第五章相似矩陣及二次型

§5.1向量的內(nèi)積、長度及正交性本章主要討論方陣的特征值與特征向量、方陣的相似對角化和二次型的化簡問題其中涉及向量的內(nèi)積、長度及正交等知識本節(jié)先介紹這些知識

上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁向量的內(nèi)積設(shè)有n維向量x(x1

x2

xn)T

y(y1

y2

yn)T

令[x

y]x1y1x2y2

xnyn[x

y]稱為向量x與y的內(nèi)積

說明內(nèi)積是兩個向量之間的一種運(yùn)算其結(jié)果是一個實數(shù)用矩陣記號表示當(dāng)x與y都是列向量時有[x

y]xTy下頁向量的內(nèi)積設(shè)有n維向量x(x1

x2

xn)T

y(y1

y2

yn)T

令[x

y]x1y1x2y2

xnyn[x

y]稱為向量x與y的內(nèi)積

內(nèi)積的性質(zhì)設(shè)x

y

z為n維向量

為實數(shù)則(1)[x

y][y

x]

(2)[x

y][x

y]

(3)[xy

z][x

z][y

z]

(4)當(dāng)x0時[x

x]0

當(dāng)x0時[x

x]0

(5)[x

y]2[x

x][y

y]——施瓦茨不等式

下頁向量的長度

令||x||稱為n維向量x的長度(或范數(shù))

向量的長度的性質(zhì)設(shè)x

y為n維向量

為實數(shù)則(1)非負(fù)性當(dāng)x0時||x||0

當(dāng)x0時||x||0

(2)齊次性||x||||x||

(3)三角不等式||xy||||x||||y||

>>>

下頁向量間的夾角稱為n維向量x與y的夾角

當(dāng)x0

y0時

當(dāng)[x

y]0時稱向量x與y正交顯然若x0則x與任何向量都正交

定理1

若n維向量a1

a2

ar是一組兩兩正交的非零向量

則a1

a2

ar線性無關(guān)

>>>

下頁

例1已知3維向量空間R3中兩個向量a1(111)T

a2(1

21)T正交試求一個非零向量a3使a1

a2

a3兩兩正交

解

設(shè)a3(x1

x2

x3)T則a3應(yīng)滿足a1Ta30

a2Ta30即a3應(yīng)滿足齊次線性方程組取a3(101)T即合所求得基礎(chǔ)解系(101)T下頁注

當(dāng)||x||1時稱x為單位向量

規(guī)范正交基

設(shè)n維向量e1

e2

er是向量空間V(VRn)的一個基如果e1

e2

er兩兩正交且都是單位向量則稱e1

e2

er是V的一個規(guī)范正交基

例如向量組是R4的一個規(guī)范正交基

下頁規(guī)范正交基

設(shè)n維向量e1

e2

er是向量空間V(VRn)的一個基如果e1

e2

er兩兩正交且都是單位向量則稱e1

e2

er是V的一個規(guī)范正交基

向量在規(guī)范正交基中的坐標(biāo)若e1

e2

er是V的一個規(guī)范正交基那么V中任一向量a應(yīng)能由e1

e2

er線性表示并且a[a

e1]e1[a

e2]e2

[a

er]er

事實上設(shè)a1e12e2

rer

則eiTaieiTeii即ieiTa

[a

ei]

下頁說明

要找一組兩兩正交的單位向量e1

e2

er使e1

e2

er與a1

a2

ar等價這樣一個問題稱為把a(bǔ)1

a2

ar這個基規(guī)范正交化

施密特正交化方法設(shè)a1

a2

ar是向量空間V中的一個基取向量組下頁施密特正交化方法設(shè)a1

a2

ar是向量空間V中的一個基取向量組容易驗證b1

b2

br兩兩正交且b1

b2

br與a1

a2

ar等價

把b1

b2

br單位化即得V的一個規(guī)范正交基下頁

例2設(shè)a1(12

1)T

a2(131)T

a3(4

10)T試用施密特正交化過程把這組向量規(guī)范正交化

解

令b1a1再令e1

e2

e3即為所求

下頁

例3已知a1(111)T求一組非零向量a2

a3使a1

a2

a3兩兩正交

a2

a3應(yīng)滿足方程a1Tx0即x1x2x30

它的基礎(chǔ)解系為1(10

1)T

2(01

1)T把基礎(chǔ)解系正交化即得所求亦即取

解

下頁正交陣如果n階矩陣A滿足ATAE(即A1AT)

