導(dǎo)熱基本定律及穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱講義

導(dǎo)熱基本定律及穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱講義1第一頁，共五十五頁，2022年，8月28日第四章導(dǎo)熱的理論基礎(chǔ)及計算4-1導(dǎo)熱的基本概念和定律4-2導(dǎo)熱微分方程4-3初始條件和邊界條件4-4熱擴(kuò)散率4-5一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱4-6通過肋片的導(dǎo)熱分析2第二頁，共五十五頁，2022年，8月28日一、溫度場1.溫度場：各時刻物體中各點(diǎn)溫度分布稱為溫度場，它是時間和空間坐標(biāo)的函數(shù)，記為：t—為溫度;x,y,z—為空間坐標(biāo);t-時間

4-1導(dǎo)熱的基本概念和定律3第三頁，共五十五頁，2022年，8月28日穩(wěn)態(tài)溫度場穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（Steady-stateconduction）非穩(wěn)態(tài)溫度場非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（Transientconduction）三維穩(wěn)態(tài)溫度場：

一維穩(wěn)態(tài)溫度場:第四頁，共五十五頁，2022年，8月28日2.等溫面與等溫線：等溫面：溫度場中同一瞬時溫度相同各點(diǎn)連成的面。5第五頁，共五十五頁，2022年，8月28日等溫線：用一個平面與各等溫面相交，在這個平面上得到一個等溫線簇等溫面與等溫線的特點(diǎn)：(1)溫度不同的等溫面或等溫線彼此不能相交(2)在連續(xù)的溫度場中，等溫面或等溫線不會終止，它們或者是物體中完全封閉的曲面（曲線），或者就終止于物體的邊界上(3)物體的溫度通常用等溫面或等溫線表示。6第六頁，共五十五頁，2022年，8月28日等溫線圖的物理意義：等溫線的疏密可反映出不同區(qū)域?qū)釤崃髅芏鹊拇笮　Ｈ鐖D所示是用等溫線圖表示溫度場的實(shí)例。7第七頁，共五十五頁，2022年，8月28日二、導(dǎo)熱基本定律1、傅立葉定律定義：在導(dǎo)熱現(xiàn)象中，單位時間內(nèi)通過單位截面積的導(dǎo)熱量正比于垂直于截面方向上的溫度變化率，而熱量傳遞的方向與溫度升高的方向相反。數(shù)學(xué)表達(dá)式：負(fù)號表示熱量傳遞的方向指向溫度降低的方向8第八頁，共五十五頁，2022年，8月28日（負(fù)號表示熱量傳遞方向與溫度升高方向相反）

傅里葉定律用熱流密度表示：其中——熱流密度(單位時間內(nèi)通過單位面積的熱流量)

——物體溫度沿x軸方向的變化率9第九頁，共五十五頁，2022年，8月28日2.溫度梯度（Temperaturegradient）是空間某點(diǎn)的溫度梯度；

是通過該點(diǎn)等溫線上的法向單位矢量，指向溫度升高的方向；是該處的熱流密度矢量。

式中：10第十頁，共五十五頁，2022年，8月28日熱流線：熱流線是一組與等溫線處處垂直的曲線，通過平面上任一點(diǎn)的熱流線與該點(diǎn)的熱流密度矢量相切。熱流密度矢量與熱流線的關(guān)系：相鄰兩個熱流線之間所傳遞的熱流密度矢量處處相等，構(gòu)成一熱流通道。

3、溫度梯度與熱流密度矢量的關(guān)系11第十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日三、導(dǎo)熱系數(shù)（Thermalconductivity）定義:導(dǎo)熱系數(shù)在數(shù)值上等于單位溫度梯度作用下單位時間內(nèi)通過單位面積的熱量。w/(m·k)

導(dǎo)熱系數(shù):物性參數(shù).導(dǎo)熱系數(shù)的數(shù)值取決于物質(zhì)種類與溫度等因素。12第十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日物質(zhì)導(dǎo)熱性能比較：保溫材料：導(dǎo)熱系數(shù)小的材料稱為保溫材料。國家標(biāo)準(zhǔn)：凡平均溫度不高于350℃導(dǎo)熱系數(shù)不大于0.12w/(m.k)的材料稱為保溫材料。13第十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日同一種物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)也會因其狀態(tài)參數(shù)的不同而改變，因而導(dǎo)熱系數(shù)是溫度和壓力的函數(shù)。

