初中數(shù)學人教版八年級上冊第十四章整式的乘除與因式分解單元復習 全國獲獎

第十四章整式的乘法與因式分解14．1整式的乘法14．同底數(shù)冪的乘法1．理解同底數(shù)冪的乘法法則．2．運用同底數(shù)冪的乘法法則解決一些實際問題．重點正確理解同底數(shù)冪的乘法法則．難點正確理解和應用同底數(shù)冪的乘法法則．一、提出問題，創(chuàng)設(shè)情境復習an的意義：an表示n個a相乘，我們把這種運算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪；a叫做底數(shù)，n是指數(shù)．(出示投影片)提出問題：(出示投影片)問題：一種電子計算機每秒可進行1千萬億(1015)次運算，它工作103秒可進行多少次運算？[師]能否用我們學過的知識來解決這個問題呢？[生]運算次數(shù)＝運算速度×工作時間，所以計算機工作103秒可進行的運算次數(shù)為：1015×103.[師]1015×103如何計算呢？[生]根據(jù)乘方的意義可知1015×103＝(10×10×…×10)15個10×(10×10×10)＝(10×10×…×10)18個10＝1018.[師]很好，通過觀察大家可以發(fā)現(xiàn)1015、103這兩個因數(shù)是同底數(shù)冪的形式，所以我們把像1015，103的運算叫做同底數(shù)冪的乘法．根據(jù)實際需要，我們有必要研究和學習這樣的運算——同底數(shù)冪的乘法．二、探究新知1．做一做(出示投影片)計算下列各式：(1)25×22；(2)a3·a2；(3)5m·5n.(m，n都是正整數(shù))你發(fā)現(xiàn)了什么？注意觀察計算前后底數(shù)和指數(shù)的關(guān)系，并能用自己的語言描述．[師]根據(jù)乘方的意義，同學們可以獨立解決上述問題．[生](1)25×22＝(2×2×2×2×2)×(2×2)＝27＝25＋2.因為25表示5個2相乘，22表示2個2相乘，根據(jù)乘方的意義，同樣道理可得a3·a2＝(a·a·a)(a·a)＝a5＝a3＋2.5m·5n＝(5×5·…·5),\s\do4(m個5))×(5×5·…·5),\s\do4(n個5))＝5m＋n.[生]我們可以發(fā)現(xiàn)下列規(guī)律：am·an等于什么(m，n都是正整數(shù))？為什么？(1)這三個式子都是底數(shù)相同的冪相乘；(2)相乘結(jié)果的底數(shù)與原來底數(shù)相同，指數(shù)是原來兩個冪的指數(shù)的和．2．議一議(出示投影片)[師生共析]am·an表示同底數(shù)冪的乘法．根據(jù)冪的意義可得：am·an＝(a×a·…·a)m個a·(a×a·…·a)n個a＝a·a·…·a(m＋n)個a＝am＋n于是有am·an＝am＋n(m，n都是正整數(shù))，用語言來描述此法則即為：“同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”．[師]請同學們用自己的語言解釋“同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”的道理，深刻理解同底數(shù)冪的乘法法則．[生]am表示m個a相乘，an表示n個a相乘，am·an表示m個a相乘再乘以n個a相乘，也就是說有(m＋n)個a相乘，根據(jù)乘方的意義可得am·an＝am＋n.[師]也就是說同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)要降一級運算，變?yōu)橄嗉樱?．例題講解出示投影片[例1]計算：(1)x2·x5;(2)a·a6；(3)2×24×23;(4)xm·x3m＋1.[例2]計算am·an·ap后，能找到什么規(guī)律？[師]我們先來看例1，是不是可以用同底數(shù)冪的乘法法則呢？[生1](1)，(2)，(4)可以直接用“同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”的法則．[生2](3)也可以，先算兩個同底數(shù)冪相乘，將其結(jié)果再與第三個冪相乘，仍是同底數(shù)冪相乘，再用法則運算就可以了．[師]同學們分析得很好．請自己做一遍．每組出一名同學板演，看誰算得又準又快．生板演：(1)解：x2·x5＝x2＋5＝x7；(2)解：a·a6＝a1·a6＝a1＋6＝a7；(3)解：2×24×23＝21＋4·23＝25·23＝25＋3＝28；(4)解：xm·x3m＋1＝xm＋(3m＋1)＝x4m＋1.[師]接下來我們來看例2.受(3)的啟發(fā)，能自己解決嗎？與同伴交流一下解題方法．解法一：am·an·ap＝(am·an)·ap＝am＋n·ap＝am＋n＋p；解法二：：am·an·ap＝am·(an·ap)＝am·an＋p＝am＋n＋p；解法三：am·an·ap＝(a·a…a)m個a·(a·a…a)n個a·(a·a…a)p個a＝am＋n＋p歸納：解法一與解法二都直接應用了運算法則，同時還運用了乘法的結(jié)合律；解法三是直接應用乘方的意義．三種解法得出了同一結(jié)果．我們需要這種開拓思維的創(chuàng)新精神．[生]那我們就可以推斷，不管是多少個冪相乘，只要是同底數(shù)冪相乘，就一定是底數(shù)不變，指數(shù)相加．[師]是的，能不能用符號表示出來呢？[生]am1·am2·am3·…amn＝am1＋m2＋m3＋…mn.[師]鼓勵學生．那么例1中的第(3)題我們就可以直接應用法則運算了．2×24×23＝21＋4＋3＝28.三、隨堂練習1．m14可以寫成()A．m7＋m7B．m7·m7C．m2·m7D．