第4章統(tǒng)計(jì)物理學(xué)基礎(chǔ)

研究與溫度有關(guān)的熱現(xiàn)象的科學(xué)。熱力學(xué)從宏觀的角度研究熱現(xiàn)象，建立宏觀量(溫度、壓強(qiáng)、體積)之間的關(guān)系。研究宏觀物體之間熱功轉(zhuǎn)換的關(guān)系和條件。統(tǒng)計(jì)物理學(xué)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法，闡明宏觀量(溫度、壓強(qiáng)等)的微觀本質(zhì)，討論氣體分子的速度、速率、能量滿足的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律。第二篇熱物理學(xué)4-1統(tǒng)計(jì)物理的基本概念一、物質(zhì)的微觀模型熱力學(xué)系統(tǒng)（熱力學(xué)研究的對象）：大量微觀粒子（分子、原子等）組成的宏觀體系。外界：熱力學(xué)系統(tǒng)以外的物體。O斥力引力(1)分子(或原子)非常小.109m~1010m(2)熱力學(xué)系統(tǒng)所包含的微觀粒子數(shù)非常巨大.NA~1023(3)分子之間存在相互作用力分子力。(4)分子或原子都以不同的速率不停地運(yùn)動(dòng)。微觀粒子體系的基本特征宏觀量(狀態(tài)參量):描寫熱力學(xué)系統(tǒng)宏觀狀態(tài)的參量。如壓強(qiáng)p、體積V、溫度T等。微觀量:描述系統(tǒng)內(nèi)個(gè)別微觀粒子特征和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。如分子的質(zhì)量、直徑、速度、動(dòng)量、能量等。微觀量與宏觀量有一定的內(nèi)在聯(lián)系。二、系統(tǒng)狀態(tài)的描寫在這過程中，各點(diǎn)密度、溫度等均不相同，這就是非平衡態(tài)。但隨著時(shí)間的推移，各處的密度、壓強(qiáng)等都達(dá)到了均勻，無外界影響，狀態(tài)保持不變，就是平衡態(tài)。設(shè)一容器，用隔板將其隔開，當(dāng)隔板右移時(shí)，分子向右邊擴(kuò)散平衡態(tài):在無外界的影響下，系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時(shí)間改變的穩(wěn)定狀態(tài)。假想把箱子分成兩相同體積的部分，達(dá)到平衡時(shí)，兩側(cè)粒子有的穿越界線，但兩側(cè)粒子數(shù)相同。例如：粒子數(shù)說明：平衡態(tài)是一種理想狀態(tài)處在平衡態(tài)的大量分子仍在作熱運(yùn)動(dòng)，而且因?yàn)榕鲎?，每個(gè)分子的速度經(jīng)常在變，但是系統(tǒng)的宏觀量不隨時(shí)間改變。平衡態(tài)是一種熱動(dòng)平衡狀態(tài)方程理想氣體物態(tài)方程(狀態(tài)方程)當(dāng)系統(tǒng)處于平衡態(tài)時(shí)，三個(gè)狀態(tài)參量存在一定的函數(shù)關(guān)系：m—?dú)怏w質(zhì)量M—?dú)怏w摩爾質(zhì)量8.31J/molR-普適氣體常量在溫度保持不變的過程中，理想氣體的壓強(qiáng)與體積之間的關(guān)系為雙曲線。Celsiusscale:TC(C)=T(K)273.15

Kelvinscale:T(K)=TC(C)

+273.15K95TF(F)

=

TC(C)

+32TemperatureisoneofthesevenSIbasequantities:

Fahrenheitscale

例1.

