第四節(jié)二重積分的應(yīng)用

第三節(jié)一、立體體積二、曲面的面積三、物體的質(zhì)心四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量五、物體的引力重積分的應(yīng)用2023/2/21.能用重積分解決的實(shí)際問題的特點(diǎn)所求量是對(duì)區(qū)域具有可加性

從積分定義出發(fā)建立積分式

用微元分析法(元素法)分布在有界閉域上的整體量3.解題要點(diǎn)畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、定出積分限、計(jì)算要簡(jiǎn)便2.用重積分解決問題的方法一、立體體積

曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為任一點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積V.解:曲面的切平面方程為它與曲面的交線在

xoy

面上的投影為(記所圍域?yàn)镈)在點(diǎn)例1.

求曲面二、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面的面積dA無(wú)限積累而成.設(shè)它在D

上的投影為d

,(稱為面積元素)則故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為隱式則則有且例2.設(shè)半徑為r的球，其球心在半徑為a的定球面上.求r的值，使得半徑為r的球的位于定球內(nèi)部的部分的面積最大。解:兩球的交線為建立坐標(biāo)系.三、平面薄板的質(zhì)量、質(zhì)心與形心設(shè)平面有n個(gè)質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量分別由力學(xué)知,該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)設(shè)平面薄板占有區(qū)域D

,有連續(xù)密度函數(shù)分別位于為為將D

分成

n

小塊,將第k塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)例如,令各小區(qū)域的最大直徑系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo).的質(zhì)點(diǎn),即得此質(zhì)點(diǎn)在第k塊上任取一點(diǎn)同理可得則得形心坐標(biāo)：2、形心坐標(biāo)

當(dāng)積分區(qū)域?yàn)橐?guī)則圖形（面積與形心坐標(biāo)很容易得到）時(shí)，可用面積與形心坐標(biāo)表示二重積分。即注：重積分計(jì)算的基本技巧1、利用對(duì)稱性

例3.求位于兩圓和的質(zhì)心.解:利用對(duì)稱性可知而之間均勻薄片例4.計(jì)算二重積分其中D是由曲所圍成的平面域.解:其形心坐標(biāo)為:面積為:積分區(qū)域線形心坐標(biāo)四、平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量位于(x,y)處的微元因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和,故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用積分計(jì)算.平面薄片,面密度為例7.求半徑為a的均勻半圓薄片對(duì)其直徑解:建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片的質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量