m·m142．若xm＝2，xn＝5，則xm＋n的值為()A．7B．10C．25D．523．計算：－22×(－2)2＝________；(－x)(－x2)(－x3)(－x4)＝________．4．計算：(1)(－3)2×(－3)5；(2)106·105·10；(3)x2·(－x)5；(4)(a＋b)2·(a＋b)6.四、課堂小結(jié)[師]這節(jié)課我們學習了同底數(shù)冪的乘法的運算性質(zhì)，請同學們談一下有何新的收獲和體會呢？[生]在探索同底數(shù)冪乘法的性質(zhì)時，進一步體會了冪的意義，了解了同底數(shù)冪乘法的運算性質(zhì)．[生]同底數(shù)冪的乘法的運算性質(zhì)是底數(shù)不變，指數(shù)相加．應用這個性質(zhì)時，我覺得應注意兩點：一是必須是同底數(shù)冪的乘法才能運用這個性質(zhì)；二是運用這個性質(zhì)計算時一定是底數(shù)不變，指數(shù)相加，即am·an＝am＋n(m，n是正整數(shù))．五、課后作業(yè)教材第96頁練習．本課的主要教學任務(wù)是“同底數(shù)冪乘法的運算性質(zhì)”：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.在課堂教學時，通過冪的意義引導學生得出這一性質(zhì)，接著再引導學生深入探討同底數(shù)冪運算，冪的底數(shù)可以是“任意有理數(shù)、單項式、多項式”，訓練學生的整體思想．14．冪的乘方1．知道冪的乘方的意義．2．會進行冪的乘方計算．重點會進行冪的乘方的運算．難點冪的乘方法則的總結(jié)及運用．一、復習引入(1)敘述同底數(shù)冪乘法法則，并用字母表示：(2)計算：①a2·a5·an；②a4·a4·a4.二、自主探究1．思考：根據(jù)乘方的意義及同底數(shù)冪的乘法填空，看看計算結(jié)果有什么規(guī)律：(1)(32)3＝32×32×32＝3()；(2)(a2)3＝a2·a2·a2＝a()；(3)(am)3＝am·am·am＝a()．(m是正整數(shù))2．小組討論對正整數(shù)n，你認識(am)n等于什么？能對你的猜想給出驗證過程嗎？冪的乘方(am)n＝am·am·am…amn個＝am＋m＋m＋…m,\s\up6(n個m))＝amn字母表示：(am)n＝amn(m，n都是正整數(shù))語言敘述：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．注意：冪的乘方不能和同底數(shù)冪的乘法相混淆，例如不能把(a5)2的結(jié)果錯誤地寫成a7，也不能把a5·a2的計算結(jié)果寫成a10.三、鞏固練習1．下列各式的計算中，正確的是()A．(x3)2＝x5B．(x3)2＝x6C．(xn＋1)2＝x2n＋1D．x3·x2＝x62．計算：(1)(103)5;(2)(a4)4；(3)(am)2;(4)－(x4)3.四、歸納小結(jié)冪的乘方的意義：(am)n＝amn.(m，n都是正整數(shù))五、布置作業(yè)教材第97頁練習．運用類比方法，得到了冪的乘方法則．這樣的設(shè)計起點低，學生學起來更自然，對新知識更容易接受．類比是一種重要的數(shù)學思想方法，值得引起注意．14．積的乘方1．經(jīng)歷探索積的乘方和運算法則的過程，進一步體會冪的意義．2．理解積的乘方運算法則，能解決一些實際問題．重點積的乘方運算法則及其應用．難點冪的運算法則的靈活運用．一、問題導入[師]提出的問題：若已知一個正方體的棱長為×103cm，你能計算出它的體積是多少嗎？[生]它的體積應是V＝×103)3cm3.[師]這個結(jié)果是冪的乘方形式嗎？[生]不是，底數(shù)是與103的乘積，雖然103是冪，但總體來看，我認為應是積的乘方才有道理．[師]積的乘方如何運算呢？能不能找到一個運算法則？用前兩節(jié)課的探究經(jīng)驗，請同學們自己探索，發(fā)現(xiàn)其中的奧妙．二、探索新知老師列出自學提綱，引導學生自主探究、討論、嘗試、歸納．(出示投影片)1．填空，看看運算過程用到哪些運算律，從運算結(jié)果看能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a()b()；(2)(ab)3＝________＝________＝a()b()；(3)(ab)n＝________＝________＝a()b()．(n是正整數(shù))2．把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律先用文字語言表述，再用符號語言表達．3．解決前面提到的正方體體積計算問題．4．積的乘方的運算法則能否進行逆運算呢？請驗證你的想法．5．完成教材第97頁例3.學生探究的經(jīng)過：1．(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a2b2，其中第①步是用乘方的意義；第②步是用乘法的交換律和結(jié)合律；第③步是用同底數(shù)冪的乘法法則．同樣的方法可以算出(2)，(3)題；(2)(ab)3＝(ab)·(ab)·(ab)＝(a·a·a)·(b·b·b)＝a3b3；(3)(ab)n＝(ab)·(ab)·…·(ab)n個ab＝a·a·…·an個a·b·b·…·bn個b＝anbn.2．積的乘方的結(jié)果是把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，也就是說積的乘方等于冪的乘積．用符號語言敘述便是：(ab)n＝an·bn.(n是正整數(shù))3．