定點數(shù)乘除運(yùn)算及實現(xiàn)

定點數(shù)乘除運(yùn)算及實現(xiàn)第一頁，共二十八頁，2022年，8月28日例：設(shè)A＝0.1101,B＝0.1011，則AB的手工運(yùn)算過程為：

①將多數(shù)一次相加，機(jī)器難以實現(xiàn)。一般的加法器，只能把兩個輸入數(shù)相加，多個位積的同時輸入是無法實現(xiàn)的②機(jī)器字長（即加法器）只有n位，而乘積位數(shù)增長了一倍，即2n問題：第二頁，共二十八頁，2022年，8月28日解決方案:(a)把一次求和的操作，變成逐步累加求部分積的操作

(b)將求積過程中左移位積的操作，改為位積不動，而是上次部分積右移的操作手工運(yùn)算過程計算機(jī)內(nèi)運(yùn)算的實現(xiàn)方法第三頁，共二十八頁，2022年，8月28日

[例]已知:X＝－0﹒101，Y＝－0﹒110，用原碼一位乘法求[X?Y

]原＝？

[X]原＝1﹒101

[Y]原＝1﹒110②

[X?Y]原＝１⊕１+(0﹒101)×(0﹒110)③則（0﹒101)×(0﹒110)的過程為：0﹒000＋00﹒000———————————0﹒000

＋X0﹒1

0

1

—————————————————0﹒1

0

1

0

0﹒00000﹒0

1

0

1

0＋X—————————————————0﹒1

0

1

0﹒1

1

1

1

00﹒01

1

1

1

0

解：用原碼一位乘法實現(xiàn)X?Y過程為：

①所以：[X?Y]原＝0+0﹒011110＝0﹒011110第四頁，共二十八頁，2022年，8月28日

例：

已知X=+0．1101，Y=-0．1011，求Z=X·Y。解：

［X］原=0．1101【Y】原=1．1011

②[X?Y]原＝0⊕1+(0﹒1101)×(0﹒1011)

③則(0﹒1101)×(0﹒1011)的過程為：

所以：[X?Y]原＝［Z］原=1+0.10001111＝1．10001111Z=

－0．10001111第五頁，共二十八頁，2022年，8月28日原碼一位乘法的乘法器結(jié)構(gòu)框圖如圖：所示：原碼一位乘法的乘法器工作原理：乘法開始時，“啟動”信號使控制觸發(fā)器Cx置“1”，于是開啟時序脈沖T。

當(dāng)乘數(shù)寄存器R1最末位為“1”時，部分積Zi和被乘數(shù)X在加法器中相加，其結(jié)果輸出至R0的輸入端。一旦打入控制脈沖T到來，控制信號LDR0使部分積右移一位，與此同時，R1也在控制信號LDR1作用下右移一位，且計數(shù)器i計數(shù)一次。當(dāng)計數(shù)器i=n時，計數(shù)器的溢出信號使觸發(fā)器Cx置“0”，關(guān)閉時序脈沖T，乘法宣告結(jié)束。第六頁，共二十八頁，2022年，8月28日

原碼兩位乘法：基本原理類似：只是從最低位開始，每次取兩位乘數(shù)與被乘數(shù)相乘，得到一次部分積，與上次部分積相加后右移2。有關(guān)原碼兩位乘法具體操作過程不再詳細(xì)討論第七頁，共二十八頁，2022年，8月28日補(bǔ)碼乘法補(bǔ)碼一位乘法

補(bǔ)碼與真值的關(guān)系：例：已知【Y】補(bǔ)=Y0．Y1Y2‥‥Yn，證明真值：Y＝（－Y0）＋Yi×2－ｉi=1n∑證明：①當(dāng)Y

0時，Y

0=0則真值Y

＝（－0）＋

0．Y1Y2‥‥Yn＝i=1n∑Yi×2－ｉ②當(dāng)Y

0時，Y

0=1依補(bǔ)碼的定義：Y

＝【Y】補(bǔ)－2＝1．Y1Y2‥‥Yn－2

＝－1＋0．Y1Y2‥‥Yn

＝－1＋i=1n∑Yi×2－ｉ所以：Y＝（－Y0）＋i=1n∑Yi×2－ｉ第八頁，共二十八頁，2022年，8月28日[例]已知:[N]補(bǔ)＝1．1101,[－N]補(bǔ)＝10011,求[N]補(bǔ),[－N]補(bǔ)具有

