初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)第二十一章一元二次方程單元復(fù)習(xí) 省賽獲獎(jiǎng)

《第21章一元二次方程》一、選擇題：1．方程（m﹣2）x2+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（）A．m≠±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠22．一元二次方程x2﹣4=0的解是（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x1=，x2=﹣3．下列方程中是一元二次方程的有（）①=；②y（y﹣1）=x（x+1）；③=；④x2﹣2y+6=y2+x2．A．①② B．①③ C．①④ D．①③④4．若x1、x2是方程x2+3x﹣5=0的兩個(gè)根，則x1?x2的值為（）A．﹣3 B．﹣5 C．3 D．55．在一次籃球聯(lián)賽中，每個(gè)小組的各隊(duì)都要與同組的其他隊(duì)比賽兩場(chǎng)，然后決定小組出線的球隊(duì)．如果某一小組共有x個(gè)隊(duì)，該小組共賽了90場(chǎng)，那么列出正確的方程是（）A． B．x（x﹣1）=90 C． D．x（x+1）=90二、填空題：6．把一元二次方程（x+1）（1﹣x）=2x化成二次項(xiàng)系數(shù)大于零的一般式為，其中二次項(xiàng)系數(shù)是，一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是．一元二次方程x2=2x的解為：．7．方程x2+3x+1=0的解是．8．寫出一個(gè)以﹣3和2為根的一元二次方程：．9．如果方程x2﹣（m﹣1）x+=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為．10．若x2﹣4x+m2是完全平方式，則m=．三、解答題11．解下列方程：（1）x2﹣9=0（2）（x﹣1）（x+2）=6．12．若﹣2是方程x2﹣3x+k=0的一個(gè)根，求方程的另一個(gè)根和k的值．13．若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1=0有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．14．汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，有效促進(jìn)我國(guó)現(xiàn)代化建設(shè)．某汽車銷售公司2005年盈利1500萬(wàn)元，到2007年盈利2160萬(wàn)元，且從2005年到2007年，每年盈利的年增長(zhǎng)率相同．（1）該公司2006年盈利多少萬(wàn)元？（2）若該公司盈利的年增長(zhǎng)率繼續(xù)保持不變，預(yù)計(jì)2008年盈利多少萬(wàn)元？15．從一塊正方形的木板上鋸掉2米寬的長(zhǎng)方形木條，剩下的面積是48平方米，求原來(lái)正方形木板的面積．16．已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求的值．

《第21章一元二次方程》參考答案與試題解析一、選擇題：1．方程（m﹣2）x2+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（）A．m≠±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠2【考點(diǎn)】一元二次方程的定義．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義可得m﹣2≠0，再解即可．【解答】解：由題意得：m﹣2≠0，解得：m≠2，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的定義，關(guān)鍵是注意二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0．2．一元二次方程x2﹣4=0的解是（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x1=，x2=﹣【考點(diǎn)】解一元二次方程-直接開平方法．【分析】觀察發(fā)現(xiàn)方程的兩邊同時(shí)加4后，左邊是一個(gè)完全平方式，即x2=4，即原題轉(zhuǎn)化為求4的平方根．【解答】解：移項(xiàng)得：x2=4，∴x=±2，即x1=2，x2=﹣2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】（1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號(hào)且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號(hào)且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負(fù)，分開求得方程解．（2）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細(xì)觀察方程的特點(diǎn)．3．下列方程中是一元二次方程的有（）①=；②y（y﹣1）=x（x+1）；③=；④x2﹣2y+6=y2+x2．A．①② B．①③ C．①④ D．①③④【考點(diǎn)】一元二次方程的定義．【分析】根據(jù)一元二次方程必須滿足兩個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0對(duì)各小題分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：①=是一元二次方程；②y（y﹣1）=x（x+1）不是一元二次方程，是二元二次方程；③=，分母上含有未知數(shù)x，不是整式方程；④x2﹣2y+6=y2+x2整理后為y2+2y﹣6=0，是一元二次方程；綜上所述，是一元二次方程的有①④．