定解條件與定解問題的提法

定解條件與定解問題的提法第一頁，共十九頁，2022年，8月28日3.1定解條件n

階常微分方程的通解含有n個任意常數(shù)，要完全確定這些常數(shù)需要附加n個條件。能不能求解？解是什么？☆由此可歸納出能不能定解？該怎么辦？能不能求解？解是什么？能不能定解？該怎么辦？☆方程☆方程第二頁，共十九頁，2022年，8月28日要想完全確定一個物理過程除了控制方程（一般指偏微分方程）外，還需要給定初始和邊界條件。表征和控制物理現(xiàn)象的方程，稱為控制方程或泛定方程。由前面有關(guān)三種典型方程的推導(dǎo)過程得出，不同的物理現(xiàn)象具有不同的物理規(guī)律，其控制方程也是不同的。第三頁，共十九頁，2022年，8月28日同一類物理現(xiàn)象中，各個具體問題又各有其特殊性。邊界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環(huán)境和歷史，即個性。初始條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件，即描述物理過程初始狀態(tài)的數(shù)學(xué)條件。邊界條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象邊界上的約束情況的條件，即描述物理過程邊界狀態(tài)的數(shù)學(xué)條件。3.2定解條件的形式和定解問題定解問題=控制方程+定解條件非穩(wěn)態(tài)問題：定解條件包括初始條件和邊界條件。穩(wěn)態(tài)問題：定解條件為邊界條件。第四頁，共十九頁，2022年，8月28日根據(jù)分析問題的不同出發(fā)點(diǎn)，把數(shù)學(xué)物理問題分為正向問題和逆向問題。不同出發(fā)點(diǎn)

正向問題，即為已知源求場

逆向問題，即為已知場求源.

前者是經(jīng)典數(shù)學(xué)物理所討論的主要內(nèi)容。后者是高等數(shù)學(xué)物理（或稱為現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理）所討論的主要內(nèi)容第五頁，共十九頁，2022年，8月28日聲振動是研究聲源與聲波場之間的關(guān)系熱傳導(dǎo)是研究熱源與溫度場之間的關(guān)系泊松方程表示的是電勢（或電場）和電荷分布之間的關(guān)系定解問題從物理規(guī)律角度來分析，數(shù)學(xué)物理定解問題表征的是場和產(chǎn)生這種場的源之間的關(guān)系。第六頁，共十九頁，2022年，8月28日一維波動方程描述了弦做微小橫振動時位移函數(shù)所應(yīng)滿足的一般性規(guī)律，但僅僅利用它還不能完全確定所考察弦的運(yùn)動狀況，這是因?yàn)樗倪\(yùn)動還與初始狀態(tài)以及邊界條件所處的狀況有關(guān)?！畈▌臃匠痰亩ń鈼l件①初始條件——描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)系統(tǒng)各點(diǎn)的初位移系統(tǒng)各點(diǎn)的初速度設(shè)弦在初始時刻時的位置和速度為：第七頁，共十九頁，2022年，8月28日②邊界條件——描述系統(tǒng)在邊界上的狀況第二類邊界條件：一端既不固定，又不受位移方向力的作用第一類邊界條件：對于兩端固定的弦的振動，其為：或：第三類邊界條件：在x=l端受到彈性系數(shù)為k的彈簧的支承或或：第八頁，共十九頁，2022年，8月28日

x

u

o

b

l

h

【解】初始時刻就是放手的那一瞬間，按題意初始速度為零，即有初始位移如圖所示如下圖所示，然后放手任其振動，試寫出初始條件。例：一根長為的弦，兩端固定于和，在距離坐標(biāo)原點(diǎn)為的位置將弦沿著橫向拉開距離，l第九頁，共十九頁，2022年，8月28日☆波動方程的定解問題定解問題=控制偏微分方程（泛定方程）+初始條件

+邊界條件混合問題

定解問題=控制偏微分方程（泛定方程）+初始條件初值問題（柯西問題）定解條件=初始條件+邊界條件特解第十頁，共十九頁，2022年，8月28日

例：長為的弦在端固定，另一端自由，且在初始時刻時處于水平狀態(tài)，初始速度為，且已知弦作微小橫振動，試寫出此定解問題.①確定泛定方程：取弦的水平位置為軸，為原點(diǎn)，弦作自由（無外力）橫振動，所以泛定方程為齊次波動方程【解】第十一頁，共十九頁，2022年，8月28日②確定邊界條件

對于弦的固定端，顯然有另一端自由，意味著其張力為零，則③

確定初始條件根據(jù)題意，當(dāng)時，弦處于水平狀態(tài)，即初始位移為零初始速度第十二頁，共十九頁，2022年，8月28日綜上討論，故定解問題為第十三頁，共十九頁，2022年，8月28日例：長為l的桿，上端固定在電梯的頂桿上，桿身豎直，下端自由。電梯在下降過程中，當(dāng)速度為v0時突然停止。試寫出桿振動的定解問題。第十四頁，共十九頁，2022年，8月28日☆擴(kuò)散方程的定解條件定解條件：初始條件邊界條件①初始條件——描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)式中φ(x,y,z)為已知函數(shù)，表示溫度在初始時刻的分布。第十五頁，共十九頁，2022年，8月28日②邊界條件——描述系統(tǒng)在邊界上的狀況第二類邊界條件：通過介質(zhì)表面單位面積的熱流量己知

第一類邊界條件：介質(zhì)表面溫度已知

第三類邊界條件：邊界面與周圍空間的熱量交換規(guī)律已知

式中，p為邊界面上的點(diǎn)。由熱量守恒定律可知，這個熱量等于單位時間內(nèi)流過單位面積上的熱量第十六頁，共十九頁，2022年，8月28日☆擴(kuò)散方程的定解問題定解問題=控制偏微分方程（泛定方程）+初始條件

+邊界條件混合問題

定解問題=控制偏微分方程（泛定方程）+初始條件初值問題（柯西問題）定解條件=初始條件+邊界條件特解第十七頁，共十九頁，2022年，8月28日☆拉普拉斯和泊松方程的定解條件第二邊值問題，牛曼問題

第一邊值問題，狄利克萊問題（狄氏問題）

第三邊值問題（混合問題）魯賓問題

對于穩(wěn)態(tài)問題，變量不隨時間發(fā)生變化。定解