第11章-動(dòng)靜法習(xí)題課(2學(xué)時(shí))-王

第十一章動(dòng)靜法習(xí)題課慣性力的概念質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理剛體慣性力系的簡化達(dá)朗貝爾原理的應(yīng)用基本內(nèi)容復(fù)習(xí)ppt/3823實(shí)例：人用手推車，F(xiàn)、F′為一對作用力和反作用力，所以質(zhì)點(diǎn)慣性力定義為慣性力等于加速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，對迫使其產(chǎn)生加速運(yùn)動(dòng)的物體的反作用力。如果將慣性力加在加速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)上，那么，該質(zhì)點(diǎn)處于形式上的平衡，即一、慣性力的概念ppt/384質(zhì)點(diǎn)慣性力不是作用在質(zhì)點(diǎn)上的真實(shí)力，加上慣性力之后，質(zhì)點(diǎn)處于形式上的平衡，這就是質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理。二、質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理設(shè)M為受約束的非自由質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量m，加速度a，慣性力FI=-ma，受主動(dòng)力F，約束反力FN作用，則ppt/385例1列車在水平軌道上行駛，車廂內(nèi)懸掛一單擺，當(dāng)車廂向右作勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，單擺左偏角度q

，相對于車廂靜止。求車廂的加速度a。ppt/386

解：選單擺的擺錘為研究對象慣性力為由動(dòng)靜法,有解得

q角隨著加速度a的變化而變化，當(dāng)a不變時(shí)，q角也不變。只要測出q角，就能知道列車的加速度

a。這就是擺式加速計(jì)的設(shè)計(jì)原理。ppt/387三、質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理對整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系來說，動(dòng)靜法給出的平衡方程，只包括慣性力與外力，而與質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力無關(guān)。用動(dòng)靜法求解動(dòng)力學(xué)問題時(shí)，與靜力學(xué)一樣，可以任意選取研究對象，再加上慣性力，列平衡方程求解。ppt/388

簡化方法就是采用靜力學(xué)中的力系簡化的理論。將虛擬的慣性力系視作力系向任一點(diǎn)O簡化而得到一個(gè)慣性力和一個(gè)慣性力偶。無論剛體作什么運(yùn)動(dòng)，慣性力系主矢都等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反。四、剛體慣性力系的簡化ppt/389剛體慣性力系簡化的三種情況：平動(dòng)：慣性力系簡化為一個(gè)通過質(zhì)心的合力定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：如果剛體有對稱平面，該平面與轉(zhuǎn)軸z垂直，則慣性力系向?qū)ΨQ平面與轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)O簡化，得到在對稱平面內(nèi)的一力和一力偶平面運(yùn)動(dòng)（平行于對稱平面）：慣性力系向質(zhì)心C簡化，得到在對稱平面內(nèi)的一力和一力偶ppt/3810討論：①剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸不通過質(zhì)心C。ppt/3811討論：②轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心C，a0，慣性力偶（與a反向）ppt/3812討論：③剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心，則（慣性力系的主矢、主矩均為零）ppt/3813練習(xí)1均質(zhì)桿長l

，質(zhì)量m，與水平軸A鉸接，桿由與平面成j0角位置靜止落下。求開始落下時(shí)桿AB的角加速度及A點(diǎn)支座反力。根據(jù)動(dòng)靜法，有

解：選桿AB為研究對象慣性力系向A點(diǎn)簡化結(jié)果：ppt/3814ppt/3815用動(dòng)量矩定理+質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解此題：解：選AB為研究對象由得：由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：ppt/3816

練習(xí)2

牽引車的主動(dòng)輪質(zhì)量為m，半徑為R，沿水平直線軌道滾動(dòng)，設(shè)車輪所受的主動(dòng)力可簡化為作用于質(zhì)心的兩個(gè)力S、T及驅(qū)動(dòng)力偶矩M，車輪對于通過質(zhì)心C并垂直于輪盤的軸的回轉(zhuǎn)半徑為r，輪與軌道間摩擦系數(shù)為f,試求在車輪滾動(dòng)而不滑動(dòng)的條件下，驅(qū)動(dòng)力偶矩M之最大值。

解：取輪為研究對象慣性力為：由動(dòng)靜法，得：ppt/3817由(1)得由(2)得N=P+S，要保證車輪不滑動(dòng)，必須

F

<

Fmax=fN=f(P+S)(5)將上式代入(4)得：ppt/3818

根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，寫出形式上的平衡方程求解動(dòng)力學(xué)問題的方法，稱為動(dòng)靜法。應(yīng)用動(dòng)靜法既可求運(yùn)動(dòng)，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知運(yùn)動(dòng)，求質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)約束反力。應(yīng)用動(dòng)靜法求解動(dòng)力學(xué)問題，可以利用建立靜力學(xué)平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意選取，二矩式，三矩式等等。因此當(dāng)問題中有多個(gè)約束反力時(shí)，應(yīng)用動(dòng)靜法求解尤其方便。達(dá)朗貝爾原理的應(yīng)用ppt/3819①選取研究對象：原則與靜力學(xué)相同。②受力分析：畫出全部主動(dòng)力和外約束反力。③運(yùn)動(dòng)分析：主要是剛體質(zhì)心加速度，剛體角加速度，標(biāo)出方向。④加慣性力：在受力圖上畫上慣性力和慣性力偶，一定要在正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析的基礎(chǔ)上。熟記剛體慣性力系的簡化結(jié)果。應(yīng)用動(dòng)靜法求動(dòng)力學(xué)問題的步驟及要點(diǎn)：ppt/3820⑤列動(dòng)靜方程：選取適當(dāng)?shù)木匦暮屯队拜S。⑥建立補(bǔ)充方程：運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充方程。⑦求解求知量。注：FI，MIO的方向及轉(zhuǎn)向已在受力圖中標(biāo)出，建立方程時(shí)，只需按FI=maC，MIO=JOa