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．4．若x1、x2是方程x2+3x﹣5=0的兩個(gè)根，則x1?x2的值為（）A．﹣3 B．﹣5 C．3 D．5【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1?x2=，再計(jì)算即可．【解答】解：∵x1、x2是方程x2+3x﹣5=0的兩個(gè)根，∴x1?x2==﹣5，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，掌握x1+x2=﹣，x1?x2=是解題的關(guān)鍵．5．在一次籃球聯(lián)賽中，每個(gè)小組的各隊(duì)都要與同組的其他隊(duì)比賽兩場(chǎng)，然后決定小組出線的球隊(duì)．如果某一小組共有x個(gè)隊(duì)，該小組共賽了90場(chǎng)，那么列出正確的方程是（）A． B．x（x﹣1）=90 C． D．x（x+1）=90【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程．【專題】比賽問(wèn)題．【分析】如果設(shè)某一小組共有x個(gè)隊(duì)，那么每個(gè)隊(duì)要比賽的場(chǎng)數(shù)為（x﹣1）場(chǎng)，有x個(gè)小隊(duì)，那么共賽的場(chǎng)數(shù)可表示為x（x﹣1）=90．【解答】解：設(shè)某一小組共有x個(gè)隊(duì)，那么每個(gè)隊(duì)要比賽的場(chǎng)數(shù)為x﹣1；則共賽的場(chǎng)數(shù)可表示為x（x﹣1）=90．故本題選B．【點(diǎn)評(píng)】本題要注意比賽時(shí)是兩支隊(duì)伍同時(shí)參賽，且“每個(gè)小組的各隊(duì)都要與同組的其他隊(duì)比賽兩場(chǎng)”，以免出錯(cuò)．二、填空題：6．把一元二次方程（x+1）（1﹣x）=2x化成二次項(xiàng)系數(shù)大于零的一般式為x2+2x﹣1=0，其中二次項(xiàng)系數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)是2，常數(shù)項(xiàng)是﹣1．一元二次方程x2=2x的解為：x1=0，x2=2．【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的一般形式．【專題】計(jì)算題．【分析】先利用平方差公式把方程（x+1）（1﹣x）=2x左邊展開，再移項(xiàng)得到x2+2x﹣1=0，然后寫出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)；利用因式分解法解方程x2=2x．【解答】解：一元二次方程（x+1）（1﹣x）=2x化成二次項(xiàng)系數(shù)大于零的一般式為x2+2x﹣1=0，其中二次項(xiàng)系數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)是2，常數(shù)項(xiàng)是﹣1．x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0或x﹣2=0，所以x1=0，x2=2．故答案為x2+2x﹣1=0，1，2，﹣1，x1=0，x2=2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．7．方程x2+3x+1=0的解是x1=，x2=．【考點(diǎn)】解一元二次方程-公式法．【分析】求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：這里a=1，b=3，c=1，b2﹣4ac=32﹣4×1×1=5，x=，x1=，x2=，故答案為：x1=，x2=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力．8．寫出一個(gè)以﹣3和2為根的一元二次方程：x2﹣x﹣6=0．【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】本題根據(jù)一元二次方程的根的定義，一根為3，另一個(gè)根為﹣2，則方程是（x﹣3）（x+2）=0的形式，即可得出答案．【解答】解：根據(jù)一個(gè)根為x=3，另一個(gè)根為x=﹣2的一元二次方程是：x2﹣x﹣6=0；故答案為：x2﹣x﹣6=0．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，已知方程的兩根，寫出方程的方法是需要熟練掌握的一種基本題型．9．如果方程x2﹣（m﹣1）x+=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為m=2或m=0．【考點(diǎn)】根的判別式．【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根得△=0，即（m﹣1）2﹣4×=0，解方程即可得．【解答】解：∵方程x2﹣（m﹣1）x+=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴△=0，即（m﹣1）2﹣4×=0，解得：m=2或m=0，故答案為：m=2或m=0．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程根的判別式的知識(shí)．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．10．若x2﹣4x+m2是完全平方式，則m=±2．