第五章晶體中的電子狀態(tài)5.3

能量算符和平移算符具有共同的本征函數(shù)平移算符彼此對易平移算符和能量算符對易周期勢場模型下的晶體中，電子波函數(shù)為：周期勢場中的電子的運動狀態(tài)：∴平移算符的本征值是波矢k的周期函數(shù):k=2π/a平移算符的本征值及其物理意義——原胞之間電子波函數(shù)位相的變化（2）平移算符本征值量子數(shù)簡約波矢，不同的簡約波矢，原胞之間的位相差不同（1）簡約波矢改變一個倒格子矢量平移算符的本征值（3）近似條件：周期勢場隨位置的變化很小，引起的電子勢能比動能小，這種情況下采取“準自由電子”近似法，用微擾來處理。5.3準自由電子近似法1.零級近似零級近似的波動方程：一.一維情形（非簡并態(tài)）零級近似微擾零級近似的解為恒定場V中的自由粒子的解，即本征函數(shù)和本征值：L=Na,N為原胞數(shù)k為本征值的量子數(shù)零級近似下的解為自由電子，故稱為近自由電子近似2微擾計算

根據(jù)微擾理論：本征值的一級修正：本征值的二級修正：波函數(shù)一級修正：’求解矩陣元因為V(x)晶格的周期性，所以對整個晶格的積分可以化為對每個原胞積分的和。第n個原胞：∵k和k’正交∴按元胞劃分對不同元胞n引入積分變數(shù)(1)對應周期場V（x）的傅立葉展開得到的第n個系數(shù)(2)一維倒格矢一級修正得到的電子函數(shù)表現(xiàn)出了具有類似于布洛赫函數(shù)的形式：由自由粒子的波函數(shù)乘上具有晶格周期性的函數(shù)考慮微擾后的波函數(shù)(k-k’=n2π/a)當x變化a的整數(shù)倍的時候，波函數(shù)的值不變考慮微擾后的能量（k-k’=n2π/a）：但是，當利用非簡并態(tài)的微擾理論得到的能量二級修正在nπ/a附近發(fā)散，此時應采用簡并微擾。由于修正項一般較小，所以色散關系接近拋物線形式對稱分布在布里淵區(qū)邊界總結(jié)上述，在非簡并情況下，利用一般微擾論得到，受擾動體系的能量和態(tài)矢量分別由下式給出：若要兩個表達式有意義，級數(shù)應該收斂，那么：說明：（1）|Vn|=|<k’|ΔV|k>|要小，即微擾矩陣元要?。唬?）|Ek–Ek’|要大，即能級間距要寬。3.簡并微擾計算（k=nπ/a

，

k’=-nπ/a

）將能量簡并的各狀態(tài)線性組合構(gòu)成成新波函數(shù)作為零級近似Ψ0，代入波動方程：滿足本征方程：其中取：Ｏ帶入波動方程討論：(設)離較遠(1)將能量按展開：Ｏ只考慮了在微擾中簡并態(tài)之間的的相互影響使原來能量較高的態(tài)能量提高，原來能量較低的態(tài)能量降低。但修正項較小，所以能量改變不明顯，能量曲線接近拋物線。(2)即接近時當時將按展開：（2）而不能取兩者之間的值。其能量不連續(xù)間隔為：當k＝nπ/a，能量曲線斷開，能級間發(fā)生排斥作用，產(chǎn)生突變，使準連續(xù)的能級分裂成一系列的帶，即能帶。4.布里淵區(qū)、能帶和能隙b.在準自由電子模型中，由于周期勢場的微擾作用，波函數(shù)具有布洛赫函數(shù)的形式，能量有所修正：a.在零級近似下電子被看成自由粒子，能量與波矢呈拋物線型

，而波函數(shù)則是平面波形式。當k不在nπ/a附近，能量修正較?。划攌在nπ/a附近，能量修正值較大；c.各能帶之間的間隔為“帶隙”或“能隙”或“禁帶”，能隙大小為2┃Vn┃，在能隙中不存在能級，每個帶大小為一個倒格子原胞長度即2π/a，包含等于晶體原胞數(shù)目N的量子態(tài)。d.每一個能量連續(xù)區(qū)域稱為布里淵區(qū)。當N很大的時候，k取值密集，可以看成能量準連續(xù)。帶3帶2擴展布里淵區(qū)帶1第一布里淵區(qū)帶1第二布里淵區(qū)第三布里淵區(qū)帶2帶3V(x)變化越劇烈，Vn越大，能隙越寬。簡單驗證：每一個能帶所占的k空間為一個布里淵區(qū)：每一個能帶中k取值可能數(shù)每一個能帶包含個量子態(tài)考慮自旋e.每個能帶包含2N個量子態(tài)的取值：相鄰k取值間隔：每一個能帶中的狀態(tài)數(shù)：N考慮電子波波矢的周期性，將各個布里淵區(qū)平移，合并到第一布里淵區(qū)，得到簡約布里淵區(qū)；將簡約布里淵區(qū)圖形按周期展開，得到周期布里淵區(qū)；帶3帶2帶1周期布里淵區(qū)簡約布里淵區(qū)擴展布里淵區(qū)二.三維情形1.零級近似其中：2.微擾計算其中(倒格矢)有能量跳躍：當或時，從原點出發(fā)與Gn的連線的垂直平分面方程o3.布里淵區(qū)和能帶交疊a.布里淵區(qū)——在空間，原點與所有倒格點連線的垂直平分面將空間分割成的各個區(qū)域；在布里淵區(qū)內(nèi)，能量準連續(xù)變化；每個布里淵區(qū)的大小為：空間的維數(shù)每個布里淵區(qū)(對應一個能帶)所包含電子態(tài)數(shù)：2N在布里淵區(qū)邊界處，能量發(fā)生突變；以二維作圖為例，畫出簡單立方的二維布里淵區(qū)分布大小第一布里淵區(qū)第二布里淵區(qū)大小每個布里淵區(qū)的體積相同原點和6個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的立方體簡單立方的第一布里淵區(qū)原點和12個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的正十二面體體心立方晶體的第一布里淵區(qū)原點和8個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的正八面體，沿立方軸的6個次近鄰格點連線的垂直平分面割去八面體的六個角，形成的14面體——八個面是正六邊形，六個面是正四邊形面心立方晶體的第一布里淵區(qū)簡立方面心立方體心立方一區(qū)二區(qū)三區(qū)b.能帶交疊：不同能帶在能量上不能完全分隔開，能帶間（主要是相鄰能帶）發(fā)生交疊現(xiàn)象。這是三維與一維的一個重要區(qū)別。說明：B是第二布里淵區(qū)能量最低點，與第一布里淵區(qū)邊界點A相鄰，但能量是斷開的，C是第一布里淵區(qū)能量最高點，且,此時發(fā)生能帶1與能帶2的交疊現(xiàn)象。帶2帶1EE沿OA方向BAkCk沿OC方向3.2質(zhì)量相同兩種原子形成一維雙原子鏈，最近鄰原子間的力常數(shù)交錯等于和，并且最近鄰的間距1)求出色散關系和分析計算處格波的2)大致畫出色散關系圖

綠色標記的原子位于2n-1，

2