正方體的V＝×103)3它不是最簡形式，根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可作如下運算：V＝×103)3＝×(103)3＝×103×3＝×109＝×109(cm3)．通過上述探究，我們可以發(fā)現(xiàn)積的乘方的運算法則：(ab)n＝an·bn.(n為正整數(shù))積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．再考慮如下問題：(abc)n如何計算？是不是也有類似的規(guī)律？3個以上的因式呢？學生討論后得出結(jié)論：三個或三個以上因式的積的乘方也具有這一性質(zhì)，即(abc)n＝an·bn·cn.(n為正整數(shù))4．積的乘方法則可以進行逆運算．即an·bn＝(ab)n.(n為正整數(shù))分析這個等式：左邊是冪的乘積，而且冪指數(shù)相同，右邊是積的乘方，且指數(shù)與左邊指數(shù)相等，那么可以總結(jié)為：同指數(shù)冪相乘，底數(shù)相乘，指數(shù)不變．看來這也是降級運算了，即將冪的乘積轉(zhuǎn)化為底數(shù)的乘法運算．對于an·bn＝(a·b)n(n為正整數(shù))的證明如下：an·bn＝(a×a×…×a)n個a(b×b×…×b)n個b——冪的意義＝(ab)(ab)(ab)(ab)…(ab)n個(ab)——乘法交換律、結(jié)合律＝(a·b)n——乘方的意義5．[例3](1)(2a)3＝23·a3＝8a3；(2)(－5b)3＝(－5)3·b3＝－125b3；(3)(xy2)2＝x2·(y2)2＝x2·y2×2＝x2·y4＝x2y4；(4)(－2x3)4＝(－2)4·(x3)4＝16·x3×4＝16x12.(學生活動時，老師深入到學生中，發(fā)現(xiàn)問題，及時啟發(fā)引導，使各個層面的學生都能學有所獲)[師]通過自己的努力，發(fā)現(xiàn)了積的乘方的運算法則，并能做簡單的應用．可以作如下歸納總結(jié)：(1)積的乘方法則：積的乘方等于每一個因式乘方的積．即(ab)n＝an·bn.(n為正整數(shù))(2)三個或三個以上的因式的積的乘方也是具有這一性質(zhì)．如(abc)n＝an·bn·cn；(n為正整數(shù))(3)積的乘方法則也可以逆用．即an·bn＝(ab)n，an·bn·cn＝(abc)n.(n為正整數(shù))三、隨堂練習1．教材第98頁練習．(由學生板演或口答)四、課堂小結(jié)(1)通過本節(jié)課的學習，你有什么新的體會和收獲？(2)在應用積的運算性質(zhì)計算時，你覺得應該注意哪些問題？五、布置作業(yè)(1)(－2xy)3；(2)(5x3y)2；(3)[(x＋y)2]3；(4)2.本節(jié)課屬于典型的公式法則課，從實際問題猜想——主動推導探究——理解公式——應用公式——公式拓展，整堂課體現(xiàn)以學生為本的思想。實際問題情境的設(shè)置，在于讓學生感受到研究新問題的必要性，帶著問題思考本節(jié)課，更容易理解重點、突破難點．14．整式的乘法(4課時)第1課時單項式乘單項式和單項式乘多項式1．探索并了解單項式與單項式、單項式與多項式相乘的法則，并運用它們進行運算．2．會進行整式的混合運算．重點單項式與單項式、單項式與多項式相乘的運算法則及其應用．難點靈活地進行單項式與單項式、單項式與多項式相乘的運算．一、復習導入1．知識回顧：回憶冪的運算性質(zhì)：am·an＝am＋n(m，n都是正整數(shù))，即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．(am)n＝amn(m，n都是正整數(shù))，即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．(ab)n＝anbn(n為整數(shù))，即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．口答：冪的三個運算性質(zhì)是學習單項式與單項式、單項式與多項式乘法的基礎(chǔ)，所以先組織學生對上述的內(nèi)容作復習．2．練一練(a2)2＝____________；(－23)2＝____________；[(－eq\f(1,2))2]3＝____________；(a3)2·a3____________；23·25＝____________；(eq\f(3,2)xy2)2＝____________；(－eq\f(5,3))5(－eq\f(3,5))5＝____________．二、探究新知問題：光的速度約為3×105千米/秒，太陽光照射到地球上需要的時間大約是5×102秒，你知道地球與太陽的距離約是多少千米？注：從實際的問題導入，讓學生自己動手試一試，主動探索，在自己的實踐中獲得知識，從而構(gòu)建新的知識體系．地球與太陽的距離約為(3×105)×(5×102)千米．問題是(3×105)×(5×102)等于多少呢？學生提出運用乘法交換律和結(jié)合律可以解決：(3×105)×(5×102)＝(3×5)×(105×102)＝15×107(為什么？)在此處再問學生更加規(guī)范的書寫是什么？應該是地球與太陽的距離約為×108千米．請學生回顧，我們是如何解決問題的．問題：如果將上式中的數(shù)字改為字母，即ac5·bc2，你會算嗎？學生獨立思考，小組交流．注：從特殊到一般，從具體到抽象，在這一過程中，要注意留給學生探索與交流的空間，讓學生在自己的實踐中獲得單項式與單項式相乘的運算法則．學生分析：跟剛才的解決過程類似，可以將ac5和bc2分別看成a·c5和b·c2，再利用乘法交換律和結(jié)合律．