那么稱A為正交矩陣簡稱正交陣

方陣A為正交陣的充分必要條件是A的列(行)向量都是單位向量且兩兩正交

n階正交陣A的n個列(行)向量構(gòu)成向量空間Rn的一個規(guī)范正交基

正交矩陣舉例

下頁正交陣如果n階矩陣A滿足ATAE(即A1AT)

那么稱A為正交矩陣簡稱正交陣

正交矩陣的性質(zhì)(1)若A為正交陣則A1AT也是正交陣且|A|1

(2)若A和B都是正交陣則AB也正交陣

正交變換若P為正交矩陣則線性變換yPx稱為正交變換

設(shè)yPx為正交變換則有這說明經(jīng)正交變換線段的長度保持不變(從而三角形的形狀保持不變)這是正交變換的優(yōu)良特性

結(jié)束§5.2方陣的特征值與特征向量上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁工程技術(shù)中的一些問題如振動問題和穩(wěn)定性問題?？蓺w結(jié)為求一個方陣的特征值和特征向量的問題數(shù)學(xué)中諸如方陣的對角化及解微分方程組的問題也都要用到特征值的理論

提示

特征值與特征向量設(shè)A是n階矩陣如果數(shù)和n維非零向量x使關(guān)系式Axx成立那么這樣的數(shù)稱為方陣A的特征值非零向量x稱為A

的對應(yīng)于特征值的特征向量

Axx(AE)x0齊次方程(AE)x0有非零解|AE|0特征多項式與特征方程設(shè)A為n階方陣則稱的n次多項式f()|AE|為方陣A的特征多項式稱|AE|0為方陣A的特征方程

下頁提示

特征值與特征向量設(shè)A是n階矩陣如果數(shù)和n維非零向量x使關(guān)系式Axx成立那么這樣的數(shù)稱為方陣A的特征值非零向量x稱為A

的對應(yīng)于特征值的特征向量

特征方程|AE|0的根就是矩陣A的特征值齊次方程(AE)x0的非零解x就是A的對應(yīng)于特征值的特征向量特征多項式與特征方程設(shè)A為n階方陣則稱的n次多項式f()|AE|為方陣A的特征多項式稱|AE|0為方陣A的特征方程

下頁特征值與特征向量設(shè)A是n階矩陣如果數(shù)和n維非零向量x使關(guān)系式Axx成立那么這樣的數(shù)稱為方陣A的特征值非零向量x稱為A

的對應(yīng)于特征值的特征向量

特征多項式與特征方程設(shè)A為n階方陣則稱的n次多項式f()|AE|為方陣A的特征多項式稱|AE|0為方陣A的特征方程

特征值的性質(zhì)設(shè)n階矩陣A(aij)的特征值為1

2

n

則(1)12

na11a22

ann

(2)12

n|A|

下頁得基礎(chǔ)解系(11)T

得基礎(chǔ)解系(11)T

方程|AE|0的根就是矩陣A的特征值

方程(AE)x0的非零解就是A的對應(yīng)于特征值的特征向量

例1求矩陣的特征值和特征向量

解A的特征多項式為所以A的特征值為12

24

對于特征值12解方程(A2E)x0p1(11)T是矩陣A的對應(yīng)于特征值12的特征向量對于特征值24解方程(A4E)x0p2(11)T是矩陣A的對應(yīng)于特征值24的特征向量>>>>>>下頁

例2求矩陣的特征值和特征向量

解A的特征多項式為所以A的特征值為12

231

得基礎(chǔ)解系p2(121)T

得基礎(chǔ)解系p1(001)T

對于12解方程(A2E)x0所以kp1(k0)是對應(yīng)于12的全部特征向量對于231解方程(AE)x0所以kp2(k0)是對應(yīng)于231的全部特征向量>>>>>>下頁

例3求矩陣的特征值和特征向量

解A的特征多項式為所以A的特征值為11

232

得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系p1(101)T

對于11解方程(AE)x0所以對應(yīng)于11的全部特征向量為kp1(k0)對于232解方程(A2E)x0所以對應(yīng)于232的全部特征向量為k2p2k3p3(k2k30)>>>>>>p2(01

1)T

p3(104)T

下頁

例4設(shè)是方陣A的特征值證明(1)2是A2的特征值

證明

因為是A的特征值故有p0使App于是(1)A2p2p(Ap)A(p)A(Ap)所以2是A2的特征值

因為p0知0有pA1p由App(2)當(dāng)A可逆時按此例類推不難證明若是A的特征值則k是Ak的特征值

()是(A)的特征值(其中()a0a1

ann是的多項式

(A)a0Ea1A

anAn是矩陣A的多項式)

