第04章圖像變換與二維數(shù)字濾波

Slide1第4章圖像變換與二維數(shù)字濾波Slide2內容提要主要介紹圖像處理中常用的二維離散變換的定義、性質、實現(xiàn)方法及應用。經典變換——離散傅里葉變換（DFT）離散余弦變換（DCT）離散沃爾什-哈達瑪變換（DWT）K-L變換（KLT）離散小波變換（DWT）及其應用二維數(shù)字濾波的定義、設計與實現(xiàn)Slide3知識要點

余弦型變換：傅里葉變換和余弦變換。方波型變換：沃爾什-哈達瑪變換?；谔卣飨蛄康淖儞Q：K-L變換。從哈爾變換、短時傅里葉變換到小波變換。各種變換的定義和有關快速算法及實現(xiàn)方法。二維數(shù)字濾波的定義、設計與實現(xiàn)Slide44.1二維離散傅里葉變換（DFT）4.1.1二維連續(xù)傅里葉變換定義：設f(x,y)是獨立變量x和y

的函數(shù)，且在±∞上絕對可積，則定義積分

為二維連續(xù)函數(shù)f(x,y)的傅里葉變換，并定義

為F(u,v)的反變換。f(x,y)和F(u,v)為傅里葉變換對。Slide5【例4.1】求圖4.1所示函數(shù)的傅里葉變換。

解：圖4.1二維信號f(x,y)

其幅度譜為Slide6二維信號的頻譜圖（a）信號的頻譜圖（b）圖（a）的灰度圖圖4.2信號的頻譜圖

Slide74.1.2二維離散傅里葉變換尺寸為M×N的離散圖像函數(shù)的DFT

反變換可以通過對F(u,v)求IDFT獲得

Slide8F(u,v)即為f(x,y)的頻譜，通常是復數(shù)：幅度譜

相位譜

Slide9DFT幅度譜的特點

①頻譜的直流成分說明在頻譜原點的傅里葉變換F(0,0)等于圖像的平均灰度級。②幅度譜|F(u,v)|關于原點對稱。③圖像f(x,y)平移后，幅度譜不發(fā)生變化，僅有相位發(fā)生變化。Slide104.1.3二維離散傅里葉變換的性質1．變換可分離性二維DFT可以用兩個可分離的一維DFT之積表示：式中，結論：（1）二維變換可以通過先進行行變換再進行列變換的兩次一維變換來實現(xiàn)。（2）也可以通過先求列變換再求行變換得到二維傅里葉變換。Slide11圖4.4用兩次一維DFT計算二維DFTSlide122．周期性、共軛對稱性及頻譜中心化周期性和共軛對稱性來了許多方便。首先來看一維的情況。設有一矩形函數(shù),求出它的傅里葉變換：Slide13在進行DFT之前用輸入信號乘以（-1）x，便可以在一個周期的變換中求得一個完整的頻譜。

（a）幅度譜（b）原點平移后的幅度譜圖4.6頻譜圖Slide14

用(-1)x+y

乘以輸入的圖像函數(shù)，則有：原點F(0,0)被設置在u=M/2和v=N/2上。如果是一幅圖像，在原點的傅里葉變換F(0,0)等于圖像的平均灰度級，也稱作頻率譜的直流成分。Slide15圖4.7圖像頻譜的中心化（a）原始圖像(b)中心化前的頻譜圖(c)中心化后的頻譜圖3.6圖像頻譜的中心化Slide163．離散卷積定理設f(x,y)和g(x,y)是大小分別為A×B和C×D的兩個數(shù)組，則它們的離散卷積定義為卷積定理Slide17【例4.2】用MATLAB實現(xiàn)圖像的傅里葉變換。為了增強顯示效果，用對數(shù)對頻譜的幅度進行壓縮，然后將頻譜幅度的對數(shù)值用在0～10之間的值進行顯示。【解】MATLAB程序如下：I=imread('pout.tif'); %讀入圖像imshow(I); %顯示圖像F1=fft2(I); %計算二維傅里葉變換figure,imshow(log(abs(F1)+1),[010]);%顯示對數(shù)變換后的頻譜圖F2=fftshift(F1); %將直流分量移到頻譜圖的中心figure,imshow(log(abs(F2)+1),[010]);%顯示對數(shù)變換后中心化的頻譜圖Slide18

