第四節(jié)：冪級數(shù)

第四節(jié)冪級數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)的概念稱為定義在U上的（函數(shù)項）無窮級數(shù)，（1）簡稱級數(shù)。（2）對于每一個確定的（2）即為一常數(shù)項級數(shù)?？紤]區(qū)間U上的一個函數(shù)序列代入（1）式得（1）（2）對于每一個確定的代入（1）式得若（2）收斂，則稱為函數(shù)項級數(shù)（1）的收斂點，若（2）發(fā)散，則稱為函數(shù)項級數(shù)（1）的發(fā)散點，所有收斂點的全體稱為（1）的收斂域，記為散點的全體稱為（1）的發(fā)散域，記為所有發(fā)常數(shù)項級數(shù)都收斂，其和記為（1）所有收斂點的全體稱為（1）的收斂域，記為散點的全體稱為（1）的發(fā)散域，記為所有發(fā)常數(shù)項級數(shù)都收斂，其和記為即稱s(x)為（1）的和函數(shù)，和函數(shù)的定義域即為I。兩個基本問題：（1）如何確定（1）的收斂域？（2）如何在收斂域上求（1）的和函數(shù)？二、冪級數(shù)及收斂性（1）當（2）在變量代換的冪級數(shù)，時，上述冪級數(shù)成為下，（1）就化為（2）了形如的函數(shù)項級數(shù)稱為（2）對于冪級數(shù)（2），（1）如何確定它的收斂域

I；（2）在收斂域內(nèi)，如何求它的和函數(shù)

s(x)。主要有兩個問題:考察冪級數(shù)這是公比為x的幾何級數(shù)，（1）當|x|<1時，級數(shù)收斂，（2）當|x|1時，級數(shù)發(fā)散，（1）所以（1）的收斂域為（1）的發(fā)散域為在收斂域內(nèi)，（1）的和函數(shù)為即（1）的收斂域是一個以原點為中心的對稱區(qū)間。又例：解：將該冪級數(shù)看成參數(shù)為x的任意項常數(shù)級數(shù)，并用常數(shù)項級數(shù)收斂性判別法進行判別。結(jié)論：當|x|<1時，級數(shù)收斂，當|x|>1時發(fā)散當x=–1時，級數(shù)收斂。當x=1時級數(shù)發(fā)散。特點：除去端點–1外，收斂域I是以原點為中心的對稱區(qū)間。收斂域為收斂域的上述特點對一般的冪級數(shù)也成立的。定理1（阿貝爾定理）：如果級數(shù)時收斂，時，反之，如果級數(shù)當則當冪級數(shù)絕對收斂當時發(fā)散，時，則當冪級數(shù)發(fā)散。定理1的幾何解釋：（1）冪級數(shù)的收斂點都集中在以原點為中心的左右兩側(cè)。（2）推論：如果級數(shù)使得（1）當|x|<R時，不是僅在x=0一點收斂，也不是在整個數(shù)軸上收斂，則必有一個確定的正數(shù)R

絕對收斂，（2）當|x|>R時，發(fā)散，（3）當x=

R時，可能收斂，也可能發(fā)散稱上述R為收斂區(qū)間的收斂半徑，為收斂區(qū)間+收斂的端點規(guī)定：僅在x=0處收斂，則（2）若在整個數(shù)軸上收斂，則=收斂域（1）若問題：如何求的收斂半徑？定理2：考慮冪級數(shù)如果其中，是級數(shù)相鄰兩項的系數(shù)，則求冪級數(shù)（1）利用極限（2）判定冪級數(shù)在端點確定收斂半徑R

處的收斂性，收斂域的一般步驟：（3）收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點。及收斂區(qū)間例1：當x=–1時，當x=1時，交錯級數(shù)且收斂

，所以，所求收斂域為：發(fā)散解：例2：求冪級數(shù)的收斂域解：例3：求冪級數(shù)的收斂域解：t=–1，交錯級數(shù)且收斂，t=1，調(diào)和級數(shù)且發(fā)散例4：求冪級數(shù)的收斂域解：當x=2時，原級數(shù)成為發(fā)散，故×理由：原級數(shù)中缺少偶數(shù)次冪的項：所以R=2，實際上解：因原級數(shù)為缺項級數(shù)，定理2不能直接應用。此時要用任意常數(shù)項級數(shù)的比值判別法來求例4：求冪級數(shù)的收斂域當即當即時，級數(shù)收斂時，時，發(fā)散，時，解：例4：求冪級數(shù)的收斂域當即當即時，級數(shù)收斂時，時，發(fā)散，時，當發(fā)散所以原級數(shù)的收斂域為時，原級數(shù)成為解：例5：求冪級數(shù)的收斂域冪級數(shù)缺少奇次冪的項，所以原級數(shù)的收斂域為原級數(shù)成為也可先作變量替換：可按例4的方法處理這是關于t的冪級數(shù)，且沒有缺項可直接用定理2求收斂半徑和收斂域：（二）冪級數(shù)性質(zhì)性質(zhì)1：如果兩個冪級數(shù)的收斂半徑分別為則有且收斂半徑R滿足：性質(zhì)2：冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在收斂域I上連續(xù)；例如：收斂域為：故其和函數(shù)s(x)在上連續(xù)性質(zhì)3：冪級數(shù)逐項積分后所得級數(shù)的和函數(shù)s(x)在收斂域I上可積，并有逐項積分公式其收斂半徑與原級數(shù)相同。并求常數(shù)項級數(shù)解：級數(shù)成為發(fā)散所以收斂域為例1：求的收斂域及和函數(shù)，的和。設冪級數(shù)在I上的和函數(shù)為s(x),則例1：求并求常數(shù)項級數(shù)解：的收斂域及和函數(shù)，的和。例1：求并求常數(shù)項級數(shù)解：的收斂域及和函數(shù)，的和。例1：求并求常數(shù)項級數(shù)解：的收斂域及和函數(shù)，的和。性質(zhì)4：冪級數(shù)逐項求導后所得級數(shù)的和函數(shù)s(x)在收斂區(qū)間內(nèi)可導，并有逐項求導公式其收斂半徑與原級數(shù)相同。例2：求的和函數(shù)解