高一數(shù)學(xué)必修3《概率》公式總結(jié)以及例題

§3.

概率?

事：機(jī)件event，定事件:必事件certain)和可能事件(event隨事的率統(tǒng)定：一般的，如果隨機(jī)事件在n次驗(yàn)發(fā)生了m次，當(dāng)實(shí)驗(yàn)的次數(shù)

n

很大時(shí)，我們稱事件A生的概率為

說：①一隨機(jī)事件發(fā)生于具有隨機(jī)性，但又存在統(tǒng)計(jì)的規(guī)律性，在進(jìn)行大量的重復(fù)事件時(shí)某個(gè)事件是否發(fā)生具頻率的穩(wěn)定性而頻率的穩(wěn)定性又是必然的因此偶然性和必然性對立統(tǒng)一②不能件和確定事件可以看成隨機(jī)事件的極端情況③隨事件的頻率是指事件發(fā)生的次數(shù)和總的試驗(yàn)次數(shù)的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，這個(gè)擺動(dòng)的幅度越來越小，而這個(gè)接近的某個(gè)常數(shù)，我們稱之為概事件發(fā)生的概率④概是有巨大的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)后得出的結(jié)果，講的是一種大的整體的趨勢，而頻率是具體的統(tǒng)計(jì)的結(jié)果⑤概率頻的定，頻是率的似

概必滿三基要：對任意的一個(gè)隨機(jī)事件，有0②

用別表示必然事件和不能事件則有P

③如果事件和B互斥則:P

古概（Classicalmodel①所有本事件有限個(gè)②每基本事件發(fā)生的可能性都相等滿這個(gè)條件的概率模型成為古典概型如果一次試驗(yàn)的等可能的基本事件的個(gè)數(shù)為個(gè)n一個(gè)基本事件發(fā)生的概率都是1n

，如果某個(gè)事件A包含了其中的個(gè)可能的基本事件，則事件A發(fā)的概率為

幾概（probabilitymodel一地一個(gè)幾何區(qū)域D中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件“改點(diǎn)落在其內(nèi)部的一個(gè)區(qū)域內(nèi)為事件，則事件A發(fā)的概率為

的側(cè)度D的側(cè)度

（這里求

D

的側(cè)度不為0中側(cè)度的意義由

D

確定般地，線段的側(cè)度為該線段的長度面多變形的側(cè)度為該圖形的面積體像的側(cè)度為其體積）幾概的本點(diǎn)①基本件等可②基本件無限多顏師明為了便于研究互斥事件，們所研究的區(qū)域都是指的開區(qū)域，即不含邊界，在區(qū)域D內(nèi)機(jī)地取點(diǎn)，指的是該點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)何一處都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只與該部分的側(cè)度成正比，而與其形狀無關(guān)。

互事(：不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱為互事件/8對事（complementary個(gè)互斥事件中必有一個(gè)發(fā)則稱兩個(gè)事件為立事件，件

的對立事件記：

A

獨(dú)事的率

若B相互獨(dú)立的事件事件,則P

，若

A,A,...A為兩兩獨(dú)的事,1n2

n

1

n

顏師明若

,B為斥事件則AB中最多有一個(gè)發(fā)生

可能都不發(fā)生，但不可能同時(shí)發(fā)生，集合的來看兩個(gè)事件互斥，即指兩個(gè)事件的集合的交集是空集②對事件是指的兩個(gè)事件且必須有一個(gè)發(fā)生互斥事件可能指的很多事件最只有一個(gè)發(fā)生能不發(fā)生③對事件一定是互斥事件④從集論來看示斥事件和對立事件的合的交集都是空集兩個(gè)對立事件的并集是全集，而兩個(gè)互斥事件的并集不一定是全集⑤兩個(gè)對立事件的概率之和一定是1而兩個(gè)互斥事件的概率之和小于或者等于1⑥若

A

是互斥事件，則有

⑦

一般地，如果

AA1n

兩兩互斥，則有AA1n

⑧

P

⑨在本教材中

AA12

指的是

A1n

中至少發(fā)生一個(gè)⑩★在體題

中，希望大家一定要注意書寫過程處事件來利用哪種概型解題就照那種概型的書寫格式，最重要的是要設(shè)出所求的事件來，具的格式請參照我們課本上（新課標(biāo)試驗(yàn)教科-蘇教版）的例題例題選：例1.在小相同的6個(gè)球中，個(gè)紅球，若從中任意選2個(gè)求所選的2個(gè)至少有一個(gè)是紅球的概率？【析題目所給的6個(gè)中有4個(gè)球個(gè)它顏色的球，我們可以根據(jù)不同的思路有不同的解法解1斥事件）設(shè)事件A為“選取2個(gè)球至少有是紅球”則其互斥事件為意義為“選取2個(gè)都其它顏色球”1P(6151515214答：所選的2個(gè)至少有一個(gè)是紅球的概率為.15

