第四章相似原理與量綱分析

工程流體力學(xué)對(duì)于復(fù)雜的實(shí)際工程問題，直接應(yīng)用基本方程求解，在數(shù)學(xué)上極其困難，因此需有賴于實(shí)驗(yàn)研究來解決。本章主要闡述有關(guān)實(shí)驗(yàn)研究的基本理論和方法，包括流動(dòng)相似原理，相似準(zhǔn)則，量綱和諧原理及量綱分析方法等。

第四章相似原理與量綱分析

本章主要介紹流體力學(xué)中的相似原理，模型實(shí)驗(yàn)方法以及量綱分析法。

解決流體力學(xué)問題的方法數(shù)學(xué)分析

實(shí)驗(yàn)研究

模型實(shí)驗(yàn)以相似原理為基礎(chǔ)第一節(jié)流動(dòng)的力學(xué)相似

表征流動(dòng)過程的物理量

描述幾何形狀的如長(zhǎng)度、面積、體積等

描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的如速度、加速度、體積流量等

描述動(dòng)力特征的如質(zhì)量力、表面力、動(dòng)量等

按性質(zhì)分幾何相似運(yùn)動(dòng)相似動(dòng)力相似流動(dòng)相似應(yīng)滿足的條件原型：天然水流和實(shí)際建筑物稱為原型。

模型：通常把原型（實(shí)物）按一定比例關(guān)系縮?。ɑ蚍糯螅┑拇砦铮Q為模型。水力學(xué)模型試驗(yàn)：是依據(jù)相似原理把水工建筑物或其它建筑物的原型按一定比例縮小制成模型，模擬與天然情況相似的水流進(jìn)行觀測(cè)和分析研究，然后將模型試驗(yàn)的成果換算和應(yīng)用到原型中，分析判斷原型的情況。

水力學(xué)模型試驗(yàn)的目的：利用模型水流來模擬和研究原型水流問題。關(guān)鍵問題：模型水流和原型水流保持流動(dòng)相似。

流動(dòng)相似：兩個(gè)流動(dòng)的相應(yīng)點(diǎn)上的同名物理量（如速度、壓強(qiáng)、各種作用力等）具有各自的固定比例關(guān)系，則這兩個(gè)流動(dòng)就是相似的。

模型和原型保證流動(dòng)相似，應(yīng)滿足：

幾何相似

運(yùn)動(dòng)相似

動(dòng)力相似

初始條件和邊界條件相似:初始條件：適用于非恒定流。

邊界條件：有幾何、運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力三個(gè)方面的因素。如固體邊界上的法線流速為零，自由液面上的壓強(qiáng)為大氣壓強(qiáng)等

。

一幾何相似（空間相似）定義：

模型和原型的全部對(duì)應(yīng)線形長(zhǎng)度的

比值為一定常數(shù)。（4-1）以上標(biāo)“＇”表示模型的有關(guān)量

:長(zhǎng)度比例尺（相似比例常數(shù)）面積比例尺:（4-2）體積比例尺:（4-3）圖4-1幾何相似滿足上述條件，流動(dòng)才能幾何相似

二運(yùn)動(dòng)相似（時(shí)間相似）定義：滿足幾何相似的流場(chǎng)中，對(duì)應(yīng)時(shí)刻、對(duì)應(yīng)點(diǎn)流速（加速度）的方向一致，大小的比例相等，即它們的速度場(chǎng)（加速度場(chǎng)）相似。圖4-2速度場(chǎng)相似時(shí)間比例尺:速度比例尺:（4-4）（4-5）運(yùn)動(dòng)粘度比例尺:體積流量比例尺:加速度比例尺:（4-6）（4-7）（4-8）長(zhǎng)度比例尺和速度比例尺確定所有運(yùn)動(dòng)學(xué)量的比例尺。三動(dòng)力相似（時(shí)間相似）定義：兩個(gè)運(yùn)動(dòng)相似的流場(chǎng)中，對(duì)應(yīng)空間點(diǎn)上、對(duì)應(yīng)瞬時(shí)，作用在兩相似幾何微團(tuán)上的力，作

用方向一致、大小互成比例，即它們的動(dòng)力場(chǎng)相似。力的比例尺:圖4-3

動(dòng)力場(chǎng)相似（4-9）（4-10）又由牛頓定律可知：

其中：為流體的密度比例尺。

壓強(qiáng)（應(yīng)力）比例尺:力矩（功，能）比例尺:（4-11）（4-12）動(dòng)力粘度比例尺:功率比例尺:（4-13）（4-14）有了模型與原型的密度比例尺，長(zhǎng)度比例尺和速度比例尺，就可由它們確定所有動(dòng)力學(xué)量的比例尺。

