第二章-線性系統(tǒng)理論-2.5綜合問題

1第2章線性系統(tǒng)理論2主要內(nèi)容2.1基本概念2.2狀態(tài)空間表達(dá)式的建立2.3線性變換2.4運(yùn)動(dòng)分析2.5綜合問題2.6狀態(tài)重構(gòu)與狀態(tài)觀測(cè)器2.7最優(yōu)控制32.5綜合問題42.5綜合問題本節(jié)主要內(nèi)容是極點(diǎn)配置，通過設(shè)計(jì)反饋控制來改善系統(tǒng)極點(diǎn)的分配，達(dá)到改善系統(tǒng)相應(yīng)特性的目的。根軌跡法：只改變一個(gè)參數(shù)，在根軌跡上選擇極點(diǎn)，不能做到按需要任意配置。系統(tǒng)反饋控制的分類：1按照反饋信號(hào)的來源或引出點(diǎn)分2

按照反饋信號(hào)的作用點(diǎn)或注入點(diǎn)分

（1）狀態(tài)反饋

（2）輸出反饋（1）反饋至狀態(tài)微分處（2）反饋至控制輸入處52.5綜合問題一、

狀態(tài)反饋與極點(diǎn)配置三、輸出反饋與極點(diǎn)配置二、

狀態(tài)重構(gòu)與狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)四、降維狀態(tài)觀測(cè)器的概念62.5綜合問題1、反饋至狀態(tài)微分處2、反饋至控制輸入處一、

狀態(tài)反饋與極點(diǎn)配置72.5綜合問題1、反饋至狀態(tài)微分處狀態(tài)反饋兩種基本形式：（1）狀態(tài)反饋至控制輸入處特點(diǎn)：系統(tǒng)無需可控可觀便可以任意配置耦合極點(diǎn)，且設(shè)計(jì)上只須將狀態(tài)反饋陣與原有的系統(tǒng)矩陣合并即可。能夠?qū)崿F(xiàn)這種反饋控制的系統(tǒng)極少。配置后系統(tǒng)的可控性與可觀性可能改變。2、反饋至控制輸入處原系統(tǒng)方程狀態(tài)向量x通過待設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋矩陣k，負(fù)反饋至控制輸入處，于是

（2）狀態(tài)反饋至狀態(tài)微分處（下面要重點(diǎn)講）82.5綜合問題從而構(gòu)成了狀態(tài)反饋系統(tǒng)。

狀態(tài)反饋至控制輸入狀態(tài)反饋系統(tǒng)方程證明

這里以SISO系統(tǒng)進(jìn)行證明。設(shè)SISO系統(tǒng)可控，通過

程化為可控標(biāo)準(zhǔn)型，有

設(shè)計(jì)定理：

引入反饋后，系統(tǒng)可控性不變，閉環(huán)極點(diǎn)可任意配置的充要條件

（可觀性可能改變）。這種系統(tǒng)很少。

92.5綜合問題在變換后的狀態(tài)空間內(nèi)，引入狀態(tài)反饋陣這里分別由引出反饋系數(shù)，故變換后的狀態(tài)動(dòng)態(tài)方程為102.5綜合問題式中顯見仍為可控標(biāo)準(zhǔn)型，故引入狀態(tài)反饋，系統(tǒng)可控不變。其閉環(huán)特征方程為于是，適當(dāng)選擇，可滿足特征方程中n個(gè)任意特定系統(tǒng)的要求，因而閉環(huán)極點(diǎn)可任意配置。充分性得證。

再證必要性。設(shè)系統(tǒng)不可控，必有狀態(tài)變量與輸入u無關(guān)，不可能實(shí)現(xiàn)全狀態(tài)反饋。于是不可控子系統(tǒng)的特征值不可能重新配置，傳遞函數(shù)不反映不可控部分的特性。必要性得證。112.5綜合問題對(duì)在變換后狀態(tài)空間中設(shè)計(jì)的k應(yīng)換算回到原狀態(tài)空間中去，由于故

對(duì)原受控系統(tǒng)直接采用狀態(tài)反饋陣k，可獲得于式(6—1)相同的特征值，這是因?yàn)榫€性變換后系統(tǒng)特征值不變。

實(shí)際求解狀態(tài)反饋陣時(shí)，并不一定要進(jìn)行到可控標(biāo)準(zhǔn)型的變換，只需校驗(yàn)系統(tǒng)可控，計(jì)算特征多項(xiàng)式

和特征值，并通過與具有希望特征值的特征多項(xiàng)式相比較，便可確定k陣。

狀態(tài)反

因?yàn)榉瞧娈惥€性變換后傳遞函數(shù)矩陣不變，故原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為另外需注意:

饋系統(tǒng)仍是可控標(biāo)準(zhǔn)型。122.5綜合問題而狀態(tài)反饋系統(tǒng)的傳遞矩陣為顯然，的分子相同，例2.28設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