A解2古典概型）由題意知，所有的基本事件有

62

種情況，設(shè)事件A為選取2個(gè)球至少有個(gè)紅球件

所含有的基本事件數(shù)有

4

42

14/8所以

14答：所選的2個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的率為15解獨(dú)立事件概率）不妨其它顏色的球設(shè)為白色求，設(shè)事件

為“選取2球至少有1個(gè)紅球”，件

有三種可能的情況白1白1紅，對應(yīng)的概率分別為：

422324,,，則656566答：所選的2個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的率為

評價(jià)本重點(diǎn)考察我們對于概基本知識的理解合所學(xué)的方法根據(jù)自己的理解用不同的方法，但是基本的解題步驟不能!變訓(xùn)1：在小相同的6個(gè)中個(gè)紅球個(gè)白球，若從任意選取個(gè)，求至少有是紅球的概率？解法斥事件）設(shè)事件

為“選取個(gè)球至少有是紅球其斥事件為

A

，意義為“選取3個(gè)都白球”PA

36

43(64)3

42654答：所選的3個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的率為5解2典概型）由題意知，所有的基本事件C

63

20

種情況，設(shè)事件

為“選取3個(gè)球至少1個(gè)是球”，而事

所含有的基本事件有422

，所

1620答：所選的3個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的率為

解3立事件概率）設(shè)事件

為“選取3個(gè)至少有是紅球”，則事件

的情況如下：紅2白紅白

紅白白白白紅白紅白紅紅白紅白紅白紅紅

2416454265442165452146521654154165415/81者PPB1者PPB114P所以5155答：所選的3個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的率為

變訓(xùn)2盒中6燈泡，其中2只次品，4只品，有放回的從中任抽，每次抽取1只試求下列事的概率：第1次到的是次品抽到的2次，正品、次品各一次解設(shè)事件為“第次抽到的是次品事件B為抽到的中，正品、次品各一次”則

P

26

，

442424P（者669

）答第次抽到的是次品的概率為

，抽到的2次，正品、次品各一次的概率為

49變訓(xùn)：乙兩人參加一次考試共有道選擇題3道填空題，每人抽一道題，抽到后不放回抽選擇題而乙抽到空題的概率至1人到選擇題的概率？【分）由于是不放回的抽，且只抽兩道題，甲抽到選擇題乙抽到填空題是獨(dú)立的，所以可以用獨(dú)立事件的概率2事件“至少人抽到選擇題”和事件“兩人都抽到空題”時(shí)互斥事件，所以可以用互斥事件的概率來解設(shè)事件

“抽到選擇題而乙抽到填空

“少1人到選擇題

B為“兩人都抽到填空題”（1）

333PA6510

者P

PP33310（2

165

P5

則

5答甲抽到選擇題而乙抽到填空題的概率為

3，少人抽到選擇題的概率為10變訓(xùn)4一只口袋里裝有5大小形狀相同的球，其中3紅球個(gè)球，從中不放回摸出球，球兩個(gè)球顏色不同的概率？【分】先抽出兩個(gè)球顏色相同要么是1，要么是黃球略

P

323555

6PC變訓(xùn)：盒子中有個(gè)，其中個(gè)球，個(gè)白球，每次人抽一個(gè)，然后放回，若連續(xù)抽兩次，則抽到1個(gè)球白球的概率是多少？略

P

424246666例2.急救飛機(jī)向一個(gè)邊長為千米的正方形急救區(qū)域空頭急救物品，在該區(qū)域內(nèi)有個(gè)長寬分別為80米50米水池，當(dāng)急救物品落在水池及距離水池10米范圍內(nèi)時(shí)，物品會(huì)失效假設(shè)急救物品落在正方形域內(nèi)的任意一點(diǎn)是隨機(jī)不考慮落在正方形區(qū)域范圍之外的發(fā)急救物品無效的率？【分】為屬于幾何概型，切是平面圖形，其測度用面積來衡量解如圖，設(shè)急救物品投的所有可能的區(qū)域，即邊長為1千米的正方形為區(qū)域/8

