初中數學人教版九年級上冊第二十四章圓2圓的有關性質（全國一等獎）

垂直于弦的直徑（1）人教九上一、學習目標理解圓的軸對稱性；了解拱高、弦心距等概念；掌握垂徑定理，并能應用它解決有關弦的計算和證明問題．二、知識回顧請敘述圓的集合定義．圓心為O，半徑為r的圓可以看作是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．連結圓上任意兩點的線段叫圓的弦，圓上兩點間的部分叫做弧，在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等?。畧A的半徑是4，則弦長x的取值范圍是0<x≤8．確定一個圓的兩個條件是圓心和半徑．三、新知講解圓的對稱性（1）圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸；（2）圓也是中心對稱圖形，對稱中心是圓心．垂徑定理垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。畮缀握Z言：∵CD是直徑，CD⊥AB，∴AE=BE，，．四、典例探究掃一掃，有驚喜哦！1．已知弦長和弦心距離求半徑【例1】（2015?北京校級一模）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于點C，若AB=4，OC=1，則⊙O的半徑為（）A．B．C．D．6總結：1．當圖中出現(xiàn)垂直于弦的直徑時，我們要關注圓的半徑（直徑）、弦長和弦心距，結合勾股定理得到半徑、弦長和弦心距之間的關系式.2．半徑、弦長、弦心距這三個量，一般知二求一.3.常見的的輔助線：（1）過圓心作弦的垂線，（2）作垂直于弦的直徑，（3）連結半徑.解題思路為：由垂徑定理構造直角三角形，結合勾股定理建立方程求解．練1．（2014?澄海區(qū)模擬）如圖，EM經過圓心O，EM⊥CD于M，若CD=4，EM=6，則弧CED所在圓的半徑為（）A．B．C．3D．42．利用垂徑定理求平行弦問題【例2】（2012?長春）如圖，在同一平面內，有一組平行線l1、l2、l3，相鄰兩條平行線之間的距離均為4，點O在直線l1上，⊙O與直線l3的交點為A、B，AB=12，求⊙O的半徑．總結：1．平行弦的位置有兩種情況：（1）在圓心同側；（2）在圓心異側.如果題干中提到平行弦，但未給出圖形，那么解題時需要分類討論，分別求解兩種情況下的解.2．無論求半徑還是求平行弦間的距離，解題思路都是作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解．練2．（2013秋?如皋市校級期中）如圖，⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，圓心O位于AB、CD的上方，求AB和CD間的距離．五、課后小測一、選擇題1．（2015?遂寧）如圖，在半徑為5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于點C，則OC=（）A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm2．（2015?岳池縣模擬）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB的長為6，M是AB上的動點，則線段OM長的最小值為（）A．2B．3C．4D．53．（2015?河北區(qū)二模）如圖，已知⊙O的半徑為10，弦AB長為16，則點O到AB的距離是（）A．3B．4C．5D．64．（2015?東西湖區(qū)校級模擬）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB=8，則圓上到弦AB所在的直線距離為2的點有（）個．A．1B．2C．3D．05．（2015?莆田校級模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以點C為圓心，CA為半徑的圓與AB交于點D，則AD的長為（）A．B．C．D．6．（2014秋?延慶縣期末）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足是E，OC=5，CD=8，則OE的長為（）A．1B．2C．3D．47．（2013秋?滄浪區(qū)校級期末）如圖，同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么兩個同心圓的半徑之比為（）A．