解排列組合問題常見錯誤(八大錯誤)

解排列組合問題常見錯誤1、沒有理解兩個基本計數(shù)原理出錯排列組合問題基于兩個基本計數(shù)原理，即分類計數(shù)加法原理和分步計數(shù)乘法原理，理解“分類用加、分步用乘”是解決排列組合問題的前提。例1、6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任意選取5臺，其中至少有原（1995上海卷）從裝與組裝計算機各2臺，則不同的取法有種。錯解：因為可以取2臺原裝與3臺組裝或取3臺原裝與2臺組裝，所以只有2種取法。錯因分析：錯解的原因在于沒有意識到“取2臺原裝與3臺組裝或取3臺原裝與2臺組裝”是完成任務(wù)的兩“類”辦法，每類辦法中都還有不同的取法。正解：由錯因分析知，完成第一類辦法還可以分成兩步：第一步在原裝中任意取2臺，有C62種取法；第二步在組裝中任意取3臺，有C53種取法。根據(jù)分步計數(shù)乘法原理，有C62C53種取法。同理，完成第二類辦法有C63C52種取法。在根據(jù)分類計數(shù)加法原理，完成任務(wù)共有C62C53C63C52350種取法。例2、在一次運動會上有四項比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有（）種。A、A43B、43C、34D、C43錯解：把四個冠軍，排在甲、乙、丙三個位置上，選A。錯因分析：錯解的原因在于沒有理解分步計數(shù)乘法原理，盲目地套用公式。3種選取方法，由正解：四項比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項冠軍都有分步計數(shù)乘法原理，共有333334種。說明：本題還有這樣的錯解，甲、乙、丙奪冠均有四種情況，由分步計數(shù)乘法原理，共有43種。這種錯解的原因在于沒有考慮到某項冠軍一旦被一人奪得后，其他人就不再有四種奪冠可能。2、判斷不出是排列還是組合出錯在判斷一個問題是排列問題還是組合問題時，主要看元素的組成有沒有順序性，有順序的是排列問題，無順序的是組合問題。例3、有大小形狀相同的3個紅色小球和5個白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？錯解：因為是8個小球的全排列，所以共有 A88種排法。錯因分析：錯解的原因在于沒有考慮3個紅色小球是完全相同的，5個白色小球也是完全相同的，同色球之間互換位置是同一種排法。正解：8個小球排好后對應(yīng)著8個位置。題中的排法相當于在8個位置中選出3個位置給紅球，剩下的位置給白球。由于這3個紅球完全相同，所以沒有順序，是組合問題。這樣共有：C8356種排法。3、重復(fù)計算出錯在排列組合問題時，常會遇到元素分配問題、平均分組問題等，要避免重復(fù)計數(shù)出錯。例4、2002北京卷）5本不同的書全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法（種數(shù)為（）A、480B、240C、120D、96錯解：先從5本書中取4本分給4個人，有A54種方法；剩下的1本書可以給任意一個人，解排列組合問題常見錯誤（共 3頁） 1有4種分法，共有4A54480種不同的分法。選A。錯因分析：設(shè)5本書為a、b、c、d、e，四個人為甲、乙、丙、丁。按照上述錯解甲分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本書e給甲的分法與甲分得e、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本書a給甲的分法完全相同，正好重復(fù)了一次。正解：首先把5本書轉(zhuǎn)化成4本書，然后分給4個人。第一步：從5本書中任意取出2本捆綁成一本書，有C52種方法；第二步：把轉(zhuǎn)化成的4本書分給4個學(xué)生，有A44種方法。由分步計數(shù)乘法原理，共有C52A44240種方法，故選B。例5、某交通崗共有3人，從周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，不同的值班排法共有（）種。A、5040B、1260C、210D、630錯解：第一個人先挑選2天，第二個人再挑選2天，剩下的2天給第三個人，這三個人再進行全排列。共有：C72C52A331260，選B。錯因分析：第一人挑選的是周一、周二，第二人挑選的是周三、周四；也可能第一個人挑選的是周三、周四，第二人挑選的是周一、周二。在全排列的過程中重復(fù)計算了。正解：C72C52A33630種，選D。24、遺漏計算出錯在解排列組合問題時，要避免由于考慮問題不夠全面遺漏某些情況出錯。