代入即可。ppt/3821

例1質(zhì)量為m1和m2的兩重物，分別掛在兩條繩子上，繩又分別繞在半徑為r1和r2并裝在同一軸的兩鼓輪上，已知兩鼓輪對于轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，系統(tǒng)在重力作用下發(fā)生運(yùn)動(dòng)，求鼓輪的角加速度。

取系統(tǒng)為研究對象解：方法1

用達(dá)朗貝爾原理求解ppt/3822虛加慣性力和慣性力偶：由動(dòng)靜法：列補(bǔ)充方程代入上式得ppt/38取系統(tǒng)為研究對象根據(jù)動(dòng)量矩定理：23方法2

用動(dòng)量矩定理求解ppt/38研究系統(tǒng)，任一瞬時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能為兩邊除以dt，并求導(dǎo)數(shù)，得24方法3用動(dòng)能定理求解ppt/3825例2在圖示機(jī)構(gòu)中，沿斜面向上作純滾動(dòng)的圓柱體和鼓輪O均為均質(zhì)物體，各重為P和Q，半徑均為R，繩子不可伸長，其質(zhì)量不計(jì)，斜面傾角q，如在鼓輪上作用一常力偶矩M，試求：(1)鼓輪的角加速度？(2)繩子的拉力？(3)軸承O處的支反力？(4)圓柱體與斜面間的摩擦力（不計(jì)滾動(dòng)摩擦）？ppt/3826解：方法1

用達(dá)朗貝爾原理求解取輪O為研究對象，虛加慣性力偶列出動(dòng)靜方程：取輪A為研究對象，加上慣性力FI和慣性力偶MIA如圖示。ppt/3827列出動(dòng)靜方程：運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系聯(lián)立求解得ppt/3828方法2用動(dòng)力學(xué)普遍定理求解用動(dòng)能定理求鼓輪角加速度取系統(tǒng)為研究對象，當(dāng)O輪順時(shí)針轉(zhuǎn)過dj角度時(shí)，外力元功為：系統(tǒng)動(dòng)能為在dt時(shí)間里動(dòng)能增量為由動(dòng)能定理的微分形式，得到ppt/3829(2)用動(dòng)量矩定理求繩子張力取輪O為研究對象，由動(dòng)量矩定理得(3)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解軸承O處支反力取輪O為研究對象，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：ppt/3830(4)用剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程求摩擦力取圓柱體A為研究對象，根據(jù)剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程方法3：用動(dòng)能定理求鼓輪的角加速度 用達(dá)朗貝爾原理求約束反力（繩子拉力T

、軸承O處反力XO和YO及摩擦力F）。ppt/3831例3

均質(zhì)圓柱體重為P，半徑為R，無滑動(dòng)地沿傾斜平板由靜止自O(shè)點(diǎn)開始滾動(dòng)。平板對水平線的傾角為，試求OA=S時(shí)平板在O點(diǎn)的約束反力。板的重力略去不計(jì)。解：(1)用動(dòng)能定理求速度，加速度圓柱體作平面運(yùn)動(dòng)。在初始位置時(shí)，處于靜止?fàn)顟B(tài)，故T1=0；在末位置時(shí)，設(shè)角速度為，則vC=R,動(dòng)能為：ppt/3832

主動(dòng)力的功：動(dòng)能定理對

t

求導(dǎo)數(shù)，得到(2)用達(dá)朗貝爾原理求約束反力取系統(tǒng)為研究對象，虛加慣性力FI和慣性力偶MIC為：ppt/3833列出動(dòng)靜方程：ppt/3834例4

繞線輪重P，半徑為R及

r

，對質(zhì)心O轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO，在與水平成q

角的常力T作用下純滾動(dòng)，不計(jì)滾阻，求：(1)輪心的加速度；(2)分析純滾動(dòng)的條件。解：用達(dá)朗貝爾原理求解繞線輪作平面運(yùn)動(dòng)（純滾動(dòng)）,慣性力為由達(dá)朗貝爾原理，得將FI、MIO代入上式，得到ppt/3835由F≤

Fmax=fN，得純滾動(dòng)的條件為：

ppt/38361.

物體系統(tǒng)由質(zhì)量均為m的兩物塊A和B組成，放在光滑水平面上，物體A上作用一水平力F，試用動(dòng)靜法說明A物體對B物體作用力大小是否等于F

？思考題：解：研究物塊Appt/3837解：滑塊B的慣性力如圖