試用狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點(diǎn)配置在－2，－1。解

單輸入-單輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)無零極點(diǎn)對(duì)消，故可控可觀測(cè)。其可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)為132.5綜合問題（）狀態(tài)反饋矩陣為

態(tài)反饋系統(tǒng)特征方程為

期望閉環(huán)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)特征方程為由兩特征方程同冪項(xiàng)系數(shù)應(yīng)相同，可得

即

系統(tǒng)反饋陣

將系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)配置在－2，－1。

例2.29設(shè)受控系統(tǒng)狀態(tài)方程為，試用狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點(diǎn)配置在－1。解

由系統(tǒng)矩陣為對(duì)角陣，顯見系統(tǒng)可控，但不穩(wěn)定。設(shè)反饋控制律為，，則142.5綜合問題閉環(huán)特征多項(xiàng)式為

因此，

最后，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

例2.30設(shè)受控系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，綜合指標(biāo)為：①超調(diào)量：；

②峰值時(shí)間：；③系統(tǒng)帶寬：；④位置誤差。152.5綜合問題解

1）如圖所示，本題要用帶輸入變換的狀態(tài)反饋來解題，原系

AvS(A,B,C)KU圖8-24帶輸入變換的狀態(tài)反饋系統(tǒng)統(tǒng)可控標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程為

2）根據(jù)技術(shù)指標(biāo)確定希望極點(diǎn)

系統(tǒng)有三個(gè)極點(diǎn)，為方便，選一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)，另外一個(gè)為可忽略影響的遠(yuǎn)162.5綜合問題極點(diǎn)。由第三章，上述指標(biāo)計(jì)算公式如下：

式中，分別為阻尼比和自然頻率。將上述數(shù)據(jù)代入，從前兩個(gè)指標(biāo)可以分別求出：；代入帶寬公式，可求得；綜合考慮響應(yīng)速度和帶寬要求，取。于是，閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為，取非主導(dǎo)極點(diǎn)為。

3）

確定狀態(tài)反饋矩陣

k狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為

由此，狀態(tài)反饋矩陣

172.5綜合問題

4）確定輸入放大系數(shù)狀態(tài)反饋系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

因此由，可以求出

二、輸出反饋與極點(diǎn)配置

輸出反饋至控制輸入

1、輸出反饋至控制輸入

182.5綜合問題如上頁圖所示，閉環(huán)系統(tǒng)式中，h為

輸出反饋陣。

原系統(tǒng)其中

輸出至輸入的反饋不會(huì)改變?cè)到y(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性。只要輸出是儀器傳感器測(cè)得，系統(tǒng)總是可以實(shí)現(xiàn)的。注意：2、輸出反饋至狀態(tài)微分處

輸出反饋至狀態(tài)微分處

192.5綜合問題原系統(tǒng)如上頁圖所示，閉環(huán)系統(tǒng)式中，h為

輸出反饋陣

設(shè)計(jì)定理：輸出反饋至狀態(tài)微分處定理

用輸出至狀態(tài)微分的反饋任意配置閉環(huán)極點(diǎn)的充要條件是系統(tǒng)可觀測(cè)提示：此定理可用對(duì)偶定理來證明。定理的證明也可以用與狀態(tài)反饋配置極點(diǎn)定理證明類似的步驟進(jìn)行。202.5綜合問題三、狀態(tài)重構(gòu)與狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

反饋控制類型（方法）反饋控制能力反饋設(shè)計(jì)可實(shí)現(xiàn)性閉環(huán)極點(diǎn)任意配置條件狀態(tài)反饋至狀態(tài)微分處很強(qiáng)極差無狀態(tài)反饋至控制輸入處強(qiáng)差系統(tǒng)可控輸出反饋至控制輸入處強(qiáng)差系統(tǒng)可觀輸出反饋至狀態(tài)微分處

弱好可控可觀＋足夠的輸入與輸出，一般情況不能任意配置極點(diǎn)

輸出到狀態(tài)觀測(cè)器再到控制輸入強(qiáng)好系統(tǒng)可控可觀注意：從輸出引反饋信號(hào)和從輸入引反饋信號(hào)總是可行的。212.5綜合問題1、全維狀態(tài)觀測(cè)器及其狀態(tài)反饋系統(tǒng)組成結(jié)構(gòu)原系統(tǒng)模擬系統(tǒng)設(shè)計(jì)原理：

設(shè)計(jì)H陣，將反饋引入狀態(tài)觀測(cè)器，使和盡快衰減至零。

（6－2）用全維狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋原理222.5綜合問題2、狀態(tài)觀測(cè)器的分析與設(shè)計(jì)由圖（6－2），全維狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)方程為

