第十三章動能定理

返回總目錄TheoreticalMechanics第三篇動力學(xué)第十三章動能定理

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§13-1力的功

§13-2質(zhì)點的動能定理

§13-3質(zhì)點系和剛體的動能

§13-4質(zhì)點系的動能定理

§13-5功率功率方程

§13-6勢力場勢能機(jī)械能守恒定律TheoreticalMechanics13.1力的功13.1.1功的一般表達(dá)式力的元功:在一無限小位移中力所做的功?；?qū)懗芍苯亲鴺?biāo)形式在一般情況下，上式右邊不表示某個坐標(biāo)函數(shù)的全微分，所以元功用符號W而不用dW

。

返回首頁TheoreticalMechanics力在有限路程上的功為力在此路程上元功的定積分。功的量綱為13.1力的功13.1.1功的一般表達(dá)式

返回首頁TheoreticalMechanics13.1力的功13.1.2幾種常見力的功常力的功

當(dāng)時功為正；當(dāng)時，功為負(fù)；當(dāng)時s不作功。由此可知，功為代數(shù)量。

返回首頁TheoreticalMechanics重力的功重力的功僅與質(zhì)點運(yùn)動開始和終了位置的高度差有關(guān)，而與運(yùn)動軌跡無關(guān)13.1力的功13.1.2幾種常見力的功

返回首頁TheoreticalMechanics彈性力的功彈性力可表示為13.1力的功13.1.2幾種常見力的功

返回首頁TheoreticalMechanics彈性力的功

彈性力在有限路程上的功只決定于彈簧在起始及終了位置的變形量，而與質(zhì)點的運(yùn)動路徑無關(guān)。13.1力的功13.1.2幾種常見力的功

返回首頁TheoreticalMechanics滑動摩擦力的功

物體沿粗糙軌道滑動時，動滑動摩擦力，其方向總與滑動方向相反，所以，功恒為負(fù)值13.1力的功13.1.2幾種常見力的功

返回首頁TheoreticalMechanics滑動摩擦力的功

當(dāng)物體純滾動時，圓輪與地面之間沒有相對滑動，其滑動摩擦力屬于靜滑動摩擦力。輪與地面的接觸點C是圓輪在此瞬時的速度瞬心，，得圓輪沿固定軌道滾動而無滑動時，滑動摩擦力不作功。

13.1力的功13.1.2幾種常見力的功

返回首頁TheoreticalMechanics定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功作用于定軸轉(zhuǎn)動剛體上的力的元功為13.1力的功13.1.2幾種常見力的功

返回首頁TheoreticalMechanics如圖所示，剛體上任意一點的無限小位移可寫為作用于點Mi上的力的元功為作用于剛體上的全部力的元功為平面運(yùn)動剛體上力系的功13.1力的功13.1.2幾種常見力的功

返回首頁TheoreticalMechanics其中FR為力系的主矢量，Mc為力系對質(zhì)心的主矩。13.1力的功13.1.2幾種常見力的功

返回首頁TheoreticalMechanics13.1.3質(zhì)點系內(nèi)力的功當(dāng)質(zhì)系內(nèi)質(zhì)點間的距離變化時，內(nèi)力的元功之和不為零。因此剛體內(nèi)力的功之和恒等于零。如圖所示，兩質(zhì)點間有相互作用的內(nèi)力13.1力的功

返回首頁TheoreticalMechanics13.1力的功13.1.4約束力的功光滑鉸鏈或軸承約束由于約束力的方向恒與位移的方向垂直，所以約束力的功為零。

常見的理想約束有：光滑固定面和輥軸約束其約束力垂直于作用點的位移，約束力不做功。理想約束：約束力的元功的和等于零的約束。

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剛性連接的約束這種約束和剛體的內(nèi)力一樣，其元功之和恒等于零。聯(lián)結(jié)兩個剛體的鉸:兩個剛體相互間的約束力，大小相等、方向相反，即，兩力在點的微小位移上的元功之和等于零.

柔性而不可伸長的繩索繩索兩端的約束力,大小相等，即，由于繩索不可伸長，所以兩點的微小位移和在繩索中心線上的投影必相等，因此不可伸長的繩索的約束力元功之和等于零。具有理想約束的質(zhì)點系，有WN=0

13.1力的功13.1.4約束力的功

返回首頁TheoreticalMechanics13.2質(zhì)點的動能定理質(zhì)系內(nèi)所有質(zhì)點在某瞬時動能的算術(shù)和為該瞬時質(zhì)系的動能

動能是描述質(zhì)系運(yùn)動強(qiáng)度的一個物理量任一質(zhì)點在某瞬時的動能為

返回首頁TheoreticalMechanics13.2質(zhì)點的動能定理牛頓第二定律即作用于質(zhì)點上力的元功等于質(zhì)點動能的微分。質(zhì)點動能定理的微分形式由于，將上式右端乘以ds，左端乘以vdt后，得

