粒豌豆和綠色皺粒豌豆的雜交試驗(yàn)分析圖解知識遷移1為了估計(jì)水庫中的魚的尾數(shù)，先從水庫中捕出2000尾魚，給每尾魚作上記號（不影響其存活），然后放回水庫．經(jīng)過適當(dāng)?shù)臅r(shí)間，讓其和水庫中其余的魚充分混合，再從水庫中捕出500尾魚，其中有記號的魚有40尾，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計(jì)這個(gè)水庫里魚的尾數(shù)．2在足球點(diǎn)球大戰(zhàn)中，球的運(yùn)行只有兩種狀態(tài)，即進(jìn)球或被撲出.球員射門有6個(gè)方向：中下，中上，左下，左上，右下，右上，門將撲球有5種選擇：不動(dòng)．左下，右下，左上，右上.如果①不動(dòng)可撲出中下和中上兩個(gè)方向的點(diǎn)球；②左下可撲出左下和中下兩個(gè)方向的點(diǎn)球；③右下可撲出右下和中下兩個(gè)方向的點(diǎn)球；④左上可撲出左上方向的點(diǎn)球；⑤右上可撲出右上方向的點(diǎn)球.那么球員應(yīng)選擇哪個(gè)方向射門，才能使進(jìn)球的概率最大？小結(jié)作業(yè)1.概率是描述隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的一個(gè)數(shù)量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定會發(fā)生，只是認(rèn)為事件發(fā)生的可能性大.2.孟德爾通過試驗(yàn)、觀察、猜想、論證，從豌豆實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)遺傳規(guī)律是一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這是一種科學(xué)的研究方法，我們應(yīng)認(rèn)真體會和借鑒.

3.利用概率思想正確處理和解釋實(shí)際問題，是一種科學(xué)的理性思維，在實(shí)踐中要不斷鞏固和應(yīng)用，提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.1.3概率的基本性質(zhì)事件的關(guān)系和運(yùn)算概率的幾個(gè)基本性質(zhì)比如在擲骰子這個(gè)試驗(yàn)中：“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于或等于3”這個(gè)事件中包含了哪些結(jié)果呢？①“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1”②“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2”③“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為3”這三個(gè)結(jié)果一.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了隨機(jī)事件的概率，舉了生活中與概率知識有關(guān)的許多實(shí)例。今天我們來研究概率的基本性質(zhì)。在研究性質(zhì)之前，我們先來研究一下事件之間有什么關(guān)系。你能寫出在擲骰子的試驗(yàn)中出現(xiàn)的其它事件嗎？C1={出現(xiàn)1點(diǎn)}；C2={出現(xiàn)2點(diǎn)}；C3={出現(xiàn)3點(diǎn)}；C4={出現(xiàn)4點(diǎn)}；C5={出現(xiàn)5點(diǎn)}；C6={出現(xiàn)6點(diǎn)}；上述事件中有必然事件或不可能事件嗎？有的話，哪些是？D1={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}；D2={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}；D3={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5}；E={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7};F={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6};G={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)};H={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)};……一.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課2.若事件C1發(fā)生，則還有哪些事件也一定會發(fā)生？反過來可以嗎？3.上述事件中，哪些事件發(fā)生會使得K={出現(xiàn)1點(diǎn)或5點(diǎn)}也發(fā)生？6.在擲骰子實(shí)驗(yàn)中事件G和事件H是否一定有一個(gè)會發(fā)生？5.若只擲一次骰子，則事件C1和事件C2有可能同時(shí)發(fā)生么？4.上述事件中，哪些事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件D2且事件D3同時(shí)發(fā)生?（一）事件的關(guān)系和運(yùn)算：BA如圖：例.事件C1={出現(xiàn)1點(diǎn)}發(fā)生，則事件H={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}也一定會發(fā)生，所以注：不可能事件記作，任何事件都包括不可能事件。（1）包含關(guān)系一般地，對于事件A與事件B，如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B包含事件A（或稱事件A包含于事件B）,記作二.剖析概念，夯實(shí)基礎(chǔ)（2）相等關(guān)系B