下頁

例5設(shè)3階矩陣A的特征值為1

12求|A*3A2E|

因為A的特征值全不為0知A可逆故A*|A|A1

而|A|1232所以

解2A13A2E

A*3A2E把上式記作(A)故(A)的特征值為有()2132(1)1

(1)3

(2)3

9(1)(3)3于是|A*3A2E|若是A的特征值則k是Ak的特征值

()是(A)的特征值(其中()是的多項式

(A)是矩陣A的多項式)

下頁定理2

設(shè)1

2

m是方陣A的m個不同特征值

p1

p2

pm依次是與之對應(yīng)的特征向量則p1

p2

pm線性無關(guān)

Ak(x1p1x2p2

xmpm)0(k12

m1)即1kx1p12kx2p2

mkxmpm0(k12

m1)

證明

把上列各式合寫成矩陣形式得設(shè)有常數(shù)x1

x2

xm使x1p1x2p2

xmpm0則下頁定理2

設(shè)1

2

m是方陣A的m個不同特征值

p1

p2

pm依次是與之對應(yīng)的特征向量則p1

p2

pm線性無關(guān)

證明

設(shè)有常數(shù)x1

x2

xm使x1p1x2p2

xmpm0則上式等號左端等二個矩陣的行列式為范德蒙行列式當(dāng)pi各不相等時該行列式不等于0從而該矩陣可逆所以向量組p1p2pm線性無關(guān)即xjpj0(j12m)但pi0故xj0(j12m)(x1p1

x2p2

xmpm)(0

0

0)于是有下頁§5.3相似矩陣相似矩陣與相似變換設(shè)A

B都是n階矩陣若有可逆矩陣P

使P1APB則稱B是A的相似矩陣或說矩陣A與B相似對A進(jìn)行運(yùn)算P1AP稱為對A進(jìn)行相似變換可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣

上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁定理3

若n階矩陣A與B相似則A與B的特征多項式相同從而A與B的特征值也相同

因此|BE||P1APE|

|P1APP1(E)P|

|P1(AE)P|

|P1||AE||P|

|AE|

即A與B有相同的特征多項式

證明

因為A與B相似所以有可逆矩陣P使P1APB下頁定理1

若n階矩陣A與B相似則A與B的特征多項式相同從而A與B的特征值也相同

推論若n階矩陣A與對角矩陣diag(1

2

n)相似則1

2

n即是A的n個特征值

因為1

2

n是的n個特征值由定理1知1

2

n也是A的n個特征值

證明

下頁相似矩陣的作用若APBP1

則AkPBkP1

A的多項式(A)P(B)P1

特別或有可逆矩陣P使P1AP為對角陣則AkPkP1

(A)P()P1其中kdiag(1k

2k

nk)()diag((1)

(2)

(n))

定理1

若n階矩陣A與B相似則A與B的特征多項式相同從而A與B的特征值也相同

推論若n階矩陣A與對角矩陣diag(1

2

n)相似則1

2

n即是A的n個特征值

下頁矩陣的對角化一個n階矩陣A能否對角化？如何尋求相似變換矩陣P

使P1AP為對角陣？設(shè)P1AP其中P(p1

p2

pn)

diag(12n)則APP即A(p1

p2

pn)(p1

p2

pn)diag(12n)(1p1

2p2

npn)

于是有Apiipi(i12

n)

可見i是A的特征值而P的列向量pi就是A的對應(yīng)于特征值i的特征向量

反之由上節(jié)知A恰好有n個特征值并可對應(yīng)地求得n個特向量這n個特征向量即可構(gòu)成矩陣P使APP

下頁定理4

n階矩陣A與對角陣相似(即A能對角化)的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量

推論如果n階矩陣A的n個特征值互不相等則A與對角陣相似

矩陣的對角化一個n階矩陣A能否對角化？如何尋求相似變換矩陣P

使P1AP為對角陣？下頁

例1設(shè)問x為何值時矩陣A能對角化？

解

得11

231

矩陣A可對角化的充分必要條件是對應(yīng)重根231有2個線性無關(guān)的特征向量即方程(AE)x0有2個線性無關(guān)的解亦即系數(shù)矩陣AE的秩R(AE)1

