定解問題的推導(dǎo)

定解問題的推導(dǎo)第一頁，共三十七頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)物理方程（簡稱數(shù)理方程）是指從物理學(xué)及其它各門自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)中所導(dǎo)出的函數(shù)方程，主要是指偏微分方程和積分方程，這些方程稱為泛定方程，若加上物理問題產(chǎn)生的具體環(huán)境（即邊界條件和初始條件），則構(gòu)成一個(gè)（組）數(shù)學(xué)物理定解問題。數(shù)學(xué)物理方程所研究的內(nèi)容和涉及的領(lǐng)域十分廣泛，它深刻地描繪了自然界中的許多物理現(xiàn)象和普遍規(guī)律。從物理規(guī)律的角度來分析，數(shù)學(xué)物理定解問題表征的是場和產(chǎn)生這種場的源之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)物理思想第二頁，共三十七頁，2022年，8月28日（聲）振動(dòng)是研究（聲）源與聲波場之間的關(guān)系熱傳導(dǎo)是研究熱源與溫度場之間的關(guān)系泊松（S.D.Poisson1781～1840，法國數(shù)學(xué)家）方程表示的是電勢（或電場）和電荷分布之間的關(guān)系定解問題第三頁，共三十七頁，2022年，8月28日根據(jù)分析問題的不同出發(fā)點(diǎn)，把數(shù)學(xué)物理問題分為正（向）問題、逆（向）問題或稱為反問題.不同出發(fā)點(diǎn)

正問題，即為已知源求場

反問題，即為已知場求源.

前者是經(jīng)典數(shù)學(xué)物理所討論的主要內(nèi)容.后者是高等數(shù)學(xué)物理（或稱為現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理）所討論的主要內(nèi)容。第四頁，共三十七頁，2022年，8月28日多數(shù)為二階線性偏微分方程振動(dòng)與波（振動(dòng)波，電磁波）傳播滿足波動(dòng)方程熱傳導(dǎo)問題和擴(kuò)散問題滿足熱傳導(dǎo)方程靜電場和引力勢滿足拉普拉斯方程或泊松方程數(shù)學(xué)物理方程的類型和所描述的物理規(guī)律第五頁，共三十七頁，2022年，8月28日三類典型的數(shù)學(xué)物理方程三類典型的數(shù)學(xué)物理方程雙曲型方程波動(dòng)方程為代表拋物型方程熱傳導(dǎo)方程為代表橢圓型方程泊松方程為代表退化為拉普拉斯方程第六頁，共三十七頁，2022年，8月28日分離變量法偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)的常微分方程標(biāo)準(zhǔn)解，即為各類特殊函數(shù)。三類數(shù)學(xué)物理方程的一種最常用解法第七頁，共三十七頁，2022年，8月28日波動(dòng)方程的建立1.弦的微小橫振動(dòng)（見教材第1頁）考察一根長為且兩端固定、水平拉緊的弦．討論如何將這一物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的定解問題．要確定弦的運(yùn)動(dòng)方程，需要明確：確定弦的運(yùn)動(dòng)方程（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛頓第二定律.

（3）按物理定理寫出數(shù)學(xué)物理方程（即建立泛定方程）

要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移

第八頁，共三十七頁，2022年，8月28日（1）問題的提法給定一根兩端固定（平衡時(shí)沿直線）均勻柔軟的細(xì)弦，其長為l，在外力作用下在平衡位置附近作微小的橫振動(dòng)，研究弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。（2）方程的推導(dǎo)注意：

物理問題涉及的因素較多，往往還需要引入適當(dāng)假設(shè)才能使方程簡化。數(shù)學(xué)物理方程必須反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍規(guī)律，所以考察點(diǎn)不能取在端點(diǎn)上，但可以取除端點(diǎn)之外的任何位置作為考察點(diǎn)。第九頁，共三十七頁，2022年，8月28日（2）弦在某一平面內(nèi)作微小橫振動(dòng)，即弦的位置始終在一直線附近，而弦上各點(diǎn)均在同一平面內(nèi)垂直于該直線的方向上作微小的振動(dòng)。所謂“微小”是指振動(dòng)的幅度及弦在任意位置處切線的傾角都很小。（3）弦是柔軟的。它在形變時(shí)不抵抗彎曲，弦上各質(zhì)點(diǎn)間的張力方向與弦的切線方向一致，而弦的伸長形變與張力的關(guān)系服從胡克（Hook）定律?；炯僭O(shè)（微小、均勻和柔軟的物理意義）：（1）弦是均勻的。弦的橫截面直徑與弦的長度相比可以忽略（細(xì)），因此，弦可以視為一條直線，它的線密度ρ是常數(shù)。（ρ=M/L，M--質(zhì)量，L--長度）第十頁，共三十七頁，2022年，8月28日TT′′MM′NN′dsxx+dxxut時(shí)刻設(shè)弦上具有坐標(biāo)x的點(diǎn)在t時(shí)刻的位置為M，位移MN記作u，u=u(x,t)，由于沒有辦法考察弦上單點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，所以我們選擇小弧段來研究，然后研究小弧段的長度趨于零的極限狀態(tài)。ds—弧段MM′的長度；—弦的線密度；T—M點(diǎn)所受的張力；T′—M′點(diǎn)所受的張力；由于假設(shè)弦是柔軟的，所以在任一點(diǎn)處張力的方向總是沿著該點(diǎn)的切線方向，下面分析弧段的受力情況。第十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日物理定律：Newton第二定律F=ma作用于弧段上任一方向上的力的合力等于這段弧的質(zhì)量乘以力的方向上的加速度。x軸方向（水平）：由于弦只作橫振動(dòng)（垂向振動(dòng)），則（1.1）由弦只作微小橫振動(dòng)的假設(shè)，即，′都很小，則≈0，′≈0，從而由TT′′MM′NN′dsxx+dxxut時(shí)刻第十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日略去高階項(xiàng)，有代入（1.1）得到u軸方向（垂直）：又因?yàn)楫?dāng)≈0，′≈0時(shí)，TT′′MM′NN′dsxx+dxxut時(shí)刻第十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日同理又由于小弧段在t時(shí)刻沿u方向運(yùn)動(dòng)的加速度為弧段的質(zhì)量m=ds，所以第十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日因?yàn)橛谑?，?.2）或第十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日（1.3）其中，方程（1.3）稱為一維波動(dòng)方程。第十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日如果在弦的單位長度上還有橫向外力作用，則式(1.3)應(yīng)該改寫為