返回首頁TheoreticalMechanics13.2質(zhì)點的動能定理作用于質(zhì)點上的力在有限路程上的功質(zhì)點動能定理的積分形式，即作用于質(zhì)點上的力在有限路程上的功等于質(zhì)點動能的改變量。積分

返回首頁TheoreticalMechanics13.3質(zhì)點系和剛體的動能13.3.1質(zhì)點系的動能質(zhì)點系的動能為組成質(zhì)點系的各質(zhì)點動能的算術(shù)和

返回首頁TheoreticalMechanics13.3質(zhì)點系和剛體的動能13.3.2平移剛體的動能當(dāng)剛體平動時，剛體上各點速度相同，于是平動剛體的動能為

返回首頁TheoreticalMechanics13.3質(zhì)點系和剛體的動能13.3.3定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能于是繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能為剛體繞定軸z轉(zhuǎn)動的角速度為，任一點mi的速度

返回首頁TheoreticalMechanics13.3質(zhì)點系和剛體的動能13.3.4平面運(yùn)動剛體的動能

剛體作平面運(yùn)動時，可視為繞通過速度瞬心并與運(yùn)動平面垂直的軸的轉(zhuǎn)動平面運(yùn)動剛體的動能等于隨質(zhì)心平動的動能與繞通過質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的動能之和。

返回首頁TheoreticalMechanics13.4質(zhì)點系的動能定理n個方程相加，得質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，其中某一質(zhì)量為mi質(zhì)點主動力和約束力作用。根據(jù)質(zhì)點動能定理的微分形式有零

返回首頁TheoreticalMechanics13.4質(zhì)點系的動能定理

質(zhì)系動能定理的微分形式：在質(zhì)系無限小的位移中，質(zhì)系動能的微分等于作用于質(zhì)系全部力所做的元功之和。即

質(zhì)系動能定理的積分形式：質(zhì)系在任意有限路程的運(yùn)動中，起點和終點動能的改變量，等于作用于質(zhì)系的全部力在這段路程中所做功的和。

返回首頁TheoreticalMechanics13.4質(zhì)點系的動能定理例題例13-1

圖示系統(tǒng)中，滾子A

、滑輪B

均質(zhì)，重量和半徑均為Q

及r，滾子沿傾角為

的斜面向下滾動而不滑動，借跨過滑輪B的不可伸長的繩索提升重P的物體，同時帶動滑輪B繞O軸轉(zhuǎn)動，求滾子質(zhì)心C的加速度aC。

解法一

求加速度宜用動能定理的微分形式

系統(tǒng)在任意位置的動能A輪純滾動，D為A輪瞬心，所以

返回首頁TheoreticalMechanics由，得

主動力Q、P的元功因純滾動，滑動摩擦力F不作功代入式

，兩邊再除以dt，且知，得

13.4質(zhì)點系的動能定理例題

返回首頁TheoreticalMechanics解法二

此題亦可用動能定理的積分形式，求出任意瞬時的速度表達(dá)式，再對時間求一階導(dǎo)數(shù)，得到加速度。

系統(tǒng)的初始動能為T0任意位置的動能

設(shè)圓輪質(zhì)心C走過距離s，動能定理的積分形式13.4質(zhì)點系的動能定理例題

返回首頁TheoreticalMechanics設(shè)圓輪質(zhì)心C走過距離s，動能定理的積分形式vC和s均為變量，將上式兩邊對時間求一階導(dǎo)數(shù)，得13.4質(zhì)點系的動能定理例題

返回首頁TheoreticalMechanics例13-2橢圓規(guī)位于水平面內(nèi)，由曲柄帶動規(guī)尺AB運(yùn)動，如圖所示。曲柄和AB都是均質(zhì)桿，重量分別為P和2P，且OC＝AC＝BC＝l，滑塊A和B重量均為Q。常力偶M作用在曲柄上，設(shè)＝0時系統(tǒng)靜止，求曲柄角速度和角加速度(以轉(zhuǎn)角表示)。

I解：由幾何條件，OC＝BC，＝

，因此OC=AB=

，系統(tǒng)由靜止開始運(yùn)動，當(dāng)轉(zhuǎn)過角時，系統(tǒng)的動能瞬心為Ⅰ，有運(yùn)動關(guān)系為13.4質(zhì)點系的動能定理例題

返回首頁TheoreticalMechanicsI系統(tǒng)中力做的功為

由動能定理的積分形式

13.4質(zhì)點系的動能定理例題

返回首頁TheoreticalMechanicsI由動能定理的微分形式，得

13.4質(zhì)點系的動能定理例題

返回首頁TheoreticalMechanics例13-3圖示系統(tǒng)中，物塊A重P，均質(zhì)圓輪B重Q，半徑為R，可沿水平面純滾動，彈簧剛度系數(shù)為k，初位置y=0時，彈簧為原長，系統(tǒng)由靜止開始運(yùn)動，定滑輪D的質(zhì)量不計，繩不可伸長。試建立物塊A的運(yùn)動微分方程，并求其運(yùn)動規(guī)律。解：為建立物塊A的運(yùn)動微分方程，宜對整個系統(tǒng)應(yīng)用動能定理。以A的位移為變量，當(dāng)A從初始位置下降任意距離y時，它的速度為vA，系統(tǒng)動能由運(yùn)動關(guān)系13.4質(zhì)點系的動能定理例題