的數(shù)值[N]補(bǔ)＝1．1101

具有的數(shù)值為：解：N＝－1×20＋1×2－1＋1×2－2＋0×2－3＋1×2－4[－N]補(bǔ)＝10011具有的數(shù)值為：－N＝－1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝(－13)10＝(－0.1875)10第九頁，共二十八頁，2022年，8月28日由補(bǔ)碼與真值轉(zhuǎn)換公式真值:

Y=（－Ｙ0＋)i=1n∑Yi×2－ｉ=-Y0*20+Y1*2-1

+Y2*2-2

+…+Yn*2-n=-Y0*20+(Y1*20-Y1*2-1)

+(Y2*2-1-Y2*2-2)

+…+=(Y1-Y0)*20+…+(Yn+1-Yn)*2-n+(Y2-Y1)*2-1在最后1位后再補(bǔ)1位(Yi+1-Yi)*2-ii=0n=第十頁，共二十八頁，2022年，8月28日

[例]

已知:[N]補(bǔ)＝0.1101,[－N]補(bǔ)＝1.0011,

求[N]補(bǔ),[－N]補(bǔ)具有的數(shù)值。[解:]

[N]補(bǔ)＝0.1101具有的數(shù)值為：

N＝(1－0)×2-0＋(1-1)×2-1＋(0-1)×2-2＋(1-0)×2-3＋(0-1)×2-4

＝13/16[－N]補(bǔ)＝1.0011具有的數(shù)值為

N＝(0－1)×2-0＋(0-0)×2-1＋(1-0)×2-2＋(1-1)×2-3＋(0-1)×2-4

＝－13/16第十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日補(bǔ)碼乘法公式：[X·Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)·[Y]補(bǔ)=

[X]補(bǔ)·Y證明過程：略由補(bǔ)碼乘法公式及補(bǔ)碼與真值的關(guān)系得：[X·Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)?Y=

[X]補(bǔ)【(Y1－Y0)20＋(Y2-Y1)2-1

＋‥(Yn+1－Yn)2-n】(Yi+1-Yi)*2-ii=0n?=[X]補(bǔ)?上式中Yn+1－Yn只有4中情況：0－0＝00－1＝－11－0＝11－1＝0下面通過例子來熟悉補(bǔ)碼一位乘法的操作過程：+0+[-X]補(bǔ)+[X]補(bǔ)+0第十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日[例]已知:X＝－0﹒101，Y＝－0﹒110，用補(bǔ)碼一位乘法求（X?Y）補(bǔ)

解：用補(bǔ)碼實現(xiàn)X?Y過程為：①

[X]補(bǔ)＝1﹒011

[Y]補(bǔ)＝1﹒010②[Y]補(bǔ)＝1﹒0100③則用補(bǔ)碼一位乘法的過程為：0﹒0

0

0

＋00﹒0

0

0

———————————0﹒0

0

0

＋[－X]補(bǔ)0﹒1

0

1

————————————0﹒1

0

1

0

0﹒0

0

0

0

0﹒0

1

0

1

0[X]補(bǔ)—————————————1﹒0

1

1

1﹒1

0

1

1

01﹒11

0

1

1

0[－X]補(bǔ)＝0﹒101

＋[－X]補(bǔ)0﹒1

0

1—————————————————0﹒01

1

11

0[X?Y]補(bǔ)＝0.011110所以：第十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日實現(xiàn)補(bǔ)碼一位乘法的乘法器的邏輯框圖如圖所示

補(bǔ)碼兩位乘法：是把補(bǔ)碼的一位乘法的兩個單步操作和并成一個操作。即：【（Zi+2）補(bǔ)】=2-2｛【Zi補(bǔ)】+(Yn+1+Yn－2Yn－1)】·【X】補(bǔ)｝第十四頁，共二十八頁，2022年，8月28日3陣列乘法器.不帶符號的陣列乘法器例：4×4位不帶符號的陣列乘法器邏輯圖：第十五頁，共二十八頁，2022年，8月28日

定點除法運(yùn)算及其實現(xiàn)

除法運(yùn)算可采用：①原碼進(jìn)行，又有恢復(fù)余數(shù)法和不恢復(fù)余數(shù)法

②補(bǔ)碼進(jìn)行，采用加減交替法

③陣列除法器

1.原碼除法運(yùn)算：是指用原碼表示兩數(shù)相除，求出原碼表示的商⑴運(yùn)算規(guī)則：設(shè)有n位定點小數(shù)(定點整數(shù)也同樣適用)：