A如圖：例.事件C1={出現(xiàn)1點(diǎn)}發(fā)生，則事件D1={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}就一定會發(fā)生，反過來也一樣，所以C1=D1。一般地，對事件A與事件B，若，那么稱事件A與事件B相等，記作A=B。二.剖析概念，夯實(shí)基礎(chǔ)（3）并事件（和事件）若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A和事件B的并事件（或和事件），記作。B

A如圖：例.若事件K={出現(xiàn)1點(diǎn)或5點(diǎn)}發(fā)生，則事件C1={出現(xiàn)1點(diǎn)}與事件C5={出現(xiàn)5點(diǎn)}中至少有一個(gè)會發(fā)生，則二.剖析概念，夯實(shí)基礎(chǔ)（4）交事件（積事件）若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A和事件B的交事件（或積事件）記作B

A如圖：例.若事件C4

={出現(xiàn)4點(diǎn)}發(fā)生，則事件D2={出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)大于3}與事件D3={出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)小于5}同時(shí)發(fā)生，則二.剖析概念，夯實(shí)基礎(chǔ)（5）互斥事件若為不可能事件（），那么稱事件A與事件B互斥，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中都不會同時(shí)發(fā)生。AB如圖：例.因?yàn)槭录﨏1={出現(xiàn)1點(diǎn)}與事件C2={出現(xiàn)2點(diǎn)}不可能同時(shí)發(fā)生，故這兩個(gè)事件互斥。二.剖析概念，夯實(shí)基礎(chǔ)（6）互為對立事件若為不可能事件，為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生。AB如圖：例.事件G={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}與事件H={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}即為互為對立事件。二.剖析概念，夯實(shí)基礎(chǔ)①互斥事件可以是兩個(gè)或兩個(gè)以上事件的關(guān)系，而對立事件只針對兩個(gè)事件而言。②從定義上看，兩個(gè)互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個(gè)發(fā)生，也就是不可能同時(shí)發(fā)生；而對立事件除了要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求這二者之間必須要有一個(gè)發(fā)生，因此，對立事件是互斥事件，是互斥事件的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件?；コ馐录c對立事件的區(qū)別：集合A與集合B的交為空集事件A與事件B互斥=集合A與集合B的交事件A與事件B的交集合A與集合B的并事件A與事件B的并集合A與集合B相等事件A與事件B相等=集合B包含集合A事件B包含事件AB集合A的補(bǔ)集事件A的對立事件CUA的子集事件A中的元素試驗(yàn)的可能結(jié)果空集不可能事件全集必然事件集合論概率論符號A事件與集合之間的對應(yīng)關(guān)系1.概率P(A)的取值范圍（1）0≤P(A)≤1.（2）必然事件的概率是1.（3）不可能事件的概率是0.（4）若AB,則P(A)≤P(B)（二）概率的基本性質(zhì)二.剖析概念，夯實(shí)基礎(chǔ)思考：擲一枚骰子,事件C1={出現(xiàn)1點(diǎn)}，事件

C3={出現(xiàn)3點(diǎn)}則事件C1

C3發(fā)生的頻率與事件C1和事件C3發(fā)生的頻率之間有什么關(guān)系?結(jié)論：當(dāng)事件A與事件B互斥時(shí)二.剖析概念，夯實(shí)基礎(chǔ)2.概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(AB)=P(A)+P(B)若事件A，B為對立事件,則P(B)=1－P(A)3.對立事件的概率公式二.剖析概念，夯實(shí)基礎(chǔ)注意：1.利用上述公式求概率是，首先要確定兩事件是否互斥，如果沒有這一條件，該公式不能運(yùn)用。即當(dāng)兩事件不互斥時(shí)，應(yīng)有：如果事件A與事件B互斥，則P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B)

-

P()2.上述公式可推廣，即如果隨機(jī)事件A1，A2，……，An中任何兩個(gè)都是互斥事件，那么有P(A1

A2…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(n)一般地，在解決比較復(fù)雜的事件的概率問題時(shí)，常常把復(fù)雜事件分解為幾個(gè)互斥事件，借助該推廣公式解決。(1)將一枚硬幣拋擲兩次，事件A：兩次出現(xiàn)正面，事件B：只有一次出現(xiàn)正面．(2)某人射擊一次，事件A：中靶，事件