a(chǎn)c5·bc2＝(a·c5)·(b·c2)＝(a·b)·(c5·c2)＝abc5＋2＝abc7.注：在教學過程中注意運用類比的方法來解決實際問題．[探究一]類似地，請你試著計算：(1)2c5·5c2；(2)(－5a2b3)·(－b2c)．a(chǎn)c5和bc2，2c5和5c2，(－5a2b3)和(－4b2c)都是單項式，通過剛才的嘗試，誰能告訴大家怎樣進行單項式乘法？注：先不給出單項式與單項式相乘的運算法則，而是讓學生類比，自己動手試一試，再相互交流，自己小結(jié)出如何進行單項式的乘法．要求學生用語言敘述這個性質(zhì)，這對于學生提高數(shù)學語言的表述能力是有益的．學生小結(jié)：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．3．算一算例1：教材例4.在例題教學中應該先讓學生觀察有哪些運算，如何利用運算性質(zhì)和法則．分析后再動手做，同時讓學生說一說每一步的依據(jù)．提醒學生在單項式的運算中應該先確定符號．例2小民的步長為a米，他量得家里臥室長15步，寬14步，這間臥室的面積有多少平方米？注：將運算法則應用在實際問題中，提高學生解決實際問題的能力．4．辯一辯教材第99頁練習2.注：辯一辯的目的是讓學生通過對這些判斷題的討論甚至爭論，加強對運算法則的掌握，同時也培養(yǎng)學生一定的批判性思維能力．[探究二]1．師生共同研究教材第99頁的問題，對單項式與多項式相乘的方法能有感性認識．注：這個實際問題來源于學生的實際，所以在教學中通過師生共同探討，再結(jié)合分配律學習不難得到結(jié)論．2．試一試計算：2a2·(3a2－5b)．(根據(jù)乘法分配律)注：因為整式的運算是在數(shù)的運算的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，所以在解決問題時讓學生類比數(shù)的運算律，將單項式乘以多項式轉(zhuǎn)化為單項式的乘法，自己嘗試得出結(jié)論．3．想一想從上面解決的兩個問題中，誰能總結(jié)一下，怎樣將單項式和多項式相乘？學生發(fā)言，互相補充后得出結(jié)論：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．4．做一做教材例5.(在學習過程中提醒學生注意符號問題，多項式的每一項都包括它前面的符號)注：學生在計算過程中，容易出現(xiàn)符號問題，要特別提醒學生注意．教材第100頁練習．三、課外鞏固1．必做題：教材第104～105頁習題第3，4題．2．備選題：(1)若(－5am＋1b2n－1)(2anbm)＝－10a4b4，則m－n的值為________；(2)計算：(a3b)2·(a2b)3；(3)計算：(3a2b)2＋(－2ab)(－4a3b)；(4)計算：(－eq\f(5,2)xy)·(eq\f(2,3)xy2－2xy＋eq\f(4,3)y)．本節(jié)課采用引導發(fā)現(xiàn)法．通過教師精心設(shè)計的問題鏈，引導學生將需要解決的問題轉(zhuǎn)化成用已經(jīng)學過的知識可以解決的問題，充分體現(xiàn)了教師的主導作用和學生的主體作用，學生始終處在觀察思考之中．第2課時多項式乘多項式經(jīng)歷探索多項式乘法法則的過程，理解多項式乘法法則，靈活運用多項式乘以多項式的運算法則．重點多項式乘法的運算．難點探索多項式乘法的法則，注意多項式乘法的運算中“漏項”、“負號”的問題．一、情境導入教師引導學生復習單項式×多項式運算法則．整式的乘法實際上就是：單項式×單項式；單項式×多項式；多項式×單項式．組織討論：問題為了擴大街心花園的綠地面積，把一塊原長am，寬pm的長方形綠地，加長了bm，加寬了qm．你能用幾種方法求出擴大后的綠地面積？如何計算？小組討論，你從計算過程中發(fā)現(xiàn)了什么？由于(a＋b)(p＋q)和(ap＋aq＋bp＋bq)表示同一個量，即有(a＋b)(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq.二、探索新知(一)探索法則根據(jù)乘法分配律，我們也能得到下面等式：在學生發(fā)言的基礎(chǔ)上，教師總結(jié)多項式與多項式的乘法法則并板書法則．讓學生體會法則的理論依據(jù)：乘法對加法的分配律．多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．(二)例題講解與鞏固練習1．教材例6計算：(1)(3x＋1)(x＋2)；(2)(x－8y)(x－y)；(3)(x＋y)(x2－xy＋y2)．2．計算下列各題：(1)(x＋2)(x＋3)；(2)(a－4)(a＋1)；(3)(y－eq\f(1,2))(y＋eq\f(1,3))；(4)(2x＋4)(6x－eq\f(3,4))；(5)(m＋3n)(m－3n)；(6)(x＋2)2.3．某零件如圖所示，求圖中陰影部分的面積S.練習點評：根據(jù)學生的具體情況，教師可選擇其中幾題，分析并板書示范，其余幾題，可由學生獨立完成．在講解、練習過程中，提醒學生對法則的靈活、正確應用，注意符號，不要漏乘．注意一定要用第一個多項式的每一項依次去乘第二個多項式的每一項，在計算時要注意多項式中每個單項式的符號．三、課堂小結(jié)指導學生總結(jié)本節(jié)課的知識點，學習過程的自我評價．主要針對以下方面：1．多項式×多項式．2．多項式與多項式的乘法．用一個多項式中的每項乘另一個多項式的每一項，不要漏項．在沒有合并同類項之前，兩個多項式相乘展開后的項數(shù)應是這兩個多項式項數(shù)之積．四、布置作業(yè)教材第102頁練習題．