所以當(dāng)x1時

R(AE)1此時矩陣A能對角化

因為結(jié)束

例6設(shè)1和2是矩陣A的兩個不同的特征值對應(yīng)的特征向量依次為p1和p2證明p1p2不是A的特征向量

用反證法假設(shè)p1p2是A的特征向量則應(yīng)存在數(shù)使A(p1p2)(p1p2)于是

證明

按題設(shè)有Ap11p1

Ap22p2故A(p1p2)1p12p2即(1)p1(2)p20(p1p2)1p12p2因此p1p2不是A的特征向量與題設(shè)矛盾即12

120故由上式得按定理2知p1

p2線性無關(guān)因為12結(jié)束§5.4對稱矩陣的對角化一個n階方陣可以對角化的充分必要條件是具有n個線性無關(guān)的特征向量而并非所有n階方陣都能對角化但實對稱矩陣都是可以對角化的

上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁定理1

對稱陣的特征值為實數(shù)

設(shè)復(fù)數(shù)為對稱陣A的特征值復(fù)向量x為對應(yīng)的特征向量即Axx

x0

證明

顯然有于是有兩式相減得但因x0所以下頁定理1

對稱陣的特征值為實數(shù)

顯然當(dāng)特征值i為實數(shù)時齊次線性方程組(AiE)x0是實系數(shù)方程組由|AiE|0知必有實的基礎(chǔ)解系所以對應(yīng)的特征向量可以取實向量

下頁定理1

對稱陣的特征值為實數(shù)

定理2設(shè)1

2是對稱陣A的兩個特征值

p1

p2是對應(yīng)的特征向量若12是則p1與p2正交

證明

已知Ap11p1

Ap22p2

12

因為A對稱故p1TAp1TAT(Ap1)T(1p1)T

1p1T于是1p1Tp2p1TAp2p1T(2p2)2p1Tp2

即(12)p1Tp20但12即p1與p2正交故p1Tp20下頁定理1

對稱陣的特征值為實數(shù)

定理2設(shè)1

2是對稱陣A的兩個特征值

p1

p2是對應(yīng)的特征向量若12是則p1與p2正交

定理3

設(shè)A為n階對稱陣則必有正交陣P

使P1APPTAP

其中是以A的n個特征值為對角元的對角矩陣

推論設(shè)A為n階對稱陣

是A的特征方程的k重根則矩陣AE的秩R(AE)nk

從而對應(yīng)特征值恰有k個線性無關(guān)的特征向量

>>>

下頁矩陣對角化的步驟

(1)求出A的全部互不相等的特征值1

2

s

它們的重數(shù)依次為k1

k2

ks(k1k2

ksn)

(2)對每個ki重特征值i

求方程(AE)x0的基礎(chǔ)解系得ki個線性無關(guān)的特征向量再把它們正交化、單位化得ki個兩兩正交的單位特征向量因k1k2

ksn

故總共可得n個兩兩正交的單位特征向量

(3)把這n個兩兩正交的單位特征向量構(gòu)成正交陣P

便有P1APPTAP

注意中對角元的排列次序應(yīng)與P中列向量的排列次序相對應(yīng)

下頁

例1設(shè)求正交陣P使P1AP為對角陣

解

由|AE|(1)2(2)將1單位化得2(110)T

3(101)T將2

3正交化、單位化得得特征值12

231

得基礎(chǔ)解系1(1

11)T對應(yīng)12解方程(A2E)x0對應(yīng)231解方程(AE)x0得基礎(chǔ)解系并且P1APdiag(211)

于是P(p1

p2

p3)為正交陣下頁提示

例2設(shè)求An

因為A對稱故A可對角化即有可逆向量P及對角陣

解

從而AnPnP1

于是APP1使P1AP因為|AE|(1)(3)對應(yīng)11解方程(AE)x0對應(yīng)13解方程(A3E)x0于是有可逆矩陣P(p1

p2)及diag(13)使P1AP從而或APP1AnPnP1

所以A的特征值為11

23

得p1(11)T

得p2(1

1)T下頁提示

例2設(shè)求An

解

因為|AE|(1)(3)對應(yīng)11解方程(AE)x0對應(yīng)13解方程(A3E)x0P1AP從而或APP1AnPnP1

所以A的特征值為11

23

得p1(11)T

得p2(1

1)T于是有可逆矩陣P(p1

p2)及diag(13)使結(jié)束§5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形在解析幾何中為了便于研究二次曲線ax2bxycy21的幾何性質(zhì)我們可以選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)旋轉(zhuǎn)變換把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形mx2ny21化標(biāo)準(zhǔn)形的過程就是通過變量的線性變換化簡一個二次齊次多項式使它只含有平方項