氧氣瓶的壓強(qiáng)降到106Pa就要重新充氣，以免混入其他氣體而需洗瓶。今有一瓶氧氣，容積為32L，壓強(qiáng)為1.3107Pa，若每天用105Pa的氧氣400L，問此瓶氧氣可供多少天使用？設(shè)使用時(shí)溫度不變。解:根據(jù)題意，可確定研究對象為原來氣體、用去氣體和剩余氣體，設(shè)這三部分氣體的狀態(tài)參量分別為使用時(shí)的溫度為T設(shè)可供x天使用原有每天用量剩余分別對它們列出狀態(tài)方程，有p2=105PaV2=400Lp3=106PaV3=V1=32Lp1=1.3107Pa三、分子熱運(yùn)動(dòng)的無序性和統(tǒng)計(jì)規(guī)律性什么是統(tǒng)計(jì)規(guī)律性(statisticalregularity)大量偶然性從整體上所體現(xiàn)出來的必然性。例.扔硬幣從入口投入小球與釘碰撞落入狹槽為清楚起見,從正面來觀察。(偶然)隔板鐵釘統(tǒng)計(jì)規(guī)律和方法

伽爾頓板

大量偶然事件整體所遵循的規(guī)律統(tǒng)計(jì)規(guī)律。再投入小球：經(jīng)一定段時(shí)間后,大量小球落入狹槽。分布情況:中間多，兩邊少。重復(fù)幾次，結(jié)果相似。單個(gè)小球運(yùn)動(dòng)是隨機(jī)的,大量小球運(yùn)動(dòng)分布是確定的。小球數(shù)按空間位置分布曲線統(tǒng)計(jì)規(guī)律和方法四、統(tǒng)計(jì)的基本概念(selftaught自學(xué))1.概率如果N次試驗(yàn)中出現(xiàn)A事件的次數(shù)為NA,當(dāng)N時(shí)，比值NA/N稱為出現(xiàn)A事件的概率。概率的性質(zhì):(1)概率取值域?yàn)榻y(tǒng)計(jì)規(guī)律特點(diǎn):(1)只對大量偶然的事件才有意義.(2)它是不同于個(gè)體規(guī)律的整體規(guī)律(量變到質(zhì)變).(3)大數(shù)量現(xiàn)象在一定宏觀條件下的穩(wěn)定性。(2)各種可能發(fā)生的事件的概率總和等于1.幾率歸一化條件(3)二互斥事件的概率等于分事件概率之和(4)二相容事件的概率等于分事件概率之積統(tǒng)計(jì)平均值設(shè)N個(gè)分子組成的系統(tǒng)，處于某一狀態(tài)。如果在這N個(gè)分子中，有N1個(gè)分子的物理量W取值為W1，N2個(gè)分子的取值為W2，…，則物理量W的算術(shù)平均值：

一般與N的依賴關(guān)系隨N增大而減弱。當(dāng)N增大到

與N無關(guān)時(shí)，就把

稱為物理量W在該狀態(tài)上的統(tǒng)計(jì)平均值。WWWN一般與N的依賴關(guān)系隨N增大而減弱。當(dāng)N增大到

與N無關(guān)時(shí)，就把

稱為物理量W在該狀態(tài)上的統(tǒng)計(jì)平均值。WWW在一定宏觀條件下，對系統(tǒng)某一物理量的某一次測量值并不一定等于它的統(tǒng)計(jì)平均值只有當(dāng)分子數(shù)N很大時(shí)，漲落相對統(tǒng)計(jì)平均值很小，才能用統(tǒng)計(jì)平均值代表宏觀測量值。直角坐標(biāo)系中，分子在三個(gè)坐標(biāo)軸上的速度分量平方的統(tǒng)計(jì)平均值：圍繞統(tǒng)計(jì)平均值的漲落因，則有:如果系統(tǒng)處于平衡態(tài)，分子向各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的概率相等：4-2