本節(jié)課由計算綠地面積出發(fā)，通過幾種不同的計算圖形面積方法，得出多項式相乘的法則，整個教學過程的主線和重點定在學生如何自主地探索多項式乘法法則的過程以及如何熟練運用法則解決問題，充分調(diào)動了學生學習的積極性．教師不僅是教給學生知識，還要重視學習方法的指導和培養(yǎng)．第3課時同底數(shù)冪相除1．掌握同底數(shù)冪的除法的運算法則．2．會用同底數(shù)冪的除法的法則進行計算．重點準確熟練地運用同底數(shù)冪的除法運算法則進行計算．難點根據(jù)乘、除互逆的運算關(guān)系得出同底數(shù)冪的除法運算法則．一、問題導入1．敘述同底數(shù)冪的乘法運算法則．同底數(shù)冪相乘，指數(shù)相加，底數(shù)不變．即am·an＝am＋n.(m，n是正整數(shù))2．問題：一種數(shù)碼照片的文件大小是28K，一個存儲量為26M(1M＝210K)的移動存儲器能存儲多少張這樣的數(shù)碼照片？移動器的存儲量單位與文件大小的單位不一致，所以要先統(tǒng)一單位．移動存儲器的容量為26×210＝216K.所以它能存儲這種數(shù)碼照片的數(shù)量為218÷28.218，28是同底數(shù)冪，同底數(shù)冪相除如何計算呢？二、探究新知請同學們做如下運算：1．(1)28×28；(2)52×53；(3)102×105；(4)a3·a3.2．填空：(1)()·28＝216；(2)()·53＝55；(3)()·105＝107；(4)()·a3＝a6.除法與乘法兩種運算互逆，要求空內(nèi)所填數(shù)，其實是一種除法運算，所以這四個小題等價于：(1)216÷28＝()；(2)55÷53＝()；(3)107÷105＝()；(4)a6÷a3＝()．再根據(jù)第1題的運算，我們很容易得到答案：(1)28；(2)52；(3)102；(4)a3.其實我們用除法的意義也可以解決，請同學們思考、討論．(1)216÷28＝(2)55÷53＝(3)107÷105＝(4)a6÷a3＝從上述運算能否發(fā)現(xiàn)商與除數(shù)、被除數(shù)有什么關(guān)系？am÷an＝am－n.(a≠0，m，n都是正整數(shù)，且m≥n)三、例題講解例1(教材例7)計算：(1)x8÷x2；(2)(ab)5÷(ab)2.解：(1)x8÷x2＝x8－2＝x6；(2)(ab)5÷(ab)2＝(ab)5－2＝(ab)3＝a3b3.例2先分別利用除法的意義填空，再利用am÷an＝am－n的方法計算，你能得出什么結(jié)論？(1)32÷32＝()；(2)103÷103＝()(3)am÷am＝()(a≠0)．解：先用除法的意義計算．32÷32＝1；103÷103＝1；am÷am＝1(a≠0)．再利用am÷an＝am－n的方法計算．32÷32＝32－2＝30；103÷103＝103－3＝100；am÷am＝am－m＝a0(a≠0)．這樣可以總結(jié)得a0＝1(a≠0)．于是規(guī)定：a0＝1(a≠0)，即任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.四、課堂小結(jié)通過這節(jié)課的學習，你有哪些收獲？師生共同總結(jié)：(1)同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減；(2)任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.五、布置作業(yè)教材第104頁練習第1題．同底數(shù)冪的除法的主要內(nèi)容是根據(jù)除法是乘法的逆運算，從計算具體的同底數(shù)的冪的除法，到計算底數(shù)具有一般性的字母，逐步歸納出同底數(shù)冪除法的法則，并運用法則熟練、準確地進行計算．本節(jié)課是在學習了冪的乘方、積的乘方的基礎(chǔ)上進行的，它們構(gòu)成一個有機整體，為后續(xù)的整式除法的學習打下基礎(chǔ)．第4課時整式的除法1．單項式除以單項式的運算法則及其應用．2．多項式除以單項式的運算法則及應用．重點單項式除以單項式的運算法則及其應用；多項式除以單項式運算法則及其應用．難點探索多項式與單項式相除的運算法則的過程．一、情境導入問題：木星的質(zhì)量約是×1024噸，地球的質(zhì)量約是×1021噸，你知道木星的質(zhì)量約是地球質(zhì)量的多少倍嗎？重點研究算式×1024)÷×1021)怎樣進行計算，目的是給出下面兩個單項式相除的模型．二、探究新知1．探索法則(1)計算×1024)÷×1021)，說說你計算的根據(jù)是什么？(2)你能利用(1)中的方法計算下列各式嗎？8a3÷2a；6x3y÷3xy；12a3b2x3÷3ab2.(3)你能根據(jù)(2)說說單項式除以單項式的運算法則嗎？教師可以鼓勵學生自己發(fā)現(xiàn)系數(shù)、同底數(shù)冪的底數(shù)和指數(shù)發(fā)生的變化，并運用自己的語言進行描述．2．歸納法則單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式．3．應用新知(1)28x4y2÷7x3y；(2)－5a5b3c÷15a4b.首先指明28x4y2與7x3y分別是被除式與除式，在這里省去了括號，對本例可以采用學生口述，教師板書的形式完成．口述和板書都應注意展示法則的應用，計算過程要詳盡，使學生盡快熟悉法則．4．鞏固新知教材第104頁練習第2題．學生自己嘗試完成計算題，同桌交流．5．再探新知計算下列各式：(1)(am＋bm)÷m；(2)(a2＋ab)÷a；(3)(12a3－6a2＋3a)÷3a.①說說你是怎樣計算的．