B：射中9環(huán)．(3)某人射擊一次，事件A：射中環(huán)數(shù)大于5，事件B：射中環(huán)數(shù)小于5.(1),(3)為互斥事件三.遷移運(yùn)用，鞏固提高1、判斷下列每對事件是否為互斥事件（一）獨(dú)立思考后回答2、某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽．判斷下列每對事件是不是互斥事件，如果是，再判別它們是不是對立事件．(1)恰有一名男生與恰有2名男生；(2)至少有1名男生與全是男生；(3)至少有1名男生與全是女生；(4)至少有1名男生與至少有1名女生．不互斥三.遷移運(yùn)用，鞏固提高互斥不對立不互斥互斥且對立3、袋中裝有白球3個(gè)，黑球4個(gè)，從中任取3個(gè)，是對立事件的為()①恰有1個(gè)白球和全是白球；②至少有1個(gè)白球和全是黑球；③至少有1個(gè)白球和至少有2個(gè)白球；④至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)黑球．A．①B．②C．③D．④B三.遷移運(yùn)用，鞏固提高4.從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè)A＝｛三件產(chǎn)品全不是次品｝B＝｛三件產(chǎn)品全是次品｝C＝｛三件產(chǎn)品不全是次品｝則下列結(jié)論正確的是（）A.只有A和C互斥B.只有B與C互斥C.任何兩個(gè)均互斥D.任何兩個(gè)均不互斥B三.遷移運(yùn)用，鞏固提高5.從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)黑球的口袋里任取兩個(gè)球，那么，互斥而不對立的兩個(gè)事件是（）A.至少有一個(gè)黑球與都是黑球B.至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球C.恰好有一個(gè)黑球與恰好有兩個(gè)黑球D.至少有一個(gè)黑球與都是紅球C三.遷移運(yùn)用，鞏固提高6.如果事件A,B是互斥事件，則下列說法正確的個(gè)數(shù)有（）A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)①A∪B是必然事件；②A∪B是必然事件；③A與B也一定互斥；④0≤P(A)+P(B)<1;⑤P(A)+P(B)=1;⑥0≤P(A)+P(B)≤16．甲、乙兩人下象棋，甲獲勝的概率為30%，兩人下成和棋的概率為50%，則乙獲勝的概率為________，甲不輸?shù)母怕蕿開_______．80%20%三.遷移運(yùn)用，鞏固提高8.某射手射擊一次射中，10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別是0.24、0.28、0.19、

0.16，計(jì)算這名射手射擊一次1）射中10環(huán)或9環(huán)的概率；2）至少射中7環(huán)的概率.3）射中環(huán)數(shù)不足8環(huán)的概率.三.遷移運(yùn)用，鞏固提高(二)根據(jù)題意列清各事件后再求解，完成后自由發(fā)言.0.520.870.29三.遷移運(yùn)用，鞏固提高9、在一次數(shù)學(xué)考試中，小明的成績在90分以上的概率是0.13，在80～89分以內(nèi)的概率是0.55，在70～79分以內(nèi)的概率是0.16，在60～69分以內(nèi)的概率是0.12，求小明成績在60分以上的概率和小明成績不及格的概率．[解析]

分別記小明成績在90分以上，在80～89分，在70～79分，在60～69分，60分以下(不及格)為事件A、B、C、D、E，顯然它們彼此互斥，故小明成績在80分以上的概率為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.13＋0.55＝0.68.小明成績在60分以上的概率為P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.13＋0.55＋0.16＋0.12＝0.96.∴小明成績不及格的概率為P(E)＝1－P(A∪B∪C∪D)＝1－0.96＝0.04.三.遷移運(yùn)用，鞏固提高10、一盒中裝有各色球12只，其中5紅、4黑、2白、1綠，從中取1球．求：(1)取出球的顏色是紅或黑的概率；(2)取出球的顏色是紅或黑或白的概率．三.遷移運(yùn)用，鞏固提高獨(dú)立思考后，可以小組討論，嘗試用多種方法解題，理清思路，代表發(fā)言。三.遷移運(yùn)用，鞏固提高 練習(xí)1袋中有12個(gè)小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率為1/3，得到黑球或黃球的概率是5/12，得到黃球或綠球的概率也是5/12，試求得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率各是多少？ 分析：利用方程