第二講：多元微積分

高數(shù)精講梳理知識(shí)體系提高解題能力主講人理學(xué)院數(shù)學(xué)系岳瑞鋒yueruif@163.com高數(shù)知識(shí)體系函數(shù)極限連續(xù)多元微分（123）多元積分（123）一元微分（123）一元積分（123）無窮級(jí)數(shù)（13）空間解析（1）平面解析微分方程（123）第二講多元微積分知識(shí)體系定積分重積分多元微分一元微分曲線與曲面積分第二講多元微積分多元微分學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總及典型題目多元積分學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總及典型題目1、多元微分學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總及典型題目（1）多元函數(shù)定義：二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).二元函數(shù)的幾何意義：二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.（2）多元函數(shù)的極限

Oxy(x,y)趨向于(x0,y0)的方式有無窮多種，多元函數(shù)極限就是討論(x,y)以任意路徑趨向于(x0,y0)時(shí)，函數(shù)是否存在同一個(gè)極限值.Oxy（2）多元函數(shù)的極限OxyOxy注：一元函數(shù)極限存在的充要條件是左右極限存在且相等.但是對(duì)于多元函數(shù)，由于動(dòng)點(diǎn)趨向于定點(diǎn)的方向和路徑有無限多個(gè)，所以多元函數(shù)極限存在的充要條件是在所有方向和路徑下的極限都存在而且相等.多元函數(shù)極限的這個(gè)性質(zhì)不能用來證明極限存在（？），但可以用來證明極限不存在.極限是否存在？練習(xí)取解

極限不存在.取是否存在？練習(xí)否因?yàn)閷?duì)不同的k值,不同,不存在.（3）多元函數(shù)的連續(xù)性定義:有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數(shù)的性質(zhì):至少取得它的最大值和最小值各一次．介于這兩值之間的任何值至少一次．最大值和最小值定理介值定理在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù),在D上在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù),如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值,則它在D上取得（4）多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)對(duì)自變量x,y的偏導(dǎo)數(shù)分別為：求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)利用一元函數(shù)只需將y的求導(dǎo)法對(duì)x求導(dǎo)即可.看作常量,并不需要新的方法,求的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù).解練習(xí)解按定義得練習(xí)注：特定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)一定要用定義求.兩個(gè)結(jié)論：偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)

連續(xù)多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在

連續(xù)多元函數(shù)的高階混合偏導(dǎo)數(shù)如果連一般地,續(xù)就與求導(dǎo)次序無關(guān).（5）多元函數(shù)的全微分處的全微分.可表示為可微分,在點(diǎn)則稱函數(shù)稱為函數(shù)記作即而不依賴于),(),(yxfyyxxfz-D+D+=D在點(diǎn)),(yxfz=幾個(gè)結(jié)論：如果函數(shù)可微分,則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).可微必存在偏導(dǎo)數(shù)且：偏導(dǎo)數(shù)都存在函數(shù)也不一定可微.如果偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則一定可微分.對(duì)一元函數(shù)的極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微間的關(guān)系：可微可導(dǎo)連續(xù)有極限

對(duì)多元函數(shù)的極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系：偏導(dǎo)連續(xù)可微連續(xù)有極限有偏導(dǎo)由一元到多元的函數(shù)性質(zhì)差異：練習(xí)考慮二元函數(shù)f(x,y)的下面4條性質(zhì):①f(x,y)在點(diǎn)(x0,

y0)處連續(xù),②f(x,y)在點(diǎn)(x0,

y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),③f(x,y)在點(diǎn)(x0,

y0)處可微,④f(x,y)在點(diǎn)(x0,

y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在.若用“”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q,則有(A)②③①.(B)③②①.(C)③④①.(D)③①④.練習(xí)連續(xù).D結(jié)論不正確的是().都存在,,),(),()(處連續(xù)在點(diǎn)yxyxfA,),(),()(某鄰域內(nèi)有界在點(diǎn)yxyxfC（6）多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)跟一元函數(shù)一樣，按照鏈導(dǎo)法則求導(dǎo)，其關(guān)鍵是搞清變量結(jié)構(gòu)。常見的變量結(jié)構(gòu)如下所示：練習(xí)解

zuxyxy變量樹圖求而,),sin(xyuyxezu=+=)cos(yxeu++設(shè)