理想氣體的壓強(qiáng)溫度和內(nèi)能一、理想氣體的微觀模型和統(tǒng)計(jì)假設(shè)1.理想氣體微觀模型分子本身的大小比起它們之間的平均距離可忽略不計(jì)。1)2)除碰撞外，分子之間的作用可忽略不計(jì)。3)分子間的碰撞是完全彈性的。4)分子所受重力忽略不計(jì)。理想氣體的分子模型是彈性的自由運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)。2.統(tǒng)計(jì)假設(shè)①分子數(shù)密度處處相等；②分子沿各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的幾率均等。即分子速度在各個(gè)方向上的分量的各種平均值相等。二．理想氣體的壓強(qiáng)公式一定質(zhì)量的處于平衡態(tài)的某種理想氣體。(V,N,m)平衡態(tài)下器壁各處壓強(qiáng)相同，選A1面,求其所受壓強(qiáng)。i分子動(dòng)量增量i分子對器壁的沖量i分子相繼與A1面碰撞的時(shí)間間隔單位時(shí)間內(nèi)i分子對A1面的碰撞次數(shù)單位時(shí)間內(nèi)i分子對A1面的沖量i分子對A1面的平均沖力所有分子對A1面的平均作用力壓強(qiáng)i分子對A1面的平均沖力——分子的平均平動(dòng)動(dòng)能平衡態(tài)下該公式表明平衡態(tài)下理想氣體的壓強(qiáng)(宏觀量)與分子的平均平動(dòng)動(dòng)能(微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值)的關(guān)系壓強(qiáng)正比于單位體積內(nèi)的分子數(shù)及分子的平均平動(dòng)動(dòng)能.該關(guān)系式給出了宏觀量(p)與微觀量(分子速率)的統(tǒng)計(jì)平均值之間的關(guān)系.即揭示了宏觀量的微觀本質(zhì).可以通過增加容器內(nèi)單位體積里的分子數(shù)(Youdothiswhenyouaddairtoatire)或增加分子的平均平動(dòng)動(dòng)能使得容器內(nèi)的壓強(qiáng)增加.Thepressureinthetirecanalsobeincreasedbyincreasingtheaveragetranslationalkineticenergyofmoleculesinthetire.討論三、分子的平均平動(dòng)動(dòng)能與溫度的關(guān)系溫度是氣體分子平均平動(dòng)動(dòng)能大小的量度玻耳茲曼常數(shù)氣體分子的方均根速率(root-mean-squarespeed)大量分子速率的平方平均值的平方根氣體分子的方均根速率vrms與氣體的熱力學(xué)溫度的平方根成正比，與氣體的摩爾質(zhì)量的平方根成反比。例2.(1)在一個(gè)具有活塞的容器中盛有一定的氣體。如果壓縮氣體并對它加熱，使它的溫度從27oC升到177oC，體積減少一半，求氣體壓強(qiáng)變化多少？(2)這時(shí)氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能變化多少？解：計(jì)算溫度300K的氮?dú)夥肿拥钠骄絼?dòng)動(dòng)能及方均根速率.(氮分子質(zhì)量m=4.651026kg)解:思考：由以上計(jì)算可知，室溫下氮?dú)夥肿拥姆骄俾蕿?17m/s，但聲音在該氣體中的傳播速率卻為350m/s.為什么?課堂練習(xí)1.自由度:確定一個(gè)物體的空間位置所需要的以剛性分子為例:四、能量按自由度均分定理HeOOO2HHHHCCH4獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目或物體可能具有的獨(dú)立運(yùn)動(dòng)模式數(shù)目.單原子分子雙原子分子多原子分子自由度i=3平動(dòng)自由度自由度i=5平動(dòng)自由度3轉(zhuǎn)動(dòng)自由度2自由度i=6平動(dòng)自由度3轉(zhuǎn)動(dòng)自由度3二、能量均分定理氣體分子沿x,y,z三個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的平均平動(dòng)動(dòng)能完全相等，可以認(rèn)為分子的平均平動(dòng)動(dòng)能均勻分配在每個(gè)平動(dòng)自由度上。平衡態(tài)下，不論何種運(yùn)動(dòng)，相應(yīng)于每一個(gè)可能自由度的平均動(dòng)能都是能量按自由度均分定理如果某種氣體的分子有t個(gè)平動(dòng)自由度,r個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度,s個(gè)振動(dòng)自由度.則分子具有：平均平動(dòng)動(dòng)能平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能平均振動(dòng)動(dòng)能注意：對應(yīng)分子的一個(gè)振動(dòng)自由度，除有一份平均動(dòng)能外，還有一份平均勢能。結(jié)論：分子的平均總能量