②還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？在學生獨立解決問題之后，及時引導學生反思自己的思維過程，并對自己計算所得的結(jié)果進行觀察，總結(jié)出計算的一般方法和結(jié)果的項數(shù)特征：商式與被除式的項數(shù)相同．6．歸納法則多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．你能把這句話寫成公式的形式嗎？7．解決問題計算：(1)(21x4y3－35x3y2＋7x2y2)÷(－7x2y)；(2)[(x＋y)2－y(2x＋y)－8x]÷2x.冪的運算性質(zhì)是整式除法的關(guān)鍵，符號仍是運算中的重要問題．在此可由學生口答，要求學生說出式子每步變形的依據(jù)，并要求學生養(yǎng)成檢驗的習慣，利用乘除互為逆運算，檢驗商式的正確性．8．鞏固提高教材第104頁練習第3題．利用投影儀反饋學生解題過程．三、布置作業(yè)1．必做題：教材第105頁習題第6題．2．備選題：下列計算是否正確？如不正確，應怎樣改正？(1)－4ab2÷2ab＝2b；(2)(14a3－2a2＋a)÷a＝14a2＝2a.這節(jié)課可以說學生動的多，教師講的少．學生的主體地位體現(xiàn)的還算可以．主要是以學生的活動為主的，基本符合新課改精神．課堂上教師的指導提示基本到位，學生能夠在教師的指導下進行活動，完成了教學任務(wù)．14．2乘法公式14．平方差公式1．經(jīng)歷探索平方差公式的過程．2．會推導平方差公式，并能運用公式進行簡單的運算．重點平方差公式的推導和應用．難點理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，靈活應用平方差公式．一、設(shè)問引入探究：計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)它們的運算形式與結(jié)果有什么規(guī)律嗎？(1)(x＋1)(x－1)；(2)(m＋2)(m－2)；(3)(2x＋1)(2x－1)．引導學生用自己的語言敘述所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，允許學生之間互相補充，教師不急于概括．二、舉例分析再舉幾個這樣的運算例子．讓學生獨立思考，每人在組內(nèi)舉一個例子(可口述或書寫)，然后由其中一個小組的代表來匯報．三、歸納概括計算(a＋b)(a－b)．讓學生計算，歸納算式的特征，說明結(jié)果的形式．然后，教師系統(tǒng)總結(jié)平方差公式．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.語言敘述：________________．教師引導學生歸納這個公式的一些特點：如公式左、右兩邊的結(jié)構(gòu)，教給學生記憶公式的方法．四、應用新知教材例1運用平方差公式計算：(1)(3x＋2)(3x－2)；(2)(－x＋2y)(－x－2y)．填表：(a＋b)(a－b)aba2－b2最后結(jié)果(3x＋2)(3x－2)2(3x)2－22(x＋2y)(－x－2y)對本例的前面兩個小題可以采用學生獨立完成，然后搶答的形式；第二小題可采用小組討論的形式，要求學生在給出表格所提示的解法之后，思考別的解法：提取后一個因式里的負號，將2y看作“a”，將x看作“b”，然后運用平方差公式計算．教材例2計算：(1)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)；(2)102×98.此處仍先讓學生獨立思考，然后自主發(fā)言，口述解題思路，允許他們算法的多樣化，然后通過比較，優(yōu)化算法，達到簡便計算的目的．五、鞏固練習教材第108頁練習第1，2題．第1題口述完成；第2題采用大組競賽的形式進行，其中(1)(4)由兩個大組完成，(2)(3)由另兩個大組完成．六、小結(jié)與作業(yè)談一談：你這節(jié)課有什么收獲？作業(yè)：教材第112頁習題第1題．平方差公式是特殊的整式的乘法，運用這一公式可以迅速而簡捷地計算出符合公式的特征的多項式乘法的結(jié)果，運用公式計算一定要看是否符合公式的特征，這兩個數(shù)分別是什么，公式中的字母a，b不僅可以代表具體的數(shù)字，字母，單項式，也可以代表多項式．14．完全平方公式1．完全平方公式的推導及其應用．2．完全平方公式的幾何解釋．重點完全平方公式的推導過程、結(jié)構(gòu)特點、幾何解釋，靈活應用．難點理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，并能靈活應用公式進行計算．一、復習引入你能列出下列代數(shù)式嗎？(1)兩數(shù)和的平方；(2)兩數(shù)差的平方．你能計算出它們的結(jié)果嗎？二、探究新知你能發(fā)現(xiàn)它們的運算形式與結(jié)果有什么規(guī)律嗎？引導學生用自己的語言敘述所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，允許學生之間互相補充，教師不急于概括；舉例：(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝________________；(2)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝________________；(3)(m＋2)2＝________________；(4)(m－2)2＝________________．