解zy

wuvx

f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),練習(xí)當(dāng)函數(shù)中含有抽象函數(shù)，并且要求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，要注意偏導(dǎo)函數(shù)與原來的函數(shù)具有同樣的變量結(jié)構(gòu).zy

wuvx特別注意，此時(shí)的還是x,y的復(fù)合函數(shù)，且復(fù)合結(jié)構(gòu)與f相同！解練習(xí)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),

且滿足故),(vuf當(dāng)函數(shù)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜時(shí)，引入中間變量以使得變量結(jié)構(gòu)更清晰.已知f(t)可微,證明滿足方程提示t,y

為中間變量,x,y為自變量.引入中間變量,練習(xí)則

解設(shè)練習(xí)連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),有其中設(shè)),(),,sin(22vufyxyefzx+=yefxvucos(￠￠正確的是().練習(xí)解令則兩邊對(duì)t求導(dǎo),得（7）多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)注：等式的左端分別是將z作為x,y的二元函數(shù)時(shí)的偏導(dǎo)數(shù)，等式的右端是將F(x,y,z)看成是三元函數(shù)，而x,y,z分別是自變量.解

則令練習(xí)解令故練習(xí)確定函數(shù)注：此種情況的公式非常復(fù)雜，不宜采用公式法求導(dǎo)，而只需要在等式兩邊分別求導(dǎo)即可.設(shè)方程組確定函數(shù)解原方程組兩邊分別對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)：練習(xí)解方程組即可.解法一練習(xí).dd,0,xuzf求均一階連續(xù)可導(dǎo)且其中1??jj得由),,,(zyxfu=,sin,0),,(),,,(2xyzexzyxfuy===j設(shè)法二得得兩邊求全微分,兩邊求全微分,),,(zyxfu=將xxexzydcos2d321jjj+-=T（8）多元微分法應(yīng)用空間曲線的切線與法平面：關(guān)鍵在于求出切向量，因?yàn)榍邢蛄烤褪乔芯€的方向向量，也是法平面的法線向量.若空間曲線的方程切向量為：))(),(),((000tztytxT￠￠￠=r切線方程法平面方程若曲線方程為若曲線方程為確定了空間曲面的切平面與法線：關(guān)鍵在于求出法向量，因?yàn)榉ㄏ蛄烤褪乔衅矫娴姆ㄏ蛄浚彩欠ň€的方向向量.若設(shè)曲面的方程為法向量為:切平面方程為法線方程為若曲面方程為（9）方向?qū)?shù)與梯度偏導(dǎo)數(shù)在幾何上表示處的切線對(duì)x軸的斜率;由偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義，設(shè)二元函數(shù)，即偏導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)沿坐標(biāo)軸方向的變化率.但是僅考慮函數(shù)在兩軸上的變化率是不夠的，方向?qū)?shù)和梯度的直觀意義P比如需要研究如圖方向上函數(shù)的變化率.即研究曲面在不同方向上的“陡峭”程度——方向?qū)?shù).梯度是一個(gè)方向（向量），在這個(gè)方向上，函數(shù)增加最快.P方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是函數(shù)在某點(diǎn)沿任何方向l的變化率.(1)方向?qū)?shù)偏導(dǎo)數(shù)分別是函數(shù)在某點(diǎn)沿平行于坐標(biāo)軸的直線的變化率.的方向?qū)?shù)存在,存在時(shí),（3）反之,存在時(shí),不一定存在例如,函數(shù)沿方向的方向?qū)?shù)都存在且為1，但在(0,0)點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)不存在.函數(shù)偏導(dǎo)存在-可微-方向?qū)?shù)存在的關(guān)系方向?qū)?shù)存在可微偏導(dǎo)存在沿平行于坐標(biāo)軸方向的若函數(shù)可微,則在任意方向的方向?qū)?shù)存在，且函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量,與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,其方向梯度的模為方向?qū)?shù)的最大值.即在梯度方向上函數(shù)值增加最快.即梯度即指出了函數(shù)增加最快的方向，也決定了增加值的大?。ㄆ淠＃?梯度為等值線上點(diǎn)P處的法向量.梯度的直觀意義：它從較低的等值線指向較高的等值線.（10）多元函數(shù)的極值與最值必要條件：若函數(shù)在某點(diǎn)可偏導(dǎo)，且在該點(diǎn)處有極值，則一階偏導(dǎo)數(shù)必定為0（稱為函數(shù)的駐點(diǎn)）.函數(shù)可能的極值點(diǎn)：駐點(diǎn)和偏導(dǎo)不存在的點(diǎn).