一般把導(dǎo)熱系數(shù)僅僅視為溫度的函數(shù)，而且在一定溫度范圍還可以用一種線性關(guān)系來描述14第十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日4-2導(dǎo)熱微分方程一維導(dǎo)熱問題：根據(jù)傅立葉定律積分，可獲得用兩側(cè)溫差表示的導(dǎo)熱量。多維導(dǎo)熱問題：首先獲得溫度場的分布函數(shù)，然后根據(jù)傅立葉定律求得空間各點(diǎn)的熱流密度矢量。15第十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日定義：根據(jù)能量守恒定律與傅立葉定律，建立導(dǎo)熱物體中的溫度場應(yīng)滿足的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱為導(dǎo)熱微分方程。

導(dǎo)熱微分方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

導(dǎo)熱微分方程的推導(dǎo)，假定導(dǎo)熱物體是各向同性的。

導(dǎo)熱微分方程

理論基礎(chǔ)：能量守恒定律與傅立葉定律

16第十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日▲導(dǎo)熱微分方程式通過空間任一點(diǎn)任一方向的熱流量也可分解為x、y、z坐標(biāo)方向的分熱流量。17第十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日▲導(dǎo)熱微分方程式①通過x、y、z，三個微元表面而導(dǎo)入微元體的熱流量：фx

、фy

、фz

的計算。根據(jù)傅立葉定律得

(a)18第十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日▲導(dǎo)熱微分方程式②通過x+dx、y+dy、z+dz三個微元表面而導(dǎo)出微元體的熱流量фx+dx

、фy+dy

、фz+dz

的計算。根據(jù)傅立葉定律得：

(b)19第十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日▲導(dǎo)熱微分方程式③對于任一微元體根據(jù)能量守恒定律，在任一時間間隔內(nèi)有以下熱平衡關(guān)系：

導(dǎo)入微元體的總熱流量

+微元體內(nèi)熱源的生成熱

=導(dǎo)出微元體的總熱流量

+微元體熱力學(xué)能（內(nèi)能）的增量

（C）20第二十頁，共五十五頁，2022年，8月28日▲導(dǎo)熱微分方程式微元體熱力學(xué)能的增量=微元體內(nèi)熱源的生成熱=其中——

微元體的密度、比熱容、單位時間內(nèi)單位體積內(nèi)熱源的生成熱及時間。21第二十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日導(dǎo)入微元體的總熱流量導(dǎo)出微元體的總熱流量

▲導(dǎo)熱微分方程式22第二十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日將以上各式代入熱平衡關(guān)系式，并整理得：這是笛卡爾坐標(biāo)系中三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程的一般表達(dá)式。物理意義：物體的溫度隨時間和空間的變化關(guān)系?！鴮?dǎo)熱微分方程式23第二十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日1）對上式化簡：

①導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)

式中，，稱為熱擴(kuò)散率。②導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)、無內(nèi)熱源（傅里葉方程）

▲導(dǎo)熱微分方程式24第二十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日▲導(dǎo)熱微分方程式③導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)、穩(wěn)態(tài)（泊松方程）

④導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源（拉普拉斯方程）

25第二十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日▲導(dǎo)熱微分方程式1）圓柱坐標(biāo)系中的導(dǎo)熱微分方程：

2）球坐標(biāo)系中的導(dǎo)熱微分方程：

26第二十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日▲導(dǎo)熱微分方程式說明：（1）導(dǎo)熱問題仍然服從能量守恒定律；（2）等號左邊是單位時間內(nèi)微元體熱力學(xué)能的增量（非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)）；（3）等號右邊前三項(xiàng)之和是通過界面的導(dǎo)熱使微分元體在單位時間內(nèi)增加的能量(擴(kuò)散項(xiàng)

)；（4）等號右邊最后項(xiàng)是源項(xiàng)；（5）若某坐標(biāo)方向上溫度不變，該方向的凈導(dǎo)熱量為零，則相應(yīng)的擴(kuò)散項(xiàng)即從導(dǎo)熱微分方程中消失。

27第二十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日導(dǎo)熱過程的單值性條件：對特定的導(dǎo)熱過程：需要得到滿足該過程的唯一解單值性條件：確定唯一解的附加說明條件單值性條件包括四項(xiàng)：幾何、物理、時間、邊界完整數(shù)學(xué)描述：導(dǎo)熱微分方程

+單值性條件4-3初始條件和邊界條件28第二十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日1、幾何條件如：平壁或圓筒壁；厚度、直徑等說明導(dǎo)熱體的幾何形狀和大小2、物理?xiàng)l件如：物性參數(shù)l、c和r

的數(shù)值，是否隨溫度變化；有無內(nèi)熱源、大小和分布；是否各向同性說明導(dǎo)熱體的物理特征3、時間條件穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程不需要時間條件