通過幾個這樣的運算例子，讓學生觀察算式與結(jié)果間的結(jié)構(gòu)特征．歸納：公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a－b)2＝a2－2ab＋b2語言敘述：兩個數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們積的2倍．這兩個公式叫做(乘法的)完全平方公式．教師可以在前面的基礎(chǔ)上繼續(xù)鼓勵學生發(fā)現(xiàn)這個公式的一些特點：如公式左、右邊的結(jié)構(gòu)，并嘗試說明產(chǎn)生這些特點的原因．還可以引導學生將(a－b)2的結(jié)果用(a＋b)2來解釋：(a－b)2＝[a＋(－b)]2＝a2＋2a(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2.三、舉例應用1．教材例3：運用完全平方公式計算：(1)(4m＋n)2；(2)(y－eq\f(1,2))2.解：(1)(4m＋n)2＝(4m)2＋2·(4m)·n＋n2＝16m2＋8mn＋n2；(2)(y－eq\f(1,2))2＝y(tǒng)2－2·y·eq\f(1,2)＋(eq\f(1,2))2＝y(tǒng)2－y＋eq\f(1,4).可由學生口答完成，教師多媒體展示結(jié)果，提高課堂效率．2．教材例4：運用完全平方公式計算：(1)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22＝10000＋400＋4＝10404；(2)992＝(100－1)2＝1002－2×100×1＋12＝10000－200＋1＝9801.此處可先讓學生獨立思考，然后自主發(fā)言，口述解題思路，可先不給出題目中“運用完全平方公式計算”的要求，允許他們算法的多樣化，但要求明白每種算法的局限和優(yōu)越性．四、再探新知1．現(xiàn)有下圖所示三種規(guī)格的卡片各若干張，請你根據(jù)二次三項式a2＋2ab＋b2，選取相應種類和數(shù)量的卡片，嘗試拼成一個正方形，并討論該正方形的代數(shù)意義：2．你能根據(jù)下圖說明(a－b)2＝a2－2ab＋b2嗎？第1小題由小組合作共同完成拼圖游戲，比一比哪個小組快？第2小題借助多媒體課件，直觀演示面積的變化，幫助學生聯(lián)想代數(shù)恒等式：(a－b)2＝a2－b2－2b(a－b)＝a2－2ab＋b2.五、思考討論(a＋b)2與(－a－b)2相等嗎？(a－b)2與(b－a)2相等嗎？(a－b)2與a2－b2相等嗎？為什么？組織學生進行討論，通過自主推導，互相合作交流，共同解決難題．六、鞏固拓展教材例5：運用乘法公式計算：(1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)；(2)(a＋b＋c)2.解：(1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)]＝x2－(2y－3)2＝x2－(4y2－12y＋9)＝x2－4y2＋12y－9；(2)(a＋b＋c)2＝[(a＋b)＋c]2＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.講解此例之前可先讓學生自學教材第111頁的“添括號法則”并完成教材第111頁練習第1題．然后給出例5題目，讓學生思考選擇哪個公式．第(1)小題的解決關(guān)鍵是要引導學生比較兩個因式的各項符號，分別找出符號相同及相反的項，學會運用整體思想，將其與公式中的字母a，b對照，其中－2y＋3＝－(2y－3)，故應運用平方差公式．第(2)小題可將任意兩項之和看作一個整體，然后運用完全平方公式．在解此例的過程中，應注意邊辯析各項的符號特征，邊對照兩個公式的結(jié)構(gòu)特征，教師應完整詳細地書寫解題過程，幫助學生理解這一公式的拓展應用，突破難點．七、課堂小結(jié)談一談：你對完全平方公式有了哪些認識？它與平方差公式有什么區(qū)別和聯(lián)系？作業(yè)：教材第112頁習題第2題，第3題的(1)(3)(4)，第4題．在完全平方公式的探求過程中，學生表現(xiàn)出觀察角度的差異：有些學生只是側(cè)重觀察某個單獨的式子，而不知道將幾個式子聯(lián)系起來看；有些學生則觀察入微，表現(xiàn)出了較強的觀察力．教師要抓住這個契機，適當對學生進行學法指導．對于公式的特點，則應當左右兼顧，特別是公式的左邊，它是正確應用公式的前提．14．3因式分解14．提公因式法1．使學生了解因式分解的概念，以及因式分解與整式乘法的關(guān)系．2．了解公因式概念和提取公因式的方法．3．會用提取公因式法分解因式．重點會用提取公因式法分解因式．難點如何確定公因式以及提出公因式后的另外一個因式．一、問題導入同學們，我們先來看下面兩個問題：1．630能被哪些整除，說說你是怎樣想的？2．當a＝101，b＝99時，求a2－b2的值．對于問題1我們必須對630進行質(zhì)因數(shù)分解，對于問題2，雖然可以直接把a＝101，b＝99代入進行計算，但如果應用平方差公式應先把a2－b2變形成(a＋b)·(a－b)的形式再代入進行計算，將會使計算過程變得更加簡捷．通過對上面兩個問題的解決方法和過程的討論，使學生感知到把一個數(shù)進行質(zhì)因數(shù)分解和把一個多項式變?yōu)閹讉€整式的乘積是對數(shù)和式的一種恒等變形，能使演算簡便．二、探究新知1．教材第114頁的“探究”．要在學生充分理解化成整式的積的形式的基礎(chǔ)上進行探究，要注意突出寫成整式的積的具體含義，使學生聯(lián)想到可以運用整式的乘法來達到這個目的，為因式分解概念的建立埋下伏筆．