對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算

對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算第一頁，共三十三頁，2022年，8月28日1．問題的提出：截止到1999年底，我們?nèi)丝诩s13億，如果今后能將人口年平均均增長率控制在1%，那么經(jīng)過x年后，我國人口數(shù)最多為多少（精確到億）？

引入這是已知底數(shù)和冪的值，求指數(shù)的問題。即指數(shù)式中，已知a

和N,求b的問題。（這里a>0且a≠1

）問：哪一年的人口數(shù)可達(dá)到18億，20億？第二頁，共三十三頁，2022年，8月28日

一般地，如果，那么數(shù)x

叫做以a為底N的對數(shù)，記作其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。對數(shù)新課教學(xué)第三頁，共三十三頁，2022年，8月28日常用對數(shù)：我們通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)。為了簡便,N的常用對數(shù)簡記作.自然對數(shù)：

在科學(xué)技術(shù)中常常使用以無理數(shù)e=2.71828……為底的對數(shù)，以e為底的對數(shù)叫自然對數(shù)。并且把簡記作。新課教學(xué)第四頁，共三十三頁，2022年，8月28日例如：

根據(jù)對數(shù)的定義，可以得到對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系：當(dāng)a＞0，a≠1時，新課教學(xué)第五頁，共三十三頁，2022年，8月28日1.是不是所有的實(shí)數(shù)都有對數(shù)？logaN＝x中的N可以取哪些值？負(fù)數(shù)與零沒有對數(shù)，即：N>02.根據(jù)對數(shù)的定義以及對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，loga1＝?logaa＝?loga1＝0，logaa＝1

在ax＝N

中,x=logaN，則有3.對數(shù)恒等式(a＞0,a≠1)思考與探究第六頁，共三十三頁，2022年，8月28日例1.將下列指數(shù)式化為對數(shù)式，對數(shù)式化為指數(shù)式：

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)解：范例第七頁，共三十三頁，2022年，8月28日例2.求下列各式中x的值：

(1)(2)(3)(4)解：(1)因?yàn)樗?2)因?yàn)樗?3)因?yàn)樗杂谑?4)因?yàn)樗杂谑欠独诎隧?，共三十三頁?022年，8月28日思考：概念鞏固第九頁，共三十三頁，2022年，8月28日求log(1－2x)(3x＋2)中的x的取值范圍．練習(xí)：第十頁，共三十三頁，2022年，8月28日問題提出：對數(shù)源于指數(shù)，對數(shù)和指數(shù)式怎樣互化的？指數(shù)與對數(shù)都是一種運(yùn)算，而且它們互為逆運(yùn)算，指數(shù)運(yùn)算有一系列性質(zhì)，那么對數(shù)運(yùn)算有那些性質(zhì)呢？第十一頁，共三十三頁，2022年，8月28日知識探究（一）：積與商的對數(shù)思考1:求下列三個對數(shù)的值：，，.你能發(fā)現(xiàn)這三個對數(shù)之間有哪些內(nèi)在聯(lián)系？思考2:將推廣到一般情形有什么結(jié)論?思考3:如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，你能證明等式成立嗎？思考4:若a＞0，且a≠1，均大于0，則

第十二頁，共三十三頁，2022年，8月28日(1)設(shè)由對數(shù)的定義可以得：∴MN=即證得證明：新課教學(xué)第十三頁，共三十三頁，2022年，8月28日(2)設(shè)由對數(shù)的定義可以得：即證得∴證明：新課教學(xué)第十四頁，共三十三頁，2022年，8月28日知識探究（二）:冪的對數(shù)思考1:和有什么關(guān)系?推廣到一般情形呢?思考2:如果a>0，且a≠1，M>0，你有什么方法證明等式成立．思考3:

對任意實(shí)數(shù)恒成立嗎？思考4:如果a>0，且a≠1，M>0，則等于什么？第十五頁，共三十三頁，2022年，8月28日(3)設(shè)由對數(shù)的定義可以得：∴即證得證明：新課教學(xué)第十六頁，共三十三頁，2022年，8月28日積、商、冪的對數(shù)運(yùn)算法則：如果a>0，a1，M>0，N>0

有：上述證明是運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想：（1）先通過假設(shè)，將對數(shù)式化成指數(shù)式，（2）利用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行恒等變形；（3）再根據(jù)對數(shù)定義將指數(shù)式化成對數(shù)式。（4）歸納小結(jié)：第十七頁，共三十三頁，2022年，8月28日上述關(guān)于對數(shù)運(yùn)算的三個基本性質(zhì)如何用文字語言描述？兩數(shù)積的對數(shù),等于各數(shù)的對數(shù)的和；兩數(shù)商的對數(shù),等于被除數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù)；冪的對數(shù)等于冪指數(shù)乘以底數(shù)的對數(shù)．第十八頁，共三十三頁，2022年，8月28日其他重要公式2:由對數(shù)的定義可以得：證明：設(shè)即證得這個公式叫做換底公式新課教學(xué)第十九頁，共三十三頁，2022年，8月28日其他重要公式3:證明:由換底公式取以b為底的對數(shù)得：還可以變形,得新課教學(xué)第二十頁，共三十三頁，2022年，8月28日(1)(2)解：例3.用表示下列各式：范例第二十一頁，共三十三頁，2022年，8月28日例4.計(jì)算：

（1）（2）（3）范例第二十二頁，共三十三頁，2022年，8月28日=5+14=19解：(1)(2)（1）（2）范例第二十三頁，共三十三頁，2022年，8月28日=3解：(3)（3）范例第二十四頁，共三十三頁，2022年，8月28日講解范例例5計(jì)算：解法一：解法二：第二十五頁，共三十三頁，2022年，8月28日例5計(jì)算：講解范例

解：

第二十六頁，共三十三頁，2022年，8月28日1.求下列各式的值：（4）（2）（3）（1）課堂練習(xí)第二十七頁，共三十三頁，2022年，8月28日2.用lgｘ，lgｙ，lgｚ表示下列各式：（2）（1）＝lgｘ＋２lgｙ－lgｚ；＝lgｘ＋lgｙ＋lgｚ；（3）＝lgｘ＋３lgｙ－lgｚ；（4）（2）課堂練習(xí)第二十八頁，共三十三頁，2022年，8月28日課堂小結(jié)

(1)對數(shù)的概念：對數(shù)、底數(shù)、真數(shù)；

常用對數(shù)；

自然對數(shù)。

(2)對數(shù)的運(yùn)算：積、商、冪的對數(shù)運(yùn)算法則；

3個重要公式。第二十九頁，共三十三頁，2022年，8月28日

1999底我國人口為13億,人口增長的年平均增長率為1%,則x年后，我國的人口數(shù)為；若問多少年后我國的人口達(dá)到18億，即解方程，則而如果計(jì)算器只能求10,e為底的對數(shù)，那該怎么辦？方法：進(jìn)行換底，把底換成以10，或者換成以e為底．或者引入的問題第三十頁，共三十三頁，2022年，8月28日例520世紀(jì)30年代,里克特(C.F.Richter)制訂了一種表明地震能量大小的尺度,就是使用測震儀衡量地震能量的等級,地震能量越大,測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大.這就是我們常說的里氏震級M,其計(jì)算公式為

M=lgA-lgA0

其中，A是被測地震的最大振幅,A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅(使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測震儀距實(shí)際震中的距離造成的偏差).(1)假設(shè)在一次地震中,一個距離震中100千米的測震儀記錄的地震最大振幅是20,此時標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是0.001,計(jì)算這次地震的振級(精確到0.1)(2)5級地震給人的震感已比較明顯,計(jì)算7.6級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的多少倍?對數(shù)的應(yīng)用第三十一頁，共三十三頁，2022年，