被除數(shù)ｘ：[ｘ]原＝ｘf.ｘn－1…ｘ1ｘ0除數(shù)ｙ：[ｙ]原＝ｙf.ｙn－1…ｙ1ｙ0

則有商q其原碼為：

[q]原＝(ｘf⊕ｙf)+(0.ｘn－1…ｘ1ｘ0/0.ｙn－1…ｙ1ｙ0)

原碼除法中據(jù)對余數(shù)的處理不同，又可分為：恢復(fù)余數(shù)法和加減交替法第十六頁，共二十八頁，2022年，8月28日例：X=0.1001，Y=－0.1101，手算X/Y的過程為：恢復(fù)余數(shù)法的計算過程和手算相似：原碼恢復(fù)余數(shù)法解：符號位為：1數(shù)碼的手算過程為：最后：余數(shù)：R＝＋0.00012－4商：Q＝－0.1011第十七頁，共二十八頁，2022年，8月28日(1)每次都是由心算來比較余數(shù)和除數(shù)的大小，余數(shù)大時，商1；余數(shù)小時，商0。第一次比較時，余數(shù)就是被除數(shù)。(2)每做一次減法，總是保持余數(shù)不動，而除數(shù)向右移一位。(3)最后據(jù)符號位運(yùn)算的結(jié)果給商以正確的符號對上述手算計算過程分析得：為適應(yīng)機(jī)器運(yùn)算，需要進(jìn)行改進(jìn)：（1）

用減法來比較余數(shù)和除數(shù)的大?。?）

除數(shù)右移改為余數(shù)左移。

(3)定點除法運(yùn)算必須要求被除數(shù)的高n位小于除數(shù)，否則益處下面就通過例子講一下原碼恢復(fù)余數(shù)法的在計算機(jī)的操作過程：第十八頁，共二十八頁，2022年，8月28日例：X=0.1001，Y=－0.1101，用原碼恢復(fù)余數(shù)法求X/Y＝？解：0.1001/0.1101用原碼恢復(fù)余數(shù)的過程為：[ｘ/y]原＝0⊕1＝1(ｘf⊕ｙf)+|x|/|y|

符號：QS＝[|x|]補(bǔ)[|Y|]補(bǔ)[－|Y|]補(bǔ)＝＝0.1001＝0.11011.0011第十九頁，共二十八頁，2022年，8月28日余數(shù)>0商1即q3=1所以0.1001/0.1101用原碼恢復(fù)余數(shù)的過程為：0.1001

－︱y︱+[－|y|]補(bǔ)1.0011

——————————1.1100

余數(shù)<0商０即q0=0＋︱y︱

0.1101

——————————0.1001左移1位1.0010

－︱Y︱

1.0011+[－|y|]補(bǔ)——————————0.0101余數(shù)>0商1即q1=1左移1位0.1010-|Y|

+[－|y|]補(bǔ)1.0011——————————1.1101余數(shù)<0

商0即q2=0＋︱y︱

0.1101———————————0.1010左移1位1.0100－

︱y︱

+[－|y|]補(bǔ)1.0011

——————————0.0111

左移1位0.1110

+[－|y|]補(bǔ)1.0011———————————0.0001余數(shù)>0商1即q4=1所以：商：Q＝－0.1011,余數(shù)：R＝＋0.00012－4第二十頁，共二十八頁，2022年，8月28日用原碼恢復(fù)余數(shù)法：求|X|