故有，

式中，稱為觀測(cè)器系統(tǒng)矩陣，H為維矩陣。為了保證狀態(tài)反饋系統(tǒng)正常工作，

必須滿足

狀態(tài)誤差向量的狀態(tài)方程為

其解為

232.5綜合問題當(dāng)時(shí)，恒有，輸出反饋不起作用；當(dāng)時(shí)，有，輸出反饋便起作用，這時(shí)只要觀測(cè)器的極點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部，狀態(tài)誤差向量總會(huì)按指數(shù)衰減，衰減速率取決于觀測(cè)器的極點(diǎn)配置。

設(shè)計(jì)定理

若系統(tǒng)可觀測(cè)，則可用全維觀測(cè)器

來給出狀態(tài)估值，矩陣H可按極點(diǎn)配置的需要來設(shè)計(jì)，以決定狀態(tài)估計(jì)誤差衰減的速率。實(shí)際選擇H陣參數(shù)時(shí)，既要防止?fàn)顟B(tài)反饋失真，又要防止數(shù)值過大導(dǎo)致飽和效應(yīng)和噪聲加劇等，通常希望觀測(cè)器的響應(yīng)速度比狀態(tài)反饋系統(tǒng)的響應(yīng)速度快3～10倍為好。

提示：設(shè)計(jì)過程與方法與輸出反饋到狀態(tài)微分的系統(tǒng)相同242.5綜合問題例2.31設(shè)受控對(duì)象傳遞函數(shù)為

，試設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器，將其極點(diǎn)配置在－10，－10。

解

該單輸入－單輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)無零極點(diǎn)對(duì)消，故系統(tǒng)可控可觀測(cè)。若寫出其可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，則有

由于

，輸出反饋H為矩陣。全維觀測(cè)器的系統(tǒng)矩陣為觀測(cè)器的特征方程為

期望特征方程為

由特征方程同冪系數(shù)相等可得

分別為由引至

的反饋系數(shù)。一般來說，如果給定的系統(tǒng)模型是傳遞函數(shù)，建議按可觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)較好，這樣觀測(cè)器的極點(diǎn)總可以任意配置，從而達(dá)到滿意的效果，若用可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，則觀測(cè)器設(shè)計(jì)往往會(huì)失敗。252.5綜合問題

狀態(tài)反饋?zhàn)酉到y(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為全維狀態(tài)觀測(cè)器子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為3、狀態(tài)重構(gòu)反饋系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)故復(fù)合系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為由于，

可以得到復(fù)合系統(tǒng)的另外一種形式。262.5綜合問題由式（6－3）

，可以導(dǎo)出復(fù)合系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣為

利用分塊矩陣求逆公式

則

272.5綜合問題式（6－3）右端正是引入真實(shí)狀態(tài)作為反饋的狀態(tài)反饋系統(tǒng)

的傳遞函數(shù)矩陣。該式表明復(fù)合系統(tǒng)與狀態(tài)反饋系統(tǒng)具有相同的傳遞特性，與觀測(cè)器的部分無關(guān)，可用估值狀態(tài)代替真實(shí)狀態(tài)作為反饋。從維復(fù)合系統(tǒng)導(dǎo)出了傳遞函數(shù)矩陣，這是由于不可控造成的。復(fù)合系統(tǒng)的特征值多項(xiàng)式為

282.5綜合問題該式表明復(fù)合系統(tǒng)特征值是由狀態(tài)反饋?zhàn)酉到y(tǒng)和全維狀態(tài)觀測(cè)器的特征值組合而成的，且兩部分特征值相互獨(dú)立，彼此不受影響，因而狀態(tài)反饋矩陣K和輸出反饋矩陣H，可根據(jù)各自的要求來獨(dú)立進(jìn)行設(shè)計(jì)，故有下列定理。

設(shè)計(jì)定理

若受控系統(tǒng)S可控可觀測(cè)，用狀態(tài)觀測(cè)器估值形成狀態(tài)反饋時(shí)，其系統(tǒng)的極點(diǎn)配置和觀測(cè)器設(shè)計(jì)可分別獨(dú)立進(jìn)行。即K與H的設(shè)計(jì)可分別獨(dú)立進(jìn)行.4、降維狀態(tài)觀測(cè)器的概念

當(dāng)狀態(tài)觀測(cè)器估計(jì)狀態(tài)向量維數(shù)小于受控對(duì)象狀態(tài)向量維數(shù)時(shí)，稱為降維狀態(tài)觀測(cè)器。使用場(chǎng)合：一是系統(tǒng)不可觀測(cè)；二是不可控系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制設(shè)計(jì)；三是希望簡(jiǎn)化觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)或減小狀態(tài)估計(jì)的計(jì)算量。292.5綜合問題例2.32已知

和

,試設(shè)計(jì)特征值為－2的降維狀態(tài)觀測(cè)器。

解

(1)檢查受控系統(tǒng)可觀測(cè)性

系統(tǒng)不可觀測(cè)，實(shí)際上正是不可觀測(cè)。(2)考慮到可通過