（a）原始圖像（b）圖像的頻譜圖（c）中心化的頻譜圖圖3.7傅里葉變換Slide194.2二維離散余弦變換（DCT）任何實對稱函數(shù)的傅里葉變換中只含余弦項，余弦變換是傅里葉變換的特例，余弦變換是簡化DFT的重要方法。4.2.1一維離散余弦變換將一個信號通過對折延拓成實偶函數(shù)，然后進行傅里葉變換，我們就可用2N點的DFT來產生N點的DCT。

1．以x=-1/2為對稱軸折疊原來的實序列f(n)得：Slide20-N-10N-1NN+1f(n)延拓示意圖2．以2N為周期將其周期延拓，其中f（0）＝f（－1），f（N－1）＝f（－N）fc(2N–n–1)=fc(n)

Slide213．對0到2N－1的2N個點的離散周期序列作DFT，得＝＋＝令i＝2N－m－1，則上式為＝＋＝Slide22

保證變換基的規(guī)范正交性，引入常量，定義：F(k)＝C(k)C(k)=其中DCT逆變換為Slide234.2.2二維離散余弦變換

正變換：逆變換：Slide244.2.3

二維DCT的應用典型應用是對靜止圖像和運動圖像進行性能優(yōu)良的有損數(shù)據壓縮。在靜止圖像編碼標準JPEG、運動圖像編碼標準MJPEG和MPEG等標準中都使用了8×8塊的離散余弦變換，并將結果進行量化之后進行熵編碼。DCT具有很強的能量集中在頻譜的低頻部分的特性，而且當信號具有接近馬爾可夫過程的統(tǒng)計特性時，DCT的去相關性接近于具有最優(yōu)去相關性的K-L變換的性能。Slide25【例4.3】應用MATLAB實現(xiàn)圖像的DCT變換。【解】MATLAB程序如下：I=imread('wpeppers2.png');J=rgb2gray(I);%轉換彩色圖像為灰度圖像subplot(1,2,1),imshow(J);%顯示原灰度圖像K=dct2(J);%對圖像做DCT變換subplot(1,2,2),imshow(log(abs(K))+1,[010]);%顯示DCT變換結果imshow(log(abs(C2))+1,[010]); %顯示DCT變換結果Slide26圖4.10離散余弦變換（a）wpeppers2圖像（b）wpeppers2圖像的DCT系數(shù)

Slide274.3二維離散沃爾什-哈達瑪變換（DHT）前面的變換是余弦型變換，基底函數(shù)選用的是余弦型。圖像處理中有些變換常常選用方波信號或者它的變形。沃爾什（Walsh）變換。沃爾什函數(shù)是一組矩形波，其取值為1和-1，便于計算機運算。函數(shù)有三種排列或編號方式，以哈達瑪排列最便于快速計算。采用哈達瑪排列的沃爾什函數(shù)進行的變換稱為沃爾什-哈達瑪變換，簡稱WHT或直稱哈達瑪變換。Slide284.3.1