對剛性分子：不考慮振動(dòng)，則分子的平均動(dòng)能為單原子分子i=3雙原子分子i=5多原子分子i=6五、理想氣體的內(nèi)能分子間相互作用可以忽略不計(jì)分子間相互作用的勢能=0理想氣體的內(nèi)能=所有分子的熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能之總和1mol理想氣體的內(nèi)能一定質(zhì)量理想氣體的內(nèi)能溫度改變T，內(nèi)能改變量為摩爾數(shù)例3.就質(zhì)量而言，空氣是由76%的N2，23%的O2和1%的Ar三種氣體組成，它們的分子量分別為28、32、40?？諝獾哪栙|(zhì)量為28.910-3kg，試計(jì)算1mol空氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的內(nèi)能。解：在1摩爾空氣中N2質(zhì)量摩爾數(shù)O2質(zhì)量摩爾數(shù)Ar質(zhì)量摩爾數(shù)1mol空氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的內(nèi)能練習(xí)十一統(tǒng)計(jì)物理學(xué)基礎(chǔ)（一）Homework4-3麥克斯韋分子速率分布率平衡態(tài)下，理想氣體的每個(gè)分子運(yùn)動(dòng)速度各不相同，而且通過碰撞不斷發(fā)生變化，對任何一個(gè)分子來說，在任何時(shí)刻它的速度的大小受到許多偶然因素的影響，因而是不能預(yù)知的。但從整體上統(tǒng)計(jì)地說，氣體分子的速度分布是有規(guī)律的，這個(gè)規(guī)律叫麥克斯韋速度分布律。若不考慮分子速度的方向，則叫麥克斯韋速率分布律。問題：平衡態(tài)下，氣體分子如何按速率分布？解決方案：按照經(jīng)典理論，氣體分子的速率可以連續(xù)地取0到無限大的任何數(shù)值.因此，研究分子按速率分布時(shí)需將分子按速率區(qū)間分組，例如將速率以10m/s的間隔劃分為010,1020,2030m/s,,的區(qū)間，然后找出各區(qū)間的分子數(shù)一、速率分布函數(shù)N分子總數(shù).dN速率處于v到vdv區(qū)間的分子數(shù).f(v)的物理意義:速率在v附近的單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比概率密度.或:f(v)dv為一個(gè)分子的速率處于v到vdv的概率.速率在v到v+dv區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比.速率分布函數(shù)定義1859年,麥克斯韋根據(jù)概率論推導(dǎo)出了在平衡態(tài)下，理想氣體分子速率分布函數(shù)

f(v)dv(=dN/N):

速率處于

v

到v+dv區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比.或:一個(gè)分子f(v)vdv面積=f(v)dv速率處于v到vdv區(qū)間的概率.速率在v1

到v2的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比:速率分布曲線下的總面積v1v2二、麥克斯韋速率分布律及三種統(tǒng)計(jì)速率歸一化條件分子速率的三個(gè)統(tǒng)計(jì)值平均速率代入麥克斯韋速率分布函數(shù)，并積分得方均根速率vrms代入f(v),最概然速率

vp

f(v)的極大值對應(yīng)的速率令df(v)/dv=0得273K1273K2273Kvf(v)Of(v)vvrmsvpO分布曲線隨溫度或摩爾質(zhì)量的變化而變化如T2>T1或M2>M1:曲線下的面積始終為1.總結(jié)例4.氦氣:T=300K,N=106,分子質(zhì)量m=6.651027kg.(a)原子的最概然速率?解:(b)估算分布在速率區(qū)間vp