動(dòng)力相似準(zhǔn)則：在兩相似的流動(dòng)中，各種力之間保持固定不變的比例關(guān)系。流體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變是慣性力和其他各種作用力相互作用的結(jié)果。因此，各種作用力之間的比例關(guān)系應(yīng)以慣性力為一方來相互比較。慣性力定義：在幾何相似的條件下，兩種物理現(xiàn)象保證相似的條件或準(zhǔn)則

。第二節(jié)動(dòng)力相似準(zhǔn)則

由式(4-10)

得:

（4-15）（4-16）（4-17）當(dāng)模型與原型的動(dòng)力相似，則其牛頓數(shù)必定相等，即；反之亦然。這就是牛頓相似準(zhǔn)則。

稱為牛頓數(shù)，它是作用力與慣性力的比值。

或:

令:

兩個(gè)相似流動(dòng)的牛頓數(shù)應(yīng)相等，這是流動(dòng)相似的重要標(biāo)志和準(zhǔn)則，稱為牛頓數(shù)相似準(zhǔn)則。

完全的動(dòng)力相似，要求慣性力與其他力比值都相等，但實(shí)際上不可能達(dá)到，所以常選一個(gè)對(duì)流動(dòng)起決定作用的力給予滿足。一、重力相似準(zhǔn)則（弗勞德準(zhǔn)則）二、粘性力相似準(zhǔn)則（雷諾準(zhǔn)則）三、壓力相似準(zhǔn)則（歐拉準(zhǔn)則）四、彈性力相似準(zhǔn)則(柯西準(zhǔn)則)五、表面張力相似準(zhǔn)則（韋伯準(zhǔn)則）六、非定常性相似準(zhǔn)則（斯特勞哈爾準(zhǔn)則）

流場(chǎng)中有各種性質(zhì)的力，但不論是哪種力，只要兩個(gè)流場(chǎng)動(dòng)力相似，它們都要服從牛頓相似準(zhǔn)則。一、重力相似準(zhǔn)則將重力比代入式(4-15)得：或:

令:

（4-18）（4-19）（4-20）

稱為弗勞德數(shù)，它是慣性力與重力的比值。

當(dāng)模型與原型的重力相似，則其弗勞德數(shù)必定相等，即；反之亦然。這就是重力相似準(zhǔn)則（弗勞德準(zhǔn)則）。

重力場(chǎng)中，則：（a）（4-15）二、粘性力相似準(zhǔn)則將粘性力之比代入式(4-15)得：或:

令:

（4-21）（4-22）（4-23）（b）

稱為雷諾數(shù)，它是慣性力與粘性力的比值。

當(dāng)模型與原型的粘性力相似，則其雷諾數(shù)必定相等，即；反之亦然。這就是粘性力相似準(zhǔn)則（雷諾準(zhǔn)則）。

模型與原型用同一種流體時(shí)，，則：（4-15）三、壓力相似準(zhǔn)則或:

令:

（4-24）（4-25）（4-26）當(dāng)壓強(qiáng)用壓差代替：將壓力比代入式(4-15)得：

稱為歐拉數(shù)，它是總壓力與慣性力的比值。

當(dāng)模型與原型的壓力相似，則其歐拉數(shù)必定相等，即；反之亦然。這就是壓力相似準(zhǔn)則（歐拉準(zhǔn)則）。

（4-27）（4-28）歐拉數(shù):

歐拉相似準(zhǔn)則:

（4-15）四、彈性力相似準(zhǔn)則將彈性力之比帶入式(4-15)得：（4-29）或:

（4-30）令:

（4-31）

稱為柯西數(shù)，它是慣性力與彈性力的比值。

當(dāng)模型與原型的彈性力相似，則其柯西數(shù)必定相等，即；反之亦然。這就是彈性力相似準(zhǔn)則（柯西準(zhǔn)則）。

（4-15）四、彈性力相似準(zhǔn)則若流場(chǎng)中的流體為氣體，由于

（為聲速）則彈性力之比帶入式(4-15)得：（4-32）或:

（4-33）令:

（4-34）

稱為馬赫數(shù)，它是慣性力與彈性力的比值。

當(dāng)模型與原型的彈性力相似，則其馬赫數(shù)必定相等，即；反之亦然。這就是彈性力相似準(zhǔn)則（馬赫準(zhǔn)則）。

（4-15）五、表面張力相似準(zhǔn)則將表面張力之比代入式(4-15)得：（4-35）或:

（4-36）令:

（4-37）

稱為韋伯?dāng)?shù)，它是慣性力與表面張力的比值。

當(dāng)模型與原型的表面張力相似，則其韋伯?dāng)?shù)必定相等，即；反之亦然。這就是表面張力相似準(zhǔn)則（韋伯準(zhǔn)則）。

（4-15）六、非定常性相似準(zhǔn)則或:

令:

（4-38）（4-39）（4-40）將慣性力之比代入式(4-15)得：

稱為斯特勞哈爾數(shù)，它是當(dāng)?shù)貞T性力與遷移慣性力的比值。

當(dāng)模型與原型的非定常流動(dòng)相似，則其斯特勞哈爾數(shù)必定相等，即；反之亦然。這就是非定常相似準(zhǔn)則（斯特勞哈爾準(zhǔn)則）。

（4-15）

以上給出的牛頓數(shù)、弗勞德數(shù)、雷諾數(shù)、歐拉數(shù)、柯西數(shù)、馬赫數(shù)、韋伯?dāng)?shù)、斯特勞哈爾數(shù)均稱為相似準(zhǔn)則數(shù)。

如果已經(jīng)有了某種流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，可由該方程直接導(dǎo)出有關(guān)的相似準(zhǔn)則和相似準(zhǔn)則數(shù)，方法是令方程中的有關(guān)力與慣性力相比。第三節(jié)流動(dòng)相似條件

流動(dòng)相似：在對(duì)應(yīng)點(diǎn)上、對(duì)應(yīng)瞬時(shí)，所有物理量都成比例。

相似流動(dòng)必然滿足以下條件：

1．任何相似的流動(dòng)都是屬于同一類的流動(dòng)，相似流場(chǎng)對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的各種物理量，都應(yīng)為相同的微分方程所描述；2．相似流場(chǎng)對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的各種物理量都有唯一確定的解，即流動(dòng)滿足單值條件；3．由單值條件中的物理量所確定的相似準(zhǔn)則數(shù)相等是流動(dòng)相似也必須滿足的條件。模型實(shí)驗(yàn)主要解決的問題

：

1．根據(jù)物理量所組成的相似準(zhǔn)則數(shù)相等的原則去設(shè)計(jì)模型，選擇流動(dòng)介質(zhì)；

2．在實(shí)驗(yàn)過程中應(yīng)測(cè)定各相似準(zhǔn)則數(shù)中包含的一切物理量；

3．用數(shù)學(xué)方法找出相似準(zhǔn)則數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，即準(zhǔn)則方程式。該方程式便可推廣應(yīng)用到原型及其他相似流動(dòng)中去。

圖4-4

油池模型

第四節(jié)近似模擬試驗(yàn)

以相似原理為基礎(chǔ)的模型實(shí)驗(yàn)方法，按照流體流動(dòng)相似的條件，可設(shè)計(jì)模型和安排試驗(yàn)。這些條件是幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似。前兩個(gè)相似是第三個(gè)相似的充要條件，同時(shí)滿足以上條件為流動(dòng)相似，模型試驗(yàn)的結(jié)果方可用到原型設(shè)備中去。

運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)相等簡(jiǎn)化模型實(shí)驗(yàn)方法中流動(dòng)相似的條件，除局部相似之外，還可采用自模化特性和穩(wěn)定性。在工程實(shí)際中的模型試驗(yàn)，好多只能滿足部分相似準(zhǔn)則，即稱之為局部相似。如上面的粘性不可壓定常流動(dòng)的問題，不考慮自由面的作用及重力的作用，只考慮粘性的影響，則定性準(zhǔn)則只考慮雷諾數(shù)Re，因而模型尺寸和介質(zhì)的選擇就自由了。

自?；母拍顚?shí)質(zhì)是自身模擬的概念。比如在某系統(tǒng)中，有兩個(gè)數(shù)與其它量比起來都很大，則可認(rèn)為這兩個(gè)數(shù)自模擬了。又比如，在圓管流動(dòng)中，當(dāng)Re≤2320時(shí)，管內(nèi)流動(dòng)的速度分布都是一軸對(duì)稱的旋轉(zhuǎn)拋物面。當(dāng)Re>4×105管內(nèi)流動(dòng)狀態(tài)為紊流狀態(tài)，其速度分布基本不隨Re變化而變化，故在這一模擬區(qū)域內(nèi)，不必考慮模型的Re與原型的Re相等否，只要與原型所處同一?；瘏^(qū)即可。圖4-5弧型閘門