在研究函數(shù)的極值時(shí),除研究函數(shù)的駐點(diǎn)外,還應(yīng)研究偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).的某鄰域內(nèi)連續(xù),有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),處是否取得極值的條件如下:(1)有極值,有極大值,有極小值;(2)沒有極值;(3)可能有極值,也可能無極值.充分條件：與一元函數(shù)相類似,多元函數(shù)的最值可能在極值點(diǎn)處取到，也可能在定義域的邊界處取到。因此，求多元函數(shù)的最值，只要將所有的嫌疑點(diǎn)都找出來，再跟邊界上的最大最小值比較即可.如果根據(jù)問題的背景，可以確定函數(shù)的最值必定在定義域的內(nèi)部取到(排除了在邊界上取最值的可能)，而且函數(shù)定義域內(nèi)僅僅存在一個(gè)駐點(diǎn)，并且沒有不可導(dǎo)點(diǎn)，則這個(gè)唯一的駐點(diǎn)就是最值點(diǎn)。（11）條件極值與拉格朗日乘數(shù)法在條件要找下的可能極值點(diǎn),先構(gòu)造函數(shù)為某一常數(shù),其中可由解出其中就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo).解分析拉格朗日乘數(shù)法.法一練習(xí)得即得唯一駐點(diǎn)根據(jù)題意距離的最小值一定存在,且有故必在取得最小值.唯一駐點(diǎn),法二設(shè)P(x,y,z)為旋轉(zhuǎn)拋物面幾何法.法向量上的任一點(diǎn).)1,2,2(yxn--=r)2,1,1(-法三為旋轉(zhuǎn)拋物面上任一點(diǎn),為平面上任一點(diǎn).由兩點(diǎn)間距離公式有令第二講多元微積分知識(shí)體系定積分重積分多元微分一元微分曲線與曲面積分第二講多元微積分多元微分學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總及典型題目多元積分學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總及典型題目2、多元積分學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總及典型題目（1）二重積分定義：分割、取近似、求和、取極限.幾何意義：曲頂柱體的體積代數(shù)和.物理意義：平面薄片的質(zhì)量.存在性：連續(xù)函數(shù)必可積.性質(zhì)：線性：可加性：比較性質(zhì)：估值性質(zhì)：中值定理：解判斷的正負(fù)號(hào).故于是又當(dāng)練習(xí)(A)(B)(C)(D)B是有界閉區(qū)域D:上的連續(xù)函數(shù),不存在.練習(xí)利用積分中值定理,解即得:由函數(shù)的連續(xù)性知,顯然,其中點(diǎn)是圓域內(nèi)的一點(diǎn).設(shè)區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱,如果函數(shù)f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)y為偶函數(shù).oxyD1則D1為D在第一象限中的部分,坐標(biāo)y為奇函數(shù)則設(shè)區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱,如果函數(shù)f(x,y)關(guān)于對(duì)稱性質(zhì)：這個(gè)性質(zhì)的幾何意義如圖:OxyzOxyz區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)y為偶函數(shù)區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)y為奇函數(shù)如果函數(shù)f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)x為奇函數(shù)oxyD1如果函數(shù)f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)x則為偶函數(shù)則類似地,設(shè)區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱,且D1為D在第一象限中的部分,利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算時(shí),要注意兩方面缺一不可:

注意被積函數(shù)的奇偶性.

積分區(qū)域的對(duì)稱性,設(shè)D為圓域(如圖)00D1為上半圓域D2為右半圓域練習(xí)

解由性質(zhì)得}11,11),{(￡￡-￡￡-=yxyxD其中練習(xí)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域,(A)(B)(C)(D)0.AD1是D在第一象限的部分,練習(xí)D1D2D3D4記I=則I=I1+

I2,其中I1=I2=而I1=D1與D2關(guān)于y軸對(duì)稱D3與D4關(guān)于x軸對(duì)稱xy關(guān)于x和關(guān)于y都是奇函數(shù)而I2=是關(guān)于x的偶函數(shù),關(guān)于y的奇函數(shù).

