第二章拉氏變換和拉氏反變換

2/2/20231第二章拉氏變換和拉氏反變換第二章數(shù)學(xué)模型2/2/20232拉氏變換與反變換機電控制工程所涉及的數(shù)學(xué)問題較多，經(jīng)常要解算一些線性微分方程。如果用拉普拉斯變換求解線性微分方程，可將經(jīng)典數(shù)學(xué)中的微積分運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，又能夠單獨地表明初始條件的影響，并有變換表可查找，因而是一種較為簡便的工程數(shù)學(xué)方法。能夠把描述系統(tǒng)運動狀態(tài)的微分方程很方便的轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，并由此發(fā)展出分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的工程方法。2/2/202332/2/20234三、拉氏變換和拉氏反變換

拉氏變換設(shè)函數(shù)f(t)(t0)在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，且存在一正實常數(shù)，使得：則函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換存在，并定義為：式中：s=+j（，均為實數(shù)）；第二章數(shù)學(xué)模型2/2/20235稱為拉普拉斯積分；F(s)稱為函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換或象函數(shù)，它是一個復(fù)變函數(shù)；f(t)稱為F(s)的原函數(shù)；L為拉氏變換的符號。

拉氏反變換L－1為拉氏反變換的符號。第二章數(shù)學(xué)模型2/2/20236

幾種典型函數(shù)的拉氏變換

單位階躍函數(shù)1(t)10tf(t)單位階躍函數(shù)第二章數(shù)學(xué)模型2/2/20237

指數(shù)函數(shù)（a為常數(shù)）指數(shù)函數(shù)0tf(t)1第二章數(shù)學(xué)模型2/2/20238

正弦函數(shù)與余弦函數(shù)正弦及余弦函數(shù)10tf(t)f(t)=sintf(t)=cost-1由歐拉公式，有：

第二章數(shù)學(xué)模型2/2/20239從而：同理：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202310

單位脈沖函數(shù)(t)0tf(t)單位脈沖函數(shù)1由洛必達(dá)法則：所以：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202311

單位速度函數(shù)（斜坡函數(shù)）10tf(t)單位速度函數(shù)1第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202312

單位加速度函數(shù)單位加速度函數(shù)0tf(t)函數(shù)的拉氏變換及反變換通常可以由拉氏變換表直接或通過一定的轉(zhuǎn)換得到。

第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202313

拉氏變換積分下限的說明在某些情況下，函數(shù)f(t)在t＝0處有一個脈沖函數(shù)。這時必須明確拉氏變換的積分下限是0－還是0+，并相應(yīng)記為：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202314

拉氏變換的主要定理

疊加定理

齊次性：L[af(t)]=aL[f(t)]，a為常數(shù)；

疊加性：L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+bL[f2(t)]

a，b為常數(shù)；顯然，拉氏變換為線性變換。第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202315

實微分定理證明：由于即：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202316所以：同樣有：式中，f'(0)，f''(0)，……為函數(shù)f(t)的各階導(dǎo)數(shù)在t=0時的值。第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202317當(dāng)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時刻的值均為零時（零初始條件）：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202318當(dāng)f(t)在t=0處具有間斷點時，df(t)/dt在t=0處將包含一個脈沖函數(shù)。故若f(0+)

f(0－)，則：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202319

復(fù)微分定理若L[f(t)]=F(s)，則除了F(s)的極點之外，有：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202320

積分定理當(dāng)初始條件為零時：若f(0+)

f(0－)，則：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202321證明：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202322同樣：當(dāng)初始條件為零時：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202323

延遲定理設(shè)當(dāng)t<0時，f(t)=0，則對任意0，有：函數(shù)f(t-)0tf(t)f(t)f(t-)第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202324

位移定理例：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202325

初值定理證明：初值定理建立了函數(shù)f(t)在t=0+處的初值與函數(shù)sF(s)在s趨于無窮遠(yuǎn)處的終值間的關(guān)系。

第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202326

終值定理若sF(s)的所有極點位于左半s平面，即：存在。則：第二章數(shù)學(xué)模型證明：2/2/202327終值定理說明f(t)穩(wěn)定值與sF(s)在s=0時的初值相同。第二章數(shù)學(xué)模型又由于：即：2/2/202328

卷積定理若t<0時，f(t)＝g(t)＝0，則f(t)和g(t)的卷積可表示為：其中，f(t)g(t)表示函數(shù)f(t)和g(t)的卷積。第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202329證明：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202330