上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁二次型含有n個變量x1

x2

xn的二次齊次函數(shù)

f(x1

x2

xn)a11x12a22x22

annxn2

2a12x1x22a13x1x3

2an1

nxn1xn

稱為二次型

令aijaji則>>>

因此二次型可記作fxTAx其中A是一個對稱矩陣

二次型與對稱矩陣之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系

對稱矩陣A叫做二次型f的矩陣

f也叫做對稱矩陣A的二次型對稱矩陣的秩就叫做二次型f的秩

下頁注

二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形xCy

如果二次型的標(biāo)準(zhǔn)形形如fy12y22

yp2yp12

yn2

則這種標(biāo)準(zhǔn)形稱為二次型的規(guī)范形

這種只含平方項的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形(或法式)

對于二次型我們討論的主要問題是尋求可逆的線性變換xCy使二次型只含平方項fk1y12k2y22

knyn2

下頁二次型fxTAx在線性變換xCy下有若有可逆矩陣C使BCTAC則稱矩陣A與B合同

合同矩陣yT(CTAC)y(Cy)TA(Cy)fxTAx提示顯然若A為對稱陣則BCTAC也為對稱陣且R(B)R(A)事實上

BT(CTAC)TCTATCCTACB即B為對稱陣又因為BCTAC而C可逆從而CT也可逆由矩陣秩的性質(zhì)即知R(B)R(A)

由此可知經(jīng)可逆變換xCy后二次型f的矩陣由A變?yōu)榕cA合同的矩陣CTAC且二次型的秩不變

下頁分析要使二次型f經(jīng)可逆變換xCy變成標(biāo)準(zhǔn)形這就是要使

yT(CTAC)yk1y12k2y22

knyn2也就是要使CTAC成為對角陣因此我們的主要問題就是對于對稱陣A尋求可逆矩陣C使CTAC為對角陣

根據(jù)上節(jié)的知識任給對稱陣A總有正交陣P使P1AP即PTAP下頁定理1任給二次型fxTAx

總有正交變換xPy

使f化為標(biāo)準(zhǔn)形fk1y12k2y22

knyn2其中1

2

n是f的矩陣A的特征值

推論任給n元二次型fxTAx

總有可逆變換xCz

使f(Cy)為規(guī)范形

>>>

下頁

例1求一個正交變換xPy把二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形其中f(x1

x2

x3

x4)2x1x22x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4二次型的矩陣為

解提示

矩陣A的特征多項式為(3)(1)3

矩陣A的特征值為13

2341

下頁

例1求一個正交變換xPy把二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形其中f(x1

x2

x3

x4)2x1x22x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4二次型的矩陣為

解提示

矩陣A的特征值為13

2341

對于13解方程(A3E)x0單位化即得得基礎(chǔ)解系1(1

1

11)T

下頁

例1求一個正交變換xPy把二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形其中f(x1

x2

x3

x4)2x1x22x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4二次型的矩陣為矩陣A的特征值為13

2341

矩陣A的對應(yīng)于13的單位化特征向量為對于2,3,41解方程(AE)x02(1100)T

3(0011)T

4(1

11

1)T

單位化即得

解得正交的基礎(chǔ)解系>>>

下頁

例1求一個正交變換xPy把二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形其中f(x1

x2

x3

x4)2x1x22x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4二次型的矩陣為矩陣A的特征值為13

2341

矩陣A的對應(yīng)于13的單位化特征向量為矩陣A的對應(yīng)于2341的正交的單位化的特征向量為令P(p1

p2

p3

p4)則有正交變換xPy使

f(Py)yTPTAPy3y12y22y32y42

解>>>

結(jié)束§5.6用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形用正交變換化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形具有保持幾何形狀不變的優(yōu)點如果不限于用正交變換那么還可以有多種方法(對應(yīng)有多個可逆的線性變換)把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形本節(jié)只介紹拉格朗日配方法上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁提示

例1化二次型f為標(biāo)準(zhǔn)形并求所用的變換矩陣其中fx122x225x322x1x22x1x36x2x3配方可得

fx122x1x22x1x32x225x326x2x3

解

(x1x2x3)2(x22x3)2

(x1x2x3)2(x1x2x3)2x224x2x34x32x22x322x2x3由于f中含變換x1的平方項故把含x1的項歸并起來2x225x326x2x3下頁

例1化二次型f為標(biāo)準(zhǔn)形并求所用的變換矩陣其中fx122x225x322x1x22x1x36x2x3配方可得

fx122x1x22x1x32x225x326x2x3

解

就把f化成標(biāo)準(zhǔn)形(規(guī)范形)fy12y22(x1x2x3)2(x22x3)2

所用變換矩陣為下頁>>>>>>提示

例2化二次型f為規(guī)范形并求所用的變換矩陣其中f2x1x22x1x36x2x3在f中不含平方項而在標(biāo)準(zhǔn)形中只含平方項

令x1y1y2

x2y