D

，事件a261a261“發(fā)放急救物品無效”為，距離水池米圍為區(qū)域d，為圖中的陰影部分，則有

d測測501000

答略顏師明這種題目要看清題目意思為了利用幾何概率，題目中一般都會(huì)有落在所給的大的區(qū)域之外的不計(jì)的條件，但如果涉及到網(wǎng)格的現(xiàn)象是一般則不需要這個(gè)條件，因?yàn)槌鲆粋€(gè)網(wǎng)格，就會(huì)進(jìn)入另外一個(gè)網(wǎng)格，分析是同樣的變訓(xùn)1：在地上畫一正方形線框，其邊長等于一枚硬幣的直徑的2倍方框中投擲硬幣硬幣完全落在正方形外的不計(jì)硬完全落在正方形內(nèi)的概率？略：

d測測

2244232變訓(xùn)2：圖設(shè)一個(gè)正方形網(wǎng)格其中每個(gè)小正三角形邊長都是,現(xiàn)一直徑等于的幣落在此網(wǎng)格上，求硬幣落下后與網(wǎng)格有公共點(diǎn)的概率？【分】因圓的位置由圓心確定，所以要與網(wǎng)格線有公共點(diǎn)只要圓心到網(wǎng)格線的距離小于等于半徑解如圖，正三角形ABC內(nèi)有一正三角形

AB

，其中1ADABaADEA1a,BE63aABaa33

a

C當(dāng)圓心落在三角形

AB

之外時(shí)，硬幣與網(wǎng)格有公共點(diǎn)

C1有公P

S-ABCSBC

F

3a2433a24

a

0.82

A

D

A1

a

a/6

B1EB/855答硬幣落下后與網(wǎng)格有公共點(diǎn)的概率為0.82變式訓(xùn)練3：如，已知矩形

中,7,在正方形內(nèi)任取一點(diǎn)P,求

的概率？略：PA56變訓(xùn)4：平面上畫了彼此相距的平行線把一枚半徑r<a的硬幣，任意的拋在這個(gè)平面上，求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率？

解設(shè)事件

為“硬幣不與任何一條平行線相碰”為了確定硬幣的位置，有硬幣的中心向距離最近的平行線作垂線M，足

為

M

，線段

OM

的長度的取值范圍為

,

，其長度就是

幾何概型所有的可能性構(gòu)成的區(qū)域

D

的幾何測度，只有當(dāng)OMa

時(shí)，硬幣不與平行線相碰，其長度就是滿足事件

的區(qū)域

d

的幾何測度，所以

2a

r

a答硬幣不與任何一條平行線相碰的概率為

aa【評與接該題是幾何概型的典型題目，要求我們正確確認(rèn)區(qū)域

D

和區(qū)域

d

，理解它們的關(guān)系以及它們的測度如何來刻畫。蒲投問：面上畫有等距離的一系列的平行線，平行線間距離a（a），向平面內(nèi)任意的投擲一枚長為

l

針與平行線相交的概？解：以

表示針的中點(diǎn)與最近的一條平行線的距離，又表針此直線的交角，如圖易知

0xa,0

，有這兩式可以確定-平面上的一個(gè)矩形，是為了針與平行線相交，其充要條件為

x

l2

，有這個(gè)不等式表示的區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分，由等可能性知

0

l

l2a/8如果

l已則以

值代入上式即可計(jì)算P來果已知?jiǎng)t也可以利用上式來求

，而關(guān)于

P

的值，則可以用實(shí)驗(yàn)的方法，用頻率去近似它，既:

如果投針N次，中平相的次數(shù)為次，則頻率為

n

，于是，P

llN于是,注：也是歷史上有名的問題之一試的方法先用數(shù)學(xué)積分的手段結(jié)合幾何概型求出概率再頻率近似概率來建立式進(jìn)求出

在史上有多的數(shù)學(xué)家用不同的方法來計(jì)算如中國的祖沖之父子倆，還有撒豆試驗(yàn)，也是可以用來求.會(huì)問：乙兩人約定在6時(shí)時(shí)在某地會(huì)面并約定先到者等候另一人一刻鐘時(shí)即可離去，求兩人能會(huì)面的概率？解設(shè)“兩人能會(huì)面”為事件，以y分表示甲、乙兩人到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)間，則兩人能夠會(huì)面的充要條件為：

在平面上建立如圖所示的坐標(biāo)系，則

的結(jié)果是邊長為的正方形而可能會(huì)面的時(shí)間由圖中陰影部分所表示，由幾何概型知，

S227PAAS6027答兩人能會(huì)面的概率16◆課上道題變訓(xùn)：如，在等腰直角三角形

ABC

中，在斜邊

AB

上任取一點(diǎn)M，求AM的率？【分】點(diǎn)M隨的落在線段AB上故線段為區(qū)域D，點(diǎn)位于如圖的內(nèi)時(shí)AM，線段AC

即為區(qū)域

解在

AB

上截取

'AC

，于是(AMAC)AM

AC'2ABAB2答

AM

的概率為

22【式練圖，在等腰直角三角形ABC中在ACB內(nèi)任意作一條射線CM，線段AB交點(diǎn)M求AM的率？錯(cuò)：AB上取AC'內(nèi)部任意作一條射線C滿足條件的M看/800作是在線段

AC

'

上任取一點(diǎn)

M

，則有(AMAC)AM

ACABAB【析這種解法看似很有道理仔