/|Y|的解題步驟：

y*=︱Y︱先將被除數(shù)/余數(shù)減去除數(shù)得新余數(shù)Ri

若Ri＞0：商“1”，再將Ri左移一位后減除數(shù)(即2Ri－y*)，得新余數(shù)Ri′

若Ri<0：商“0”,先將Ri＋y*，即完成恢復(fù)余數(shù)的運(yùn)算，再對Ri＋y*左移一位后減除數(shù)，即2(Ri＋y*)-y*

，得新的余數(shù)Ri′

再將上述過程重復(fù)n（除數(shù)位數(shù)）次，共上n位商

最后所得的商和余數(shù)即為|X|

/|Y|

的商及余數(shù)｝原碼恢復(fù)余數(shù)法算法：X－Y=R↗≥0↘商１2R－Y=R≤0商02(R+Y)－Y=R↓→＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿↑分析原碼恢復(fù)余數(shù)法得知：①當(dāng)余數(shù)Ri＞0時，商“1”，再對Ri左移一位后減除數(shù)，即2Ri－y*②當(dāng)余數(shù)Ri＜0時，商“0”，先將Ri+y*，再2(Ri+y*)-y*，也即2Ri+y*。原碼恢復(fù)余數(shù)法可歸納為：①當(dāng)余數(shù)Ri＞0時,商“1”，做2Ri－y*運(yùn)算②當(dāng)余數(shù)Ri＜0時，商“0”，做2(Ri+y*)-y*運(yùn)算第二十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日用原碼加減交替法：求|X|

/|Y|的解題步驟：

先將余數(shù)減去除數(shù)得新余數(shù)Ri

若Ri＞0：商“1”，做2Ri－y*運(yùn)算

若Ri<0：商“0”,做2Ri+y*運(yùn)算

再將上述過程重復(fù)n（除數(shù)位數(shù)）次，共上n位商

最后所得的商和余數(shù)即為|X|

/|Y|

的商及余數(shù)原碼不恢復(fù)余數(shù)法（加減交替法）原碼不恢復(fù)余數(shù)法算法：X－Y=R↗≥0↘商１2R－Y=R≤0商02R+Y=R｝→＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿↑↓原碼加減法可歸納為：①當(dāng)余數(shù)Ri＞0時,商“1”，做2Ri－y*運(yùn)算②當(dāng)余數(shù)Ri＜0時，商“0”，做2Ri+y*運(yùn)算第二十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日例：

已知:X＝－0﹒101，Y＝0﹒110求：【x/y】原＝？用不恢復(fù)余數(shù)法解。

[X/Y]原＝１⊕0+(0﹒101)÷(0﹒110)[X]原＝1﹒101[Y]原＝0﹒110[-︱Y︱]補(bǔ)＝1﹒０10

則（0﹒101）÷(0﹒110)的原碼不恢復(fù)余數(shù)法的過程為：０﹒1０1

－︱Y︱1﹒0

1

0

—————————————1﹒1

1

1

余數(shù)<0商０即q0=0＋︱Y︱

0﹒1

1

0

———————————————0﹒1０0

1﹒０00

———————————————

－︱Y︱

1﹒0

10

0﹒0

10

余數(shù)>0商1即q1=10﹒1

00

－︱Y︱

1﹒0

10

———————————————1﹒1

10余數(shù)>0

商1即q2=11﹒1

00＋︱Y︱

0﹒1

10

———————————————0﹒0

10余數(shù)<0商0即q3=0

〔

x/y〕原＝１．１１０余數(shù)為：0.010×2-3

１﹒1

1０解：第二十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日例：已知:x＝0.1011,y＝0.1101,求【x/y】原＝？用恢復(fù)余數(shù)及加減交替法解。解：|x|

＝0﹒1011|y|＝0﹒1101(1)恢復(fù)余數(shù)法解0﹒1011/0﹒1101的過程為：【x/y】原＝0⊕0+|x|/|y|[－|y|]補(bǔ)＝1﹒0011

故【x/y】原=0.1101余數(shù)為：0.0111×2-４第二十四頁，共二十八頁，2022年，8月28日故：[x/y]原=0.1101余數(shù)為：0.0111×2-４@@@@@

(2)不恢復(fù)余數(shù)法解0﹒1011/0﹒1101的過程為：第二十五頁，共二十八頁，2022年，8月28日⑴補(bǔ)碼除法：指“符號位和數(shù)碼位一起參加除法運(yùn)算，參加運(yùn)算的操作數(shù)是補(bǔ)碼，求得的商數(shù)和余數(shù)也是補(bǔ)碼。⑵補(bǔ)碼除法運(yùn)算方法：采用加減交替法。⑶補(bǔ)碼除法加減交替法的操作過程：

2.補(bǔ)碼除法運(yùn)算③

重復(fù)第②步ｎ－１次④第ｎ次上商后，不再移位及＋Ｙ，－Ｙ操作。⑤若商為負(fù)數(shù)，則在商末尾加１

若余數(shù)與被除數(shù)Ｘ異號，則要糾余：若Ｘ，Ｙ同號，用＋Ｙ糾余，若Ｘ，Ｙ異號，用－Ｙ糾余，