所以D1D2D3D4若D為?此式的幾何意義是:中心在原點(diǎn)的上半球的體積等于它在第一卦限內(nèi)的體積的4倍.?0D1為x≥0,y≥0,則練習(xí)（2）二重積分的計(jì)算基本思想：將二重積分轉(zhuǎn)化為兩次定積分.轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵：用兩組不等式描述積分區(qū)域.兩種方式：直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系.直角坐標(biāo)系下：若積分區(qū)域如右圖若積分區(qū)域如右圖解

積分域既是X型又是Y型法一所圍平面閉區(qū)域.兩曲線的交點(diǎn)練習(xí)？先對(duì)x后對(duì)y的積分法二交換積分次序：解積分區(qū)域:原式=練習(xí)解原式=交換積分次序：練習(xí)解計(jì)算積分不能用初等函數(shù)表示,先交換積分次序.練習(xí)極坐標(biāo)系下：極坐標(biāo)系中的面積元素再將極坐標(biāo)下的二重化為二次：若積分區(qū)域如下圖：θ先將直角坐標(biāo)下的二重化為極坐標(biāo)下的二重：解寫出積分的極坐標(biāo)二次積分其中積分區(qū)域形式,在極坐標(biāo)系下圓方程為直線方程為練習(xí)解令不能直接積出,改變積分次序.法一練習(xí)=I故==òò1010d)(d)(yyfxxf法二設(shè)則則（3）三重積分定義：分割、取近似、求和、取極限.幾何意義：被積函數(shù)為1時(shí)，表示積分區(qū)域的體積.物理意義：空間物體的質(zhì)量.存在性：連續(xù)函數(shù)必可積.性質(zhì)：線性、可加性、比較、估值、中值定理.對(duì)稱性質(zhì)：(1)關(guān)于坐標(biāo)面的上半部區(qū)域.或而得結(jié)果為零.??0則練習(xí)C則()成立.練習(xí),0,0,0,22222333￡++zyxRzyx：W(2)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的一半?yún)^(qū)域.W若中為其中WW4（4）三重積分的計(jì)算基本思想：將三重積分轉(zhuǎn)化為三次定積分.轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵：用三組不等式描述積分區(qū)域.三種方式：直角坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)系.無論二重還是三重積分，其計(jì)算的關(guān)鍵均是用不等式描述積分區(qū)域，由于三重積分的積分區(qū)域是三維空間，所以分析時(shí)，需要一定的空間想象能力.直角坐標(biāo)系下：投影法（先二后一法）

將區(qū)域向坐標(biāo)面投影.解畫積分區(qū)域的草圖.采用先對(duì)x積分,再對(duì)y、z積分的方法簡(jiǎn)單.將V向yOz平面投影對(duì)任一x取值為先對(duì)z積分?得平面區(qū)域練習(xí)

截面法(先二后一法)

將區(qū)域向坐標(biāo)軸投影已知橢球V:內(nèi)點(diǎn)(x,y,z)處質(zhì)量的體密度為:求橢球的質(zhì)量.練習(xí)解因?yàn)槎渲杏蓪?duì)等性知因此所以xaxxabcaad)1(22222ò--=p柱面坐標(biāo)系下柱面坐標(biāo)的直觀意義：柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：柱面坐標(biāo)系中的體積元素為：柱面坐標(biāo)系下計(jì)算流程：先從直角坐標(biāo)的三重到柱面坐標(biāo)的三重.再分析積分區(qū)域，化為柱面坐標(biāo)下的三次.),(),(21qrqrzzz￡￡解對(duì)稱性質(zhì)所圍成的空間閉區(qū)域.同理練習(xí)計(jì)算柱坐標(biāo)所以計(jì)算關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)面對(duì)稱性質(zhì)曲面之內(nèi)及曲面之外所圍成的立體的體積D練習(xí)球面坐標(biāo)系下球面坐標(biāo)的直觀意義：球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：球面坐標(biāo)系中的體積元素為：球面坐標(biāo)系下計(jì)算流程：先從直角坐標(biāo)的三重到球面坐標(biāo)的三重.再分析積分區(qū)域，化為柱面坐標(biāo)下的三次，比如qjjdddsin2rr解采用所圍的立體.球面坐標(biāo)練習(xí)qjjdddsind2rrv=練習(xí)解被積函數(shù)是圍成的空間區(qū)域,x的奇函數(shù).球22221yxzyxz--=+=與是曲面設(shè)W練習(xí)

