近世代數(shù)期末考試試卷

e,e,a4一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5題，每小題3分，共15)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。1、設(shè)G有6個(gè)元素的循環(huán)群，a是生成元，則的子集（）是子群。ABCD、

2、下面的代數(shù)系統(tǒng)（G，*）中）不是群A、G為整數(shù)集合，*為加法B、G為偶數(shù)集合，*為加法C、G為有理數(shù)集合，*為加法D、G為有理數(shù)集合，*為乘法3、在自然數(shù)集N上，下列哪種運(yùn)算是可結(jié)合的？（）A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2bD、a*b=|a-b|4設(shè)2、

是三個(gè)置換其中1（12（243

=（1324

3

=（）A、

2

1

B、

1

2

C、

2

2

D、

25、任意一個(gè)具有2個(gè)或以上元的半群，它（A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交換群二填空題(本大題共10小題每空3分共30)請?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。凱萊定理說：任一個(gè)子群都同一個(gè)----------構(gòu)。一個(gè)有單位元的無零因子-----稱為整環(huán)。已知群中的元素的階等于50，則的階等于------。a的階若是一個(gè)有限整數(shù)n，那么G與-------構(gòu)。A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B=-----。若映是單射又是滿射，則-----------------。7、叫做域

的一個(gè)代數(shù)元，如果存在的-----0

使得n

。8代數(shù)系(A,0)的元素任xA均成x為--------。9、有限群的另一定義：一個(gè)有乘法的有限非空集G作成一個(gè)群，如果滿足

G對于乘法封閉；結(jié)合律成立、---------。10、一個(gè)環(huán)R對于加法來作成一個(gè)循環(huán)群，則是----------。三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共分）1、設(shè)集合是A上的置換群，H是G子群，H={I,(12)}，寫出H的所有陪集。2、設(shè)是有偶數(shù)做成的集合

?

”是數(shù)的乘法，則“

?

”是E中運(yùn)算，

?

）是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，問E，?）不是群，為什么？3、a=493,b=391,求(a,b),[a,b]和p,q。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第小題15分，共分）若<G，*>是群，則對于任意的a、b∈G，必有惟一的∈G使得a*x。m是一個(gè)正整數(shù)定整數(shù)Z上的二元關(guān)系b當(dāng)且僅m︱a–b。近世代模試題三一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5題，每小題3分，共15)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。1、6階有限群的任何子群一定不是（A、2階B、3階C、4階D、6階2、設(shè)G是群，G有（）個(gè)元素，則不能肯定G是交換群。A、4個(gè)B、5個(gè)C、6個(gè)D、7個(gè)3、有限布爾代數(shù)的元素的個(gè)數(shù)一定等于（A、偶數(shù)B、奇數(shù)C、4的倍數(shù)D、2的正整數(shù)次冪4、下列哪個(gè)偏序集構(gòu)成有界格（）ABC（{2,3,4,6,12},|（整除關(guān)系D、(P(A),5設(shè)S3＝{(1)(12)(13)(23)(123)(132)}那么在S3中可以與123)交換的所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二填空題(本大題共10小題每空3分共30)請?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。1、群的單位元是--------的，每個(gè)元素的逆元素是-------的。2、如果f是與A間的一一映射是A的一個(gè)元，則

f

----------。區(qū)間[1，2]上的運(yùn){min,}單位元是-------。可換群G中|a|=6,|x|=8,則|ax|=——————————。環(huán)Z零因子有-----------------------。8一個(gè)子群H的右、左陪集的個(gè)數(shù)----------從同構(gòu)的觀點(diǎn)，每個(gè)群只能同構(gòu)于他/它自己的--------。無零因子環(huán)R中所有非零元的共同的加法階數(shù)稱為的-----------。設(shè)G中元a的階mmn存在整除關(guān)系為-------。三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共分）用2種顏色的珠子做成有5顆珠子項(xiàng)鏈，問可做出多少種不同的項(xiàng)鏈？S，SA的子環(huán)，則S∩S也是子環(huán)。S+S也是子環(huán)嗎？1212123、設(shè)有置換

，

(234)(456)

。．．確定置奇偶性。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第小題15分，共分）1、一個(gè)除環(huán)R只有兩個(gè)理想就是零理想和單位理想。2、M為含幺半群，證明b=-1充分必要條件是=a=。B，，所以2近世代模試題一

參考答一、單項(xiàng)選擇題。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共分)。1、

；2、單位元；3、交換環(huán)；4、整數(shù)環(huán)5、變換群；6、同構(gòu);7、零、-a；8、S=I或S=R；9、域；三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共分）1、解：把和寫成不相雜輪換的乘積：

(1653)(247)(8)

可知為奇置換，為偶置換。

和可以寫成如下對換的乘積：

2、解：設(shè)A是任意方陣，令

1((AA2，2，則B是對稱矩陣，而是反對稱矩陣，且

A

。若令有

11，這里和1別為對稱矩陣和反對稱矩陣，則

1

，而等式左邊是對稱矩陣，右邊是反對稱矩陣，于是兩邊必須都等于0，即：

11

，所以，表示法唯一。3、答

，

）不是群，因?yàn)?/p>

中有兩個(gè)不同的單位元素0和。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第小題15分，共分）1、對于G中任意元x，y，由于

xy)

2

xy

yx

（對每個(gè)x，從x可xx2、證明在F里a

(,bR,b有意義，作F的子集

aQbRb0)

顯然是R的一個(gè)商域

證畢。ZaZa近世代模試題二

參考答一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題，每小題分，共15分)。1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共分)。1、變換群2、交換環(huán)3、n乘余類加群5、{2}、一一映射7、不都等于零的元；8、右單位元；9、消去律成立；、交換環(huán)；三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共分）1、解：H的3個(gè)右陪集為：{I,(12)}，{(123，(13)}，{(13)，(23)}H的3個(gè)左陪集為：{I,(12)}，{(123)，(23)}，{(132)，(13)}2、答?）不是群，因?yàn)椋?）中無單位元。3、解方法一、輾轉(zhuǎn)相除法。列以下算式：=b+102=3×102+85102=1×85+17由此得到(a,b)=17,[a,b]=a×b/17=11339然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以p=4,q=-5.四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第小題15分，共分）1、證明設(shè)群<G，*>的幺元。令x＝a，則＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。所以，x＝a－1*b是a*x＝b解。若xa*x＝b的解－1*a)*x－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。2、容易證明這樣的關(guān)系是Z的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，把這樣定義的等價(jià)類集合記為Zm，每個(gè)整數(shù)a所在的等價(jià)類記為[｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可記為，稱之為模m剩余類。若m︱a–b也記為a。當(dāng)m=2時(shí)，Z2僅含2個(gè)元：[0]與[1]。近世代模試題三

參考答一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5題，每小題3分，共15)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二填空題(本大題共10小題每空3分共30)請?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。1、唯一、唯一2；3、2；4；5、

、相等；7、商群；8特征；9、

mn

；三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共分）解在學(xué)群論前我們沒有一般的方法，只能用枚舉法。用筆在紙上畫一下，用黑白兩種珠子，分類進(jìn)行計(jì)算：例如，全白只1，四白一黑1種，三白二黑2種，…等等，可得總共8種。證由上題子環(huán)的充分必要條件，要證對任意a,b∈S1有a-b,ab∩S2：因?yàn)镾1，S2是A的子環(huán)，故a-b,ab∈S1和a-b,ab∈S2，因而a-b,ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子環(huán)。S1+S2不一定是子環(huán)。在矩陣環(huán)中很容易找到反例：3、解：1．，

(16524)

；2．兩個(gè)都是偶置換。四、證明題（