例6、用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的比1000大的奇數(shù)共有（）個。A、36B、48C、66D、72錯解：最后一位只能是1或3，有2種取法；第1位不能是0，在最后一位取定后只有3種取法；剩下3個數(shù)排中間兩個位置，有A32種排法。共有23A3236個。錯因分析：錯解只考慮了四位數(shù)的情況，而比1000大的奇數(shù)還可能是五位數(shù)。正解：任意一個五位奇數(shù)都符合要求，有23A3336個。共有23A3223A3372個。5、忽視題設(shè)條件出錯在解排列組合問題時，要仔細審查題設(shè)條件，防止多解或漏解。例7、（2003全國卷）如圖，一個地區(qū)分2為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相15鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色3可供選擇，則不同的著色方法共有4種。（以數(shù)字作答）錯解：先著色第一區(qū)域，有4種方法，剩下3種顏色涂四個區(qū)域，即有一種顏色涂相對的兩塊區(qū)域，有C312A2212種，由乘法原理共有：41248種。4錯因分析：錯解的原因在于沒有仔細審查題設(shè)條件“有4．．種顏色種顏色可供選擇”。不一定全部使用，用3種顏色也可以完成任務(wù)。4種顏色正解：使用四種顏色時，由錯解知有48種著色方法。僅使用三種顏色時：從中選取3種有C43種方法；先著色第一區(qū)域，有3種方法；剩下2種顏色涂四個區(qū)域，只能是一種顏色涂第2、4區(qū)域，另一種顏色涂第3、5區(qū)域，有2種著色方法。有C433224種。綜上共有：482472種。例8、已知ax2b0是關(guān)于x的一元二次方程，其中a，b1，2，3，4，求解集不同的一元二次方程的個數(shù)。解排列組合問題常見錯誤（共 3頁） 2錯解：從集合1，2，3，4中任意取兩個元素作為a，b，方程有A42個；當a，b取同一個數(shù)時，方程有1個，共有A42113個.錯因分析：錯解的原因在于沒有仔細審查題設(shè)條件：“求解集不同的??”。錯解中要．．．．a(chǎn)1a2a2a42個。去掉同解情況，由于和b同解、b和b同解，故要減去b2412正解：共有13211個解集不同的一元二次方程。6、忽視特殊情況出錯在解排列組合問題時，要特別注意一些特殊情況，一有疏漏就會出錯。例9、現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，可組成不同的幣值種數(shù)是（）。A、1024B、1023C、1536D、1535錯解：因為共有人民幣11張，每張人民幣都有取和不取2種情況，減去全不取的1種情況，共有21011023種。4種情況，實際上錯因分析：這里100元面值有兩張比較特殊，在錯解中被計算成只有不取、取一張和取二張3種情況。2正解：除100元人民幣以外每張均有取和不取種情況，100元人民幣的取法有3種情況，再減去全不取的種情況，所以共有911535種。1237、題意理解偏差出錯例10、現(xiàn)有8個人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有（）種。A、A63A55B、A88A66A33C、A53A33D、A88A64錯解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有A55種排法，5人排好后產(chǎn)生6個空檔，插入甲、乙、丙三人有A63種排法，這樣共有A63A55種排法，選A。錯因分析：錯解中沒有理解“甲、乙、丙三人不能相鄰”的含義，得到的結(jié)果是“甲、乙、丙三人互不相鄰”的情況?！凹?、乙、丙三人不能相鄰”是指甲、乙、丙三人不能同時．．．．相鄰，但允許其中有兩人相鄰。正解：在8個人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的排法數(shù)，就得到甲、乙、丙三人不相鄰的排法數(shù)，即A88A66A33。選B。8、解題方法選擇不當出錯有些排列組合問題用直接法或分類討論比較困難，要采取適當?shù)慕忸}方法，如直接法、間接法等，有助于問題的解決。例11、高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須要有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（ ）種。A、16B、18C、37D、48錯解：甲工廠先派一個班去，有3種選派方法，剩下2個班均有4種選擇，這樣