3：2B．：2C．：D．5：4二、填空題8．（2015?長沙）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的一點，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于點D，則OD的長為．9．（2015?牡丹江二模）已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，弦PQ∥AB交弦CD于點M，BE=18，CD=PQ=24，則OM的長為．10．（2014?合川區(qū)校級模擬）如圖，以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點，若大圓的半徑為5，且AB=8，CD=6，則小圓的半徑為．11．（2015?泰興市二模）如圖，定長弦CD在以AB為直徑的⊙O上滑動（點C、D與點A、B不重合），M是CD的中點，過點C作CP⊥AB于點P，若CD=3，AB=8，PM=l，則l的最大值是．12．（2015?杭州模擬）在平面直角坐標系中，以原點O為圓心的圓過點A（0，3），直線y=kx﹣3k+4（k≠0）與⊙O交于B，C兩點，則弦BC的長的最小值為．三、解答題13．（2015?歷城區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，交AB于點E，∠CDB=30°，⊙O的半徑為2cm，求弦CD的長．14．（2014秋?渭源縣期末）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足為E，連接OC，OC=5，CD=8，求BE的長．15．（2014秋?包河區(qū)期末）如圖，在⊙O中，弦CD垂直于直徑AB于點E，若∠BAD=30°，且BE=2．（1）求⊙O半徑；（2）求弦CD的長．16．（2014秋?羅平縣校級期中）如圖，已知在⊙O中，AB，CD兩弦互相垂直于點E，AB被分成4cm和10cm兩段．（1）求圓心O到CD的距離；（2）若⊙O半徑為8cm，求CD的長是多少？

典例探究答案：【例1】【解析】根據垂徑定理求出AC，根據勾股定理求出OA，即可得出答案．解：∵OC⊥AB，OC過O，∴AC=AB，∵AB=4，∴AC=2，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OA=，即⊙O的半徑是，故選：B．點評：本題考查了垂徑定理和勾股定理的應用，主要考查學生的推理能力和計算能力．練1．【解析】連接OC，設弧CED所在圓的半徑為R，則OC=R，OM=6﹣R，根據垂徑定理求出CM，根據勾股定理得出方程，求出即可．解：連接OC，設弧CED所在圓的半徑為R，則OC=R，OM=6﹣R，∵EM經過圓心O，EM⊥CD于M，CD=4，∴CM=DM=2，在Rt△OMC中，由勾股定理得：OC2=OM2+CM2，R2=（6﹣R）2+22，R=，故選A．點評：本題考查了勾股定理，垂徑定理的應用，用了方程思想，題目比較典型，難度適中．【例2】【解析】連接OA，過點O作OD⊥AB，由垂徑定理可知AD=AB，再根據相鄰兩條平行線之間的距離均為4可知OD=8，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出OA的長．解：連接OA，過點O作OD⊥AB，∵AB=12，∴AD=AB=×12=6，∵相鄰兩條平行線之間的距離均為4，∴OD=8，在Rt△AOD中，∵AD=6，OD=8，∴OA===10．答：⊙O的半徑為：10．點評：本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．練2．【解析】過點O作弦AB的垂線，垂足為E，延長AE交CD于點F，連接OA，OC；由于AB∥CD，則OF⊥CD，EF即為AB、CD間的距離；由垂徑定理，易求得AE、CF的長，在構建的直角三角形中，根據勾股定理即可求出OE、OF的長，也就求出了EF的長，即弦AB、CD間的距離．解：過點O作弦AB的垂線，垂足為E，延長OE交CD于點F，連接OA，OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∵AB=30cm，CD=16cm，∴AE=AB=×16=8cm，CF=CD=×12=6cm，在Rt△AOE中，OE===6cm，在Rt△OCF中，OF===8cm，∴EF=OF﹣OE=8﹣6=2cm．