(1.4)式（1.4）稱為弦的受迫振動(dòng)方程.，為時(shí)刻作用于處單位質(zhì)量上的橫向（垂直）外力。式中稱為力密度

第十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日第十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日2.傳輸線方程（或電報(bào)方程，見教材第4頁）（1）問題的提法第十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日（2）方程的推導(dǎo)根據(jù)基爾霍夫第二定律，在長度為△x的傳輸線中，電壓降應(yīng)等于電動(dòng)勢之和，即第二十頁，共三十七頁，2022年，8月28日由此得（2.1）另外，由基爾霍夫第一定律，流入節(jié)點(diǎn)的電流應(yīng)等于流出該節(jié)點(diǎn)的電流，即由此得（2.2）將方程（2.1）與（2.2）合并，即得i，v應(yīng)滿足如下方程組第二十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日（2.1）（2.2）第二十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日將（2.1）中的（2.3）代入（2.3），得（2.4）這就是電流i滿足得微分方程。采用類似得方法從（2.1）與（2.2）中消去i可得電壓v滿足得方程第二十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日（2.5）（2.3）方程（2.3）或（2.5）稱為傳輸線方程（電報(bào)方程）。根據(jù)不同的具體情況，對(duì)參數(shù)R，L，C，G作不同得假定，就可以得到傳輸線方程的各種特殊形式。例如，在高頻傳輸?shù)那闆r下，電導(dǎo)與電阻所產(chǎn)生的效應(yīng)可以忽略不計(jì)。也就是說可令G=R=0,此時(shí)方程（2.3）與（2.5）可簡化為這兩個(gè)方程稱為高頻傳輸線方程。第二十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日這兩個(gè)方程與（1.3）完全相同。由此可見，同一個(gè)方程可以用來描述不同的物理現(xiàn)象。一維波動(dòng)方程只是波動(dòng)方程中最簡單的情況，在流體力學(xué)、聲學(xué)及電磁場理論中，還要研究高維的波動(dòng)方程。令（1.3）第二十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日3.熱傳導(dǎo)方程（見教材第8頁）（1）問題的提法熱傳導(dǎo)方程的建立第二十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日其中k＝k（x，y，z）稱為物體的熱傳導(dǎo)系數(shù)，當(dāng)物體為均勻且各向同性的導(dǎo)熱體時(shí)，k為常數(shù)。第二十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日利用上面的關(guān)系，從時(shí)刻t1到時(shí)刻t2通過曲面S流入?yún)^(qū)域V的全部熱量為第二十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日流入的熱量使V內(nèi)各點(diǎn)的溫度從u（x，y，z，t1）變化到u（x，y，z，t2），則在[t1,

t2]內(nèi)V內(nèi)溫度升高所需的熱量為其中c為物體的比熱，ρ為物體的密度，對(duì)均勻且各向同性的物體來說，它們都是常數(shù)。由于熱量守恒，流入的熱量等于物體溫度升高所需吸收的熱量，即（2.6）此式左端的曲面積分中S是閉曲面，假設(shè)函數(shù)u關(guān)于x，y，z具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，關(guān)于t具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，可以利用高斯（Guass）公式將它化為三重積分，即第二十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日同時(shí)，（2.6）的右端的體積分可以寫成（2.6）因此，有（2.7）由于時(shí)間間隔[t1,

t2]及區(qū)域V都是任意取的，并且被積函數(shù)是連續(xù)的，所以（2.7）式左右恒等的條件是它們的被積函數(shù)恒等，即第三十頁，共三十七頁，2022年，8月28日（2.8）若物體內(nèi)有熱源，其強(qiáng)度為F(x,y,z,t),則相應(yīng)的熱傳導(dǎo)方程為其中。第三十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日作為特例，如果所考慮的物體是一根細(xì)桿（或一塊薄板），或者即使不是細(xì)桿（或薄板）而其中的溫度u只與x，t（或x，y，t）有關(guān)，則方程（2.8）就變成一維熱傳導(dǎo)方程（2.8）或二維熱傳導(dǎo)方程第三十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日（2.8）第三十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日推導(dǎo)固體的熱傳導(dǎo)方程時(shí)，需要利用能量守恒定律和關(guān)于熱傳導(dǎo)的傅里葉定律：熱傳導(dǎo)的傅里葉定律：

時(shí)間內(nèi)，通過面積元流入小體積元的熱量與沿面積元外法線方向的溫度變化率

成正比也與和成正比，即：式中是導(dǎo)熱系數(shù)

第三十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日取直角坐標(biāo)系Oxyz,如圖表示t時(shí)刻物體內(nèi)任一點(diǎn)（x,y,z）處的溫度在dt時(shí)間內(nèi)通過ABCD面流入的熱量為同樣，在時(shí)間內(nèi)沿y方向和z方向流入立方體的熱量分別為第三十五頁，共三十七頁，2022年，8月2