沃爾什變換沃爾什函數(shù)系函數(shù)值僅取+1和–1兩值的非正弦型的標準正交完備函數(shù)系。由于二值正交函數(shù)與數(shù)字邏輯中的兩個狀態(tài)相對應，所以非常便于計算機和數(shù)字信號處理器運算。Slide29圖4.11沃爾什函數(shù)系的前10個函數(shù)Slide30沃爾什函數(shù)有三種排列或編號方式列率排列、佩利（Paley）排列和哈達瑪（Hadamard）排列。沃爾什變換的排列方式為列率排列。與正弦波頻率相對應，非正弦波形可用列率描述。列率表示某種函數(shù)在單位區(qū)間上函數(shù)值為零的零點個數(shù)之半。Slide31一維沃爾什變換核g(x,u)設N=2n，變換核為bk(z)代表z的二進制表示的第k位值。核是一個對稱陣列，其行和列是正交的。Slide32一維沃爾什變換正變換：逆變換：Slide33二維沃爾什變換正變換：逆變換：Slide34【例4.5】求圖像f的DWT，并反求f。【解】W=GfG，采用MATLAB程序求解W。f=[2552;3333;3333;2551];G=[1111;11-1-1;1-1-11;1-11-1];W=(1/16)*G*f*GSlide35運行結果為W=3.1875 0.0625-0.8125 0.06250.0625-0.06250.0625-0.06250.1875 0.0625-0.8125 0.06250.0625-0.06250.0625-0.0625Slide36反求f的程序如下：W=[3.18750.0625-0.81250.0625;0.0625-0.06250.0625-0.0625;0.18750.0625-0.81250.0625;0.0625-0.06250.0625-0.0625]G=[1111;11-1-1;1-1-11;1-11-1];f=G*W*GSlide37運行結果為f=2552333333332551Slide384.3.2哈達瑪變換哈達瑪矩陣：元素僅由＋1和－1組成的正交方陣。正交方陣：指它的任意兩行（或兩列）都彼此正交，或者說它們對應元素之和為零。哈達瑪變換要求圖像的大小為N＝2n

。一維哈達瑪變換核為其中，bk(z)

代表z的二進制表示的第k位值。Slide39一維、二維哈達瑪正、逆變換一維哈達瑪正變換一維哈達瑪逆變換二維哈達瑪正變換二維哈達瑪逆變換Slide40二維哈達瑪正、逆變換具有相同形式正反變換都可通過兩個一維變換實現(xiàn)。高階哈達瑪矩陣可以通過如下方法求得：N＝8的哈達瑪矩陣為Slide414.4卡胡南-列夫變換（K-L變換）Kahunen-Loeve變換是在均方意義下的最佳變換。優(yōu)點：能夠完全去除原信號中的相關性，因而具有非常重要的理論意義。缺點：基函數(shù)取決于待變換圖像的協(xié)方差矩陣，因而基函數(shù)的形式是不定的，且計算量很大。Slide42設原圖像為X，采用KLT恢復的圖像，則和原圖像X具有最小的均方誤差ε，即對第i次獲得的圖像fi(x,y)可以用N2維向量Xi表示：Slide43Cx是一個N2×N2的實對稱矩陣。令i和ai（i=1,2,…,N2）分別為Cx的第i個特征值和特征向量，其特征向量構成的矩陣是一個正交矩陣Slide44ATCxA=A?1CxA=

（3.51）為Cx的特征值構成的對角線矩陣。K-L變換選取一個上述的正交變換A，使得變換后的圖像Y滿足

Y=A(X

－

mx)

（3.52）優(yōu)點：能夠完全去除原信號中的相關性，因而具有重要的理論意義。缺點：計算量很大。Slide454.5二維離散小波變換小波分析是20世紀80年代開始逐漸發(fā)展成熟的應用數(shù)學的一個分支。主要特點：對時間（二維信號為空間）-頻率的雙重分析和多分辨率分析能力。被譽為“數(shù)學顯微鏡”，在信號和圖像處理等領域具有重要的應用價值。Slide464.5.1

小波分析的思想來源哈爾提出了一種正交歸一化函數(shù)系，以其作為正交規(guī)范基的哈爾變換收斂均勻而迅速，在圖像信息壓縮和特征編碼等方面獲得應用。哈爾變換特點：（1）具有尺度和位移兩個特性；（2）變換范圍窄；（3）變換特性與圖像邊界的特性十分接近。Slide47圖4.12Haar函數(shù)系的前幾個函數(shù)波形Haar函數(shù)的定義域t為[0,1]，可將它延拓到整個時間軸。Haar函數(shù)表示為har(2p