2．提出因式分解的概念．利用教材中的因式分解和整式乘法的關(guān)系圖，說明因式分解和整式乘法是對一個多項式的兩種不同的變形，并強調(diào)它們的特點．下列由左到右的變形，是否是因式分解，為什么？(1)(x＋2)(x－2)＝x2－4；(2)x2－4＝(x＋2)(x－2)；(3)x2－4＋3x＝(x＋2)(x－2)＋3x.[探究題使學生進一步認識到多項式可以有不同形式的表示，而所謂因式分解就是把多項式化為積的形式，分清它與整式乘法的關(guān)系，對因式分解的概念的建立很有必要．通過這次練習強化因式分解的概念]3．提公因式法研究多項式pa＋pb＋pc各項中每個因式的特點，提出公因式的概念．讓學生體驗：pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)從左到右是怎樣得到的，你能對ax＋2ay進行類似的變形嗎？三、舉例分析例1把8a3b2＋12ab3c分解因式．分析：先要求學生思考這個問題的最后結(jié)果該是怎樣的，然后依照教材進行分析，注意講清確定公因式的具體步驟，從數(shù)、字母和字母的次數(shù)3個方面進行分析；分解因式完成后要分析公因式和另一個因式之間的關(guān)系，并思考：如果提出公因式4ab，另一個因式是否還有公因式？從而把提公因式的“提”的具體含義深刻化，這是提公因式法的正確性的重要保證．練習用提公因式法分解因式：(1)3mx－6nx2；(2)4a2b＋10ab－2ab3.例2把2a(b＋c)－3(b＋c)因式公解．分析：可引導學生對該多項式的每項因式的特點進行仔細觀察，從而發(fā)現(xiàn)把b＋c看作一個“整體”時公因式就是b＋c，再用提公因式法進行分解．例3計算：×12＋12×－×12.讓學生觀察并分析怎樣計算更簡單．思考：說說例1、例2和例3的公因式有什么不同？四、鞏固練習1．完成教材第115頁練習第1，2，3題．2．討論：怎樣檢查因式分解是否正確？提公因式后的另一個公因式的項數(shù)和原多項式的項數(shù)有什么關(guān)系？五、小結(jié)提高1．舉一個例子說說什么是因式分解．2．什么是多項式的公因式？確定公因式該從哪幾個方面進行考慮？3．說說提公因式法的一般步驟．(1)確定提取的公因式；(2)用公因式去除這個多項式，所得的商式作為另一個因式；(3)把多項式寫成這兩個因式的積的形式．六、布置作業(yè)1．教材第119頁習題第1題．2．備選題：(1)下列提公因式法分解因式是否正確，為什么？若不正確，請寫出正確答案．①－25a2x2－20a3x2＝－5ax(5x－4ax)；②2a(x－y)3－3b(y－x)2＝(x－y)2[2a(x－y)＋3b]．(2)用提公因式法分解因式．①a2b－ab2；②－eq\f(1,4)x2＋eq\f(1,2)xy；③－2p2(p2＋q2)＋6pq(p2＋q2)；④5a(x－y－z)－2bx＋2by＋2bz.在學習提取公因式時首先讓學生通過小組討論得到公因式的結(jié)構(gòu)組成，并且引導學生得出提公因式法這一因式分解的方法其實就是將被分解的多項式除以公因式得到余下的因式的計算過程．此處的意圖是充分讓學生自主探索，合作學習，得出結(jié)論．接著通過例題講解，最后讓學生自主完成練習題，老師當堂講評．14．公式法(2課時)第1課時平方差公式1．能說出平方差公式的特點．2．能較熟練地應用平方差公式分解因式．重點應用平方差公式分解因式．難點靈活應用平方差公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．一、問題導入，探究新知問題1：什么叫因式分解？問題2：你能將多項式x2－4與多項式y(tǒng)2－25分解因式嗎？這兩個多項式有什么共同的特點？對于問題1要強調(diào)因式分解是對多項式進行的一種變形，可引導比較它與整式乘法的關(guān)系．對于問題2要求學生先進行思考，教師可視情況作適當?shù)奶崾?，在此基礎(chǔ)上討論這兩個多項式有什么共同的特點．特點：這兩個多項式都可以寫成兩個數(shù)的平方差的形式，對于這種形式的多項式，可以利用平方差公式來分解因式．即(a＋b)(a－b)＝a2－b2反過來就是：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．要求學生具體說說這個公式的意義．教師用語句清楚地進行表述．例1分解因式：(1)4x2－9；(2)(x＋p)2－(x＋q)2.分析：注意引導學生觀察這2個多項式的項數(shù)，每個項可以看成是什么“東西”的平方，使之與平方差公式進行對照，確認公式中的字母在每個題目中對應的數(shù)或式后，再用平方差公式進行因式分解．能否用平方差公式進行因式分解，取決于這個多項式是否符合平方差的特征，即兩個數(shù)的平方差，所以要強調(diào)多項式是否可化為()2－()2的形式．括號里的“東西”是一個整體，它可以是具體的數(shù)或單項式或多項式，如(2)題中應是多項式．例2分解因式：(1)x4－y4；(2)a3b－ab.分析：(1)先把它寫成平方差的形式，再分解因式，注意它的第2次分解；(2)現(xiàn)在不具備平方差的特征，引導繼續(xù)觀察特點，發(fā)現(xiàn)有公因式ab，應先提公因式，再進一步分解．學生交流體會：因式分解要進行到不能再分解為止，提公因式法和應用公式法的綜合應用．二、鞏固練習完成教材第117頁練習第1，2題．第1題對學生的觀察能力和判斷能力是一次很好的鍛煉，要求學生講出能否用公式的道理．第2題是用提公因式法和應用平方差公式進行因式分解的綜合應用，要求學生養(yǎng)成先觀察多項式的特點的習慣．注意：要將因式分解進行到不能再分解為止．三、課堂小結(jié)1．舉一個例子說說