—

與時間無關(guān)說明在時間上導(dǎo)熱過程進(jìn)行的特點(diǎn)對非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程應(yīng)給出過程開始時刻導(dǎo)熱體內(nèi)的溫度分布時間條件又稱為初始條件（Initialconditions）第二十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日４、邊界條件說明導(dǎo)熱體邊界上過程進(jìn)行的特點(diǎn)反映過程與周圍環(huán)境相互作用的條件邊界條件一般可分為三類：第一類、第二類、第三類邊界條件（Boundaryconditions）（1）規(guī)定了邊界上的溫度值，稱為第一類邊界條件。對于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，這類邊界條件要求給出以下關(guān)系式：第三十頁，共五十五頁，2022年，8月28日（2）規(guī)定了邊界上的熱流密度值，稱為第二類邊界條件。對于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，這類邊界條件要求給出以下關(guān)系式：（3）規(guī)定了邊界上物體與周圍流體間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)及周圍流體的溫度，稱為第三類邊界條件。第三類邊界條件可表示為第三十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日若物性參數(shù)l、c和r

均為常數(shù)：熱擴(kuò)散率

反映了導(dǎo)熱過程中材料的導(dǎo)熱能力（l

）與沿途物質(zhì)儲熱能力（r

c）之間的關(guān)系

值大，即l

值大或r

c值小，說明物體的某一部分一旦獲得熱量，該熱量能在整個物體中很快擴(kuò)散熱擴(kuò)散率表征物體被加熱或冷卻時，物體內(nèi)各部分溫度趨向于均勻一致的能力4-4熱擴(kuò)散率：第三十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日一維、穩(wěn)態(tài)、常物性、無內(nèi)熱源情況，考察平板和圓柱內(nèi)的導(dǎo)熱。一、單層平壁的導(dǎo)熱幾何條件：單層平板；物理?xiàng)l件：、c、常數(shù)；無內(nèi)熱源時間條件：穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱邊界條件：第一類ot1tt24-5一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱33第三十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日xot1tt2直接積分，得：根據(jù)上面的條件可得：第一類邊條件：帶入邊界條件線性關(guān)系34第三十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日熱阻分析法適用于一維、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源的情況帶入Fourier定律35第三十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日二、多層平壁的導(dǎo)熱t(yī)1t2t3t4t1t2t3t4三層平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱多層平壁：由幾層不同材料組成第一類邊界條件：熱阻：36第三十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日由熱阻分析法第一層：第二層：第i層：37第三十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日單位：tf1t2t3tf2t1t2t3t2三層平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱h1h2多層、第三類邊界條件38第三十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日通過多層平壁的導(dǎo)熱39第三十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日三、單層圓筒壁的導(dǎo)熱圓柱坐標(biāo)系：假設(shè)單管長度為l，圓筒壁的外半徑小于長度的1/10一維、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性：(a)第一類邊界條件40第四十頁，共五十五頁，2022年，8月28日對方程(a)積分兩次:溫度呈對數(shù)曲線分布41第四十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日圓筒壁內(nèi)溫度分布：42第四十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日圓筒壁內(nèi)部的熱流密度和熱流分布:雖然此時為穩(wěn)態(tài)情況，但熱流密度q

與半徑r成反比！長度為l的圓筒壁的導(dǎo)熱熱阻43第四十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日四、n層圓筒壁由不同材料構(gòu)成的多層圓筒壁，其導(dǎo)熱熱流量可按總溫差和總熱阻計算44第四十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日單層圓筒壁，第三類邊界條件，穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱h1h2

通過單位長度圓筒壁傳熱過程的熱阻

[mK/W]45第四十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日通過多層圓筒壁的導(dǎo)熱46第四十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日對于穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、第一類邊界條件下的一維導(dǎo)熱問題，可以不通過溫度場而直接獲得熱流量。此時，一維Fourier定律：五、其它變面積或變導(dǎo)熱系數(shù)問題求解導(dǎo)熱問題的主要途徑分兩步：求解導(dǎo)熱微分方程，獲得溫度場根據(jù)Fourier定律和已獲得的溫度場計算熱流量47第四十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日當(dāng)隨溫度呈線性分布時，即則分離變量后積分，當(dāng)時，48第四十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日1通過等截面直肋的導(dǎo)熱l已知：矩形直肋肋跟溫度為t0，且t0>t￥肋片與環(huán)境的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h.l，h和Ac均保持不變(Ac-截面積)求：溫度場t

和熱流量F六、通過肋片的導(dǎo)熱49第四十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日分析：嚴(yán)格地說，肋片中的溫度場是三維、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性、第三類邊條的導(dǎo)熱問題。但由于三維問題比較復(fù)雜，故此，在忽略次要因素的基礎(chǔ)上，將問題簡化為一維問題。簡化：a寬度l

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