+n,t)，其中p=1,2,…,；n=0,1,…,2p–1。Slide48窗口傅里葉變換（WFT）信號f(x)的窗口傅里葉變換定義為WFT的重構公式為常見的窗函數(shù)具有相對短的時間窗寬，例如可選為高斯函數(shù)，所以WFT也稱為短時傅里葉變換（STFT）。Slide49WFT的不足窗口傅里葉變換是一種大小及形狀均固定的時頻化分析。實際信號進行時間和頻率分析時，分辨率往往是相對的，即反映信號高頻成分需要較高的時間分辨率，因此窗函數(shù)寬度應該窄一些，而反映低頻成分則需要較高的頻率分辨率，窗函數(shù)寬度應該寬一些。窗口傅里葉變換不能滿足上述要求。Slide504.5.2

連續(xù)小波變換小波變換的窗口具有大?。娣e）固定但形狀可改變的特點，能滿足上述時-頻局部化分析的要求。按如下方式生成的函數(shù)族為連續(xù)小波（分析小波）：

(x)稱為基本小波或母波a稱為伸縮因子，b為平移因子。母波可由平移與尺度變換構造小波基函數(shù)。

Slide51圖4.13小波函數(shù)的平移與擴展Slide52信號的連續(xù)小波變換正變換：反變換：Slide534.5.3

一維離散小波變換把連續(xù)小波變換離散化更有利于實際應用。對a和b按如下規(guī)律取樣：其中；；，得離散小波：

離散小波變換和逆變換為Slide544.5.4

二維離散小波變換信號f(x,y)的連續(xù)小波變換Wf

(a,bx,by)為由Wf

(a,bx,by)重構f(x,y)的小波逆變換為定義二維離散小波變換逼近，并采用Mallat二維快速算法求解。與DFT類似，可分離二維小波變換最終可轉化為兩次一維小波變換。Slide55圖4.14可分離二維小波變換的頻率域分解（a）1層分解（b）2層分解（c）3層分解Slide56重構算法按相反的步驟進行這樣就構成了2DDWT的金字塔結構。由于小波變換的理論和算法比較復雜，從應用的角度看，讀者可以將注意力集中在用MATLAB對圖像進行小波變換和重構的實現(xiàn)過程中。Slide57【例4.6】對圖像實現(xiàn)小波變換bior3.7是雙正交樣條小波對應的濾波器。圖像：wbarb.mat?！窘狻縈ATLAB程序如下：loadwbarb;% %從磁盤調入磁盤文件wbarb.matimage(X); %將矩陣X顯示為圖像.colormap(map); %配合函數(shù)image()畫出連續(xù)的灰度圖[cA1,cH1,cV1,cD1]=dwt2(X,'bior3.7');%對X進行DWT，bior3.7是雙正交樣條小波對應的濾波器A1=upcoef2('a',cA1,'bior3.7',1);H1=upcoef2('h',cV1,'bior3.7',1);V1=upcoef2('v',cV1,'bior3.7',1);D1=upcoef2('d',cD1,'bior3.7',1);Slide58figure;colormap(map);subplot(2,2,1);image(wcodemat(A1,180));title('ApproximationA1')subplot(2,2,2);image(wcodemat(H1,255));title('HorizontalDetailH1')subplot(2,2,3);image(wcodemat(V1,255));title('VerticalDetailV1')subplot(2,2,4);image(wcodemat(D1,255));title('DiagonalDetailD1')Y=2.0*IDWT2(A1,H1,V1,D1,'bior3.7');Y=imresize(Y,0.5);figure;image(Y);colormap(map);Slide59圖4.15一層小波變換

（a）原圖像（b）逆變換后的圖像Slide60圖4.15一層小波變換（c）一層小波變換的4個分量Slide614.6二維數(shù)字濾波器尺寸為M×N的待處理輸入為f(x,y)，其DFT為F(u,v)；系統(tǒng)的單位脈沖響應為h(x,y)，其