時間比例尺的改變例：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202331

求解拉氏反變換的部分分式法

部分分式法

如果f(t)的拉氏變換F(s)已分解成為下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)假定F1(s),F2(s),…，F(xiàn)n(s)的拉氏反變換可以容易地求出，則：L-1[F(s)]=L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)]=f1(t)+f2(t)+…+fn(t)第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202332在控制理論中，通常：為了應(yīng)用上述方法，將F(s)寫成下面的形式：式中，p1，p2，…，pn為方程A(s)=0的根的負(fù)值，稱為F(s)的極點；ci=bi

/a0

(i=0,1,…,m)。此時，即可將F(s)展開成部分分式。

第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202333F(s)只含有不同的實數(shù)極點式中，Ai為常數(shù)，稱為s=-pi極點處的留數(shù)。于是：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202334例：求的原函數(shù)。解：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202335即：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202336F(s)含有共軛復(fù)數(shù)極點

假設(shè)F(s)含有一對共軛復(fù)數(shù)極點-p1、-p2，其余極點均為各不相同的實數(shù)極點，則：式中，A1和A2的值由下式求解：上式為復(fù)數(shù)方程，令方程兩端實部、虛部分別相等即可確定A1和A2的值。第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202337注意，此時F(s)仍可分解為下列形式：由于p1、p2為共軛復(fù)數(shù)，因此，A1和A2的也為共軛復(fù)數(shù)。第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202338例：求的原函數(shù)。解：令：，則：

第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202339根據(jù)：有：即：由上式兩邊實部和虛部分別相等，得：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202340而：所以：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202341查拉氏變換表得：令，即：于是：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202342例：求的原函數(shù)。解：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202343即：所以：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202344第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202345查拉氏變換表得：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202346F(s)含有重極點

設(shè)F(s)存在r重極點-p0，其余極點均不同，則：

式中，Ar+1，…，An利用前面的方法求解。第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202347……第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202348注意到：所以：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202349例：求的原函數(shù)。解：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202350于是：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202351

用MATLAB展開部分分式設(shè)：在MATLAB中，多項式通過系數(shù)行向量表示，系數(shù)按降序排列。如要輸入多項式：x4-12x3+25x+126>>p=[1-12025126]p=1-12025126第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202352用num和den分別表示F(s)的分子和分母多項式，即：num=[b0

b1…bm]den=[a0

a1…an]MATLAB提供函數(shù)residue用于實現(xiàn)部分分式展開，其句法為：[r,p,k]=residue(num,den)其中，r,p分別為展開后的留數(shù)及極點構(gòu)成的列向量、k為余項多項式行向量。第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202353若無重極點，MATLAB展開后的一般形式為：若存在q重極點p(j)，展開式將包括下列各項：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202354例：求的部分分式展開。>>num=[111395226];>>den=[110355024];>>[r,p,k]=residue(num,den)r=1.00002.5000-3.00000.5000p=-4.0000-3.0000-2.0000-1.0000k=1展開式為：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202355例：求的部分分式展開。>>num=[1001056];>>den=[15972];>>[r,p,k]=residue(num,den)r=-4.000020.0000-20.000010.0000p=-2.0000-1.0000-1.0000-1.0000k=1-5展開式為：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202356[num,den]=residue(r,p,k)函數(shù)residue也可用于將部分分式合并，其句法為：>>r=[1234]';p=[-1-2-3-4]';k=0;>>[num,den]=residue(r,p,k)num=107015096den=110355024例：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202357

應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程

求解步驟

將微分方程通過拉氏變換變?yōu)?/p>

s的代數(shù)方

程；

解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表

達(dá)式；

應(yīng)用拉氏反變換，得到微分方程的時域解。第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202358原函數(shù)（微分方程的解）象函數(shù)微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程拉氏反變換拉氏變換解代數(shù)方程拉氏變換法求解線性微分方程的過程第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202359

實例設(shè)系統(tǒng)微分方程為：若xi

(t)

=1(t)，初始條件分別為x'o(0)、xo(0)，試求xo(t)。解：對微分方程左邊進(jìn)行拉氏變換：

第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202360即：第二章數(shù)學(xué)模型2/2/202361對方程右邊進(jìn)行拉氏變換：從而：第二章數(shù)學(xué)模