圖4-6內(nèi)裝蝶閥的管道

第五節(jié)量綱分析法

一、物理方程量綱一致性原則二、瑞利法三、

定理

一、物理方程量綱一致性原則

1、討論理論力學(xué)時(shí)，基本單位（量綱）有三個(gè)：

質(zhì)量(M)、時(shí)間(T)、長(zhǎng)度(L)；

物理量單位的種類叫量綱，由基本單位和導(dǎo)出單位組成單位系統(tǒng)。

3、運(yùn)動(dòng)學(xué)問題有兩個(gè)基本單位（量綱）：

時(shí)間(T)、長(zhǎng)度(L)。

2、討論流體力學(xué)和熱力學(xué)時(shí)，基本單位（量綱）有四個(gè)：

質(zhì)量(M)、時(shí)間(T)、長(zhǎng)度(L)、溫度()；

物理量的量綱分為基本量綱和導(dǎo)出量綱。任一物理量的量綱表示為dim

。

流體力學(xué)中常遇到的用基本量綱表示的導(dǎo)出量綱有：任何一個(gè)物理方程中各項(xiàng)的量綱必定相同，用量綱表示的物理方程必定是齊次性的，這便是物理方程量綱一致性原則。既然物理方程中各項(xiàng)的量綱相同，那么，用物理方程中的任何一項(xiàng)通除整個(gè)方程，便可將該方程化為零量綱方程。

定理。

量綱分析法正是依據(jù)物理方程量綱一致性原則，從量綱分析入手，找出流動(dòng)過程的相似準(zhǔn)則數(shù)，并借助實(shí)驗(yàn)找出這些相似準(zhǔn)則數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。根據(jù)相似原理，用量綱分析法，結(jié)合實(shí)驗(yàn)研究，不僅可以找出尚無物理方程表示的復(fù)雜流動(dòng)過程的流動(dòng)規(guī)律，而且找出的還是同一類相似流動(dòng)的普遍規(guī)律。因此，量綱分析法是探索流動(dòng)規(guī)律的重要方法。常用的量綱分析法有瑞利法和

定理。二、瑞利法圖4-7三角堰

三、定理又稱為泊金漢（E.Buckingham）定理

。

本章小結(jié):1.兩液流流動(dòng)相似必須滿足：（1）幾何相似——原形和模型兩個(gè)流場(chǎng)的幾何形狀相似；

（2）運(yùn)動(dòng)相似——原形和模型兩個(gè)流場(chǎng)的速度場(chǎng)相似；

（3）動(dòng)力相似——原形和模型兩個(gè)流場(chǎng)中各相應(yīng)質(zhì)點(diǎn)所受的同名方向相同，大小成一固定比例；

（4）初始條件和邊界條件相似；2.相似準(zhǔn)則：Re相似準(zhǔn)則、Fr相似準(zhǔn)則、Eu相似準(zhǔn)則

原型和模型中采用同一種流體時(shí)，不能同時(shí)滿足重力相似和粘滯力相似；所以只要相應(yīng)點(diǎn)的粘滯力或重力相似，壓強(qiáng)會(huì)自行相似。

3.基本量綱——具有獨(dú)立性的，不能由其他量綱推導(dǎo)出來的量綱。一般取[L-M-T]。誘導(dǎo)量綱——由基本量綱導(dǎo)出的量綱。[X]=[Lα，Tβ，Mγ]。4.量綱和諧原理——凡是正確反映客觀物理方程，其各項(xiàng)的量綱都必須是一致的，即只是方程兩邊量綱相同，方程才能成立。5.量綱分析兩種方法雷利法——直接應(yīng)用量綱和諧原理來求解，適用于較簡(jiǎn)單問題。

π定理——具有普遍性的方法。關(guān)鍵在于正確選擇基本量。1.雷利法：雷利法是量綱和諧原理的直接應(yīng)用

雷利法的計(jì)算步驟：

1.確定與所研究的物理現(xiàn)象有關(guān)的n個(gè)物理量；2.寫出各物理量之間的指數(shù)乘積的形式，如：FD=kDx

Uyρz

μa

3.根據(jù)量綱和諧原理，即等式兩端的量綱應(yīng)該相同，確定物理量的指數(shù)x,y,z,a

，代入指數(shù)方程式即得各物理量之間的關(guān)系式。

應(yīng)用范圍：一般