【考點(diǎn)】完全平方式．【分析】先根據(jù)已知平方項(xiàng)和乘積二倍項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)完全平方公式解答即可．【解答】解：∵x2﹣4x+m2=x2﹣2x?2+m2，∴m2=22=4，∴m=±2．故答案為：±2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了完全平方式，根據(jù)平方項(xiàng)和乘積二倍項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，熟記完全平方公式對(duì)解題非常重要．三、解答題11．解下列方程：（1）x2﹣9=0（2）（x﹣1）（x+2）=6．【考點(diǎn)】解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-直接開平方法．【分析】（1）根據(jù)直接開平方法求解即可；（2）先去括號(hào)，再用公式法求解即可．【解答】解：（1）x2=9，x=±3，∴x1=3，x2=﹣3；（2）x2+x﹣8=0，a=1，b=1，c=﹣8，△=b2﹣4ac=1+32=33＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴x==，∴x1=，x2=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有直接開平方法、配方法、公式法以及因式分解法．12．若﹣2是方程x2﹣3x+k=0的一個(gè)根，求方程的另一個(gè)根和k的值．【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】設(shè)方程的另一個(gè)根為x2，根據(jù)韋達(dá)定理得出關(guān)于x2和k的方程組，解之可得．【解答】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為x2，根據(jù)題意，得：，解得：，∴方程的另一個(gè)根位5，k的值為﹣10．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．13．若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1=0有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．【考點(diǎn)】根的判別式；一元二次方程的定義．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到m﹣2≠0且△=22﹣4（m﹣2）×（﹣1）≥0，然后解兩個(gè)不等式確定它們的公共部分即可．【解答】解：根據(jù)題意得m﹣2≠0且△=22﹣4（m﹣2）×（﹣1）≥0，解得m≥1且m≠2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2﹣4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義．14．汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，有效促進(jìn)我國(guó)現(xiàn)代化建設(shè)．某汽車銷售公司2005年盈利1500萬(wàn)元，到2007年盈利2160萬(wàn)元，且從2005年到2007年，每年盈利的年增長(zhǎng)率相同．（1）該公司2006年盈利多少萬(wàn)元？（2）若該公司盈利的年增長(zhǎng)率繼續(xù)保持不變，預(yù)計(jì)2008年盈利多少萬(wàn)元？【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用．【專題】增長(zhǎng)率問(wèn)題；壓軸題．【分析】（1）需先算出從2005年到2007年，每年盈利的年增長(zhǎng)率，然后根據(jù)2005年的盈利，算出2006年的利潤(rùn)；（2）相等關(guān)系是：2008年盈利=2007年盈利×每年盈利的年增長(zhǎng)率．【解答】解：（1）設(shè)每年盈利的年增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得1500（1+x）2=2160解得x1=，x2=﹣（不合題意，舍去）∴1500（1+x）=1500（1+）=1800答：2006年該公司盈利1800萬(wàn)元．（2）2160（1+）=2592答：預(yù)計(jì)2008年該公司盈利2592萬(wàn)元．【點(diǎn)評(píng)】本題的關(guān)鍵是需求出從2005年到2007年，每年盈利的年增長(zhǎng)率．等量關(guān)系為：2005年盈利×（1+年增長(zhǎng)率）2=2160．15．從一塊正方形的木板上鋸掉2米寬的長(zhǎng)方形木條，剩下的面積是48平方米，求原來(lái)正方形木板的面積．【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用．【分析】設(shè)原來(lái)的正方形木板的邊長(zhǎng)為x，鋸掉2米寬厚，就變?yōu)殚L(zhǎng)為x米，寬為（x﹣2）米的長(zhǎng)方形，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式列方程求x，繼而可求正方形的面積．【解答】解：設(shè)原來(lái)的正方形木板的邊長(zhǎng)為x．x（x﹣2）=48，x=8或x=﹣6（舍去），8×8=64（平方米）．答：原來(lái)正方形木板的面積是64平方米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解本題設(shè)出正方形木板的邊長(zhǎng)為x，根據(jù)題意列方程求