返回首頁TheoreticalMechanics系統(tǒng)的初動能

初始位置時，彈簧為原長，當(dāng)A下降y時，彈簧伸長，功為由動能定理的積分形式

對時間求一階導(dǎo)數(shù)，其中，得13.4質(zhì)點系的動能定理例題

返回首頁TheoreticalMechanics對時間求一階導(dǎo)數(shù)，其中，得物塊A的運(yùn)動微分方程13.4質(zhì)點系的動能定理例題用微分形式的動能定理求解，代入式

，得

返回首頁TheoreticalMechanics此式兩邊被dt除，令

令，得到以y1為變量的標(biāo)準(zhǔn)形式的微分方程13.4質(zhì)點系的動能定理例題

返回首頁TheoreticalMechanics設(shè)其解為物塊A的運(yùn)動規(guī)律為初始條件：t=0時，代入得物塊A的運(yùn)動規(guī)律為物塊A作簡諧振動13.4質(zhì)點系的動能定理例題

返回首頁習(xí)13–8鏈條全長l=1m,單位長質(zhì)量=2kg/m,懸掛在半徑為R=0.1m,質(zhì)量M=1kg的滑輪上.鏈條由靜止開始下落.設(shè)鏈條與滑輪無相對滑動,滑輪為均質(zhì)圓盤.求:鏈條剛離開滑輪時的速度.13.4質(zhì)點系的動能定理例題OROR解:選過O點的水平面為重力零勢面代入具體數(shù)值后可得到:TheoreticalMechanics13.4質(zhì)點系的動能定理1．具有理想約束的一個自由度系統(tǒng)，應(yīng)用動能定理可直接建立系統(tǒng)的速度量與位移量之間的關(guān)系；進(jìn)一步對時間求導(dǎo)數(shù)，可求出系統(tǒng)的加速度量。所以，在這種情形下應(yīng)用動能定理求解已知力求運(yùn)動的問題是很方便的。2．應(yīng)用動能定理解題的步驟：（1）明確分析對象，一般以整個系統(tǒng)為研究對象；（2）分析系統(tǒng)的受力，區(qū)分主動力與約束力，在理想約束的情況下約束力不做功；小結(jié)

返回首頁TheoreticalMechanics3.分析系統(tǒng)的運(yùn)動，計算系統(tǒng)在任意位置的動能或在起始和終了位置的動能；4.應(yīng)用動能定理建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程，而后求解；5.對問題的進(jìn)一步分析與討論。動能定理最適用于動力學(xué)的第二類基本問題：已知主動力求運(yùn)動，即求速度、加速度或建立運(yùn)動微分方程。

13.4質(zhì)點系的動能定理小結(jié)

返回首頁TheoreticalMechanics13.5功率功率方程13.5.1功率力在單位時間內(nèi)所作的功，稱為功率。它是用來衡量機(jī)器性能的一項重要指標(biāo)，P表示功率力偶或轉(zhuǎn)矩M的功率功率的量綱為功率的單位是焦耳/秒，稱為瓦特（W）。1W=1J/s=1Nm/s。

返回首頁TheoreticalMechanics13.5功率功率方程13.5.2功率方程由動能定理等號兩邊除以dt，即表明機(jī)器的輸入、消耗的功率與動能變化率的關(guān)系。功率方程

返回首頁TheoreticalMechanics13.6勢力場勢能機(jī)械能守恒定律13.6.1勢力場如質(zhì)點在某空間內(nèi)任一位置都受有一個大小和方向完全由所在位置確定的力作用，具有這種特性的空間就稱為力場，例如地球表面的空間為重力場。如質(zhì)點在某一力場內(nèi)運(yùn)動時，力場力對于質(zhì)點所做的功僅與質(zhì)點起點與終點位置有關(guān)，而與質(zhì)點運(yùn)動的路徑無關(guān)，則這種力場稱為勢力場或保守力場。質(zhì)點在勢力場內(nèi)所受的力稱為勢力或保守力。如重力、彈性力及萬有引力都是勢力。

返回首頁TheoreticalMechanics13.6勢力場勢能機(jī)械能守恒定律13.6.2勢能勢能：在勢力場中，質(zhì)點由某一位置M運(yùn)動到選定的參考點M0的過程中，有勢力所作的功。以V表示，即重力場中的勢能零位置選在z0=0處

返回首頁TheoreticalMechanics對于質(zhì)點系或剛體彈性力場中的勢能0是勢能零點時彈簧的