設(shè)函數(shù)

連續(xù)且恒大于零,

其中

(1)討論

在區(qū)間

內(nèi)的單調(diào)性.

(2)證明

(1)解

因?yàn)榍驑O坐標(biāo)

(1)討論

在區(qū)間

內(nèi)的單調(diào)性.

設(shè)函數(shù)

連續(xù)且恒大于零

所以,

單調(diào)增加.

(1)討論

在區(qū)間

內(nèi)的單調(diào)性.

(2)證

因

(2)證明要證明只需證明即令則故

單調(diào)增加.因?yàn)樗砸虼?

(2)證明

設(shè)函數(shù)

連續(xù)且恒大于零分別化為在柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下的累次積分.將累次積分解積分域V是由1.化為柱面坐標(biāo)xyo練習(xí)2.化為球面坐標(biāo)得三角形區(qū)域（如圖）zo積分域V是由積分域V的邊界曲面在球坐標(biāo)系下分別表示為:判斷題錯(cuò)因?yàn)楸环e函數(shù)的積分范圍是整個(gè)球體而非球表面.解球練習(xí)第二講多元微積分多元微分學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總及典型題目多元積分學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總及典型題目——曲線積分與曲面積分知識(shí)背景：定積分的積分區(qū)域?yàn)殚]區(qū)間.二重積分的積分區(qū)域?yàn)槠矫骈]區(qū)域.三重積分的積分區(qū)域?yàn)榭臻g閉區(qū)域.如果將積分區(qū)域進(jìn)一步推廣，則得到曲線和曲面積分.如果積分區(qū)域?yàn)榍€段，則為曲線積分；如果積分區(qū)域?yàn)榭臻g曲面，則為曲面積分.3、第一類曲線積分定義：分割、取近似、求和、取極限.設(shè)L為xOy面內(nèi)一條光滑曲線弧,在L上有界.作乘積并作和在L上任意插入一點(diǎn)列把L分成n個(gè)小段.設(shè)第i個(gè)小段的第i個(gè)小段上任意取定的長(zhǎng)度為一點(diǎn),121,,,-nMMML即這和的極限存在,則稱此極限為在曲線弧L對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分或第一類曲線積分.積分和式被積函數(shù)弧元素積分弧段記作如果當(dāng)各小弧段的長(zhǎng)度的最大值對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分為推廣：幾何意義：弧長(zhǎng)區(qū)間長(zhǎng)度.平面區(qū)域的面積.空間區(qū)域的體積.曲邊梯形的面積.曲頂柱體的體積.柱面面積物理意義：曲線形構(gòu)件的質(zhì)量平面狀物體的質(zhì)量.f(x,y)表示物體的面密度，D表示物體所占的平面區(qū)域.空間物體的質(zhì)量f(x,y,z)表示物體的體密度，V表示物體所占的空間區(qū)域.f(x,y)表示曲線形構(gòu)件的線密度，L表示曲線形構(gòu)件形狀.存在性：連續(xù)函數(shù)必可積.性質(zhì)：線性、可加性、比較、估值、與路徑無關(guān)性.計(jì)算法：其中則有定義且連續(xù),具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),tttd)()(22yj￠+￠可見：(1)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的要化為定積分計(jì)算.(2)化為定積分只要做三件事：

代換(用曲線的參數(shù)方程代換函數(shù)中的x,y)乘弧元(乘以弧長(zhǎng)元素)；

定限(確定積分的上下限，保證下限小于上限).特殊情形(1)tttd)()(22yj￠+￠特殊情形tttd)()(22yj￠+￠(2)解tttd)()(22yj￠+￠練習(xí)練習(xí)在