vp

40m/s的分子數(shù)解:由麥克斯韋速率分布函數(shù)，分布在速率區(qū)間

v

v

v的分子數(shù)為

3104

即，106個(gè)氦氣分子中大約有3%的氦氣分子處于速率區(qū)間1120m/s到1160m/s內(nèi)(c)令v=10vp,計(jì)算分布在速率區(qū)間v

v

40m/s的分子數(shù).解:代入v=10vp

=1.12104m/s,得N=41039.表明幾乎沒有分子具有如此大的速率處于v1到v2的分子平均速率?f(v)vv1v2討論分布在速率v附近v~v+dv速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。分布在速率v附近v~v+dv速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。單位體積內(nèi)分子速率分布在速率v附近v~v+dv速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。討論分布在有限速率區(qū)間v1~v2內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。分布在有限速率區(qū)間v1~v2內(nèi)的分子數(shù)。分布在0～∞速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。（歸一化條件）v2的平均值。討論解課堂練習(xí)(1)由歸一化條件得O(2)有N個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為(1)作速率分布曲線并求常數(shù)a(2)求速率大于v0和速率小于v0的粒子數(shù)4-4玻耳茲曼分布律若氣體分子處于恒定的外力場（如重力場）中氣體分子在空間位置不再呈均勻分布?xì)怏w分子分布規(guī)律如何一、玻耳茲曼分布律經(jīng)典粒子按能量的分布函數(shù)麥克斯韋—玻耳茲曼分布經(jīng)典粒子按勢能分布近代理論中，粒子數(shù)按能級分布重力場中粒子按高度的分布規(guī)律例5.

氫原子基態(tài)能級E113.6eV，第一激發(fā)態(tài)能級E23.4eV，求出在室溫T=270C時(shí)原子處于第一激發(fā)態(tài)與基態(tài)的數(shù)目比。解：在室溫下，氫原子幾乎都處于基態(tài)。氮?dú)夥肿釉?7oC時(shí)的平均速率為476m.s-1.矛盾氣體分子熱運(yùn)動(dòng)平均速率高，但氣體擴(kuò)散過程進(jìn)行得相當(dāng)慢?？藙谛匏怪赋觯簹怏w分子的速度雖然很大，但前進(jìn)中要與其他分子作頻繁的碰撞，每碰一次，分子運(yùn)動(dòng)方向就發(fā)生改變，所走的路程非常曲折。氣體分子平均速率4-7氣體分子的平均自由程擴(kuò)散速率平均速率分子自由程:氣體分子兩次相鄰碰撞之間自由通過的路程。分子碰撞頻率:在單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)分子與其他分子碰撞的次數(shù)。大量分子的分子自由程與每秒碰撞次數(shù)服從統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律?？梢郧蟪銎骄杂沙毯推骄鲎泊螖?shù)。假定每個(gè)分子都是有效直徑為d的彈性小球。只有某一個(gè)分子A以平均速率運(yùn)動(dòng)，其余分子都靜止。平均碰撞次數(shù)dddvA運(yùn)動(dòng)方向上，以d為半徑的圓柱體內(nèi)的分子都將與分子A碰撞球心在圓柱體內(nèi)的分子一秒鐘內(nèi):分子A經(jīng)過路程為相應(yīng)圓柱體體積為圓柱體內(nèi)分子數(shù)一秒鐘內(nèi)A與其它分子發(fā)生碰撞的平均次數(shù)dddvA一切分子都在運(yùn)動(dòng)一秒鐘內(nèi)分子A經(jīng)過路程為一秒鐘內(nèi)A與其它分子發(fā)生碰撞的平均次數(shù)平均自由程與分子的有效直徑的平方和分