答：AB和CD的距離為2cm．點評：本題考查的是勾股定理及垂徑定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．課后小測答案：一、選擇題1．【解析】連接OA，∵AB=6cm，OC⊥AB于點C，∴AC=AB=×6=3cm，∵⊙O的半徑為5cm，∴OC===4cm，故選B．2．【解析】如圖所示，過O作OM′⊥AB，連接OA，∵過直線外一點與直線上的所有連線中垂線段最短，∴當OM于OM′重合時OM最短，∵AB=6，OA=5，∴AM′=×6=3，∴在Rt△OAM′中，OM′===4，∴線段OM長的最小值為4．故選C．3．【解析】過圓心O作OF⊥AB于點F，則AF=AB=8，Rt△OAF中，AF=8，OA=10，由勾股定理得，OF===6，即點O到弦AB的距離是6，故選D．4．【解析】作圓的直徑CE⊥AB于點D，連接OA，∵AB=8，∴AD=4．∵OA=5，∴OD==3，∴CD=OC﹣3=5﹣3=2，即C到弦AB所在的直線距離為2，∴在劣弧AB上，到弦AB所在的直線距離為2的點只有C；∵DE=5+3=8＞2，∴在優(yōu)弧AEB上到弦AB所在的直線距離為2的點有2個，即圓上到弦AB所在的直線距離為2的點有3個．故選C．5．【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB===5，過C作CM⊥AB，交AB于點M，如圖所示，∵CM⊥AB，∴M為AD的中點，∵S△ABC=AC?BC=AB?CM，且AC=3，BC=4，AB=5，∴CM=，在Rt△ACM中，根據勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（）2，解得：AM=，∴AD=2AM=．故選A．6．【解析】∵AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×8=4，∠CEO=90°，在Rt△CEO中，由勾股定理得：OE===3，故選C．7．【解析】過O點作OE⊥AB，E點為垂足，連OC，OA，如圖，則OE=1，∵OE⊥AB，∴CE=DE，AE=BE，而AB=4，CD=2，∴CE=1，AE=2，在Rt△OCE中，OC===；在Rt△OAE中，OA===；∴OC：OA=：，即兩個同心圓的半徑之比為：．故選C．二、填空題8．【解析】∵OD⊥BC，∴BD=CD=BC=3，∵OB=AB=5，∴OD==4．故答案為4．9．【解析】作OF⊥PQ于F，連接OP，∴PF=PQ=12，∵CD⊥AB，PQ∥AB，∴CD⊥PQ，∴四邊形MEOF為矩形，∵CD=PQ，OF⊥PQ，CD⊥AB，∴OE=OF，∴四邊形MEOF為正方形，設半徑為x，則OF=OE=18﹣x，在直角△OPF中，x2=122+（18﹣x）2，解得x=13，則MF=OF=OE=5，∴OM=5．故答案為：5．10．【解析】過O作OE⊥CD于E，連接OA、OC，由垂徑定理得：AE=AB=×8=4，CE=CD=×6=3，設小圓的半徑是r，則由勾股定理得：OE2=52﹣42=r2﹣32，解得：r=3，故答案為：3．11．【解析】如圖：當CD∥AB時，PM長最大，連接OM，OC，∵CD∥AB，CP⊥CD，∴CP⊥AB，∵M為CD中點，OM過O，∴OM⊥CD，∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，∴四邊形CPOM是矩形，∴PM=OC，∵⊙O直徑AB=8，∴半徑OC=4，即PM=4，故答案為：4．12．【解析】連接OB，過點O作OD⊥BC于點D，∵直線y=kx﹣3k+4必過點D（3，4），∴最短的弦CB是過點D且與該圓直徑垂直的弦，∵點D的坐標是（3，4），∴OD=5，∵以原點O為圓心的圓過點A（0，3），∴圓的半徑為3，∴OB=3，∴BD==2，∴BC的長的最小值為4；故答案為：4．三、解答題13．【解析】∵∠CDB=30°，∴∠COB=30°×2=60°．又∵⊙O的半徑為2cm，∴CE=OC?sin60°=2×=（cm），∴CD=2CE=2（cm）．14．【解析】∵AB為直徑，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=4，在Rt△COE中，OE===3，∴BE=OB﹣OE=5﹣3=2，故BE=2．15．【解析】（1）連接OD，設⊙O的半徑為r，則OE=r﹣2，∵∠BAD=30°，∴∠DOE=60°，∵CD⊥AB，∴CD=2DE，∠ODE=30°，∴OD