初二幾何中常用輔助線的添加

一.教學內容：寒假專題一一初二幾何中常用輔助線的添加【典型例題】（一）添加輔助線構造全等三角形例1,已知：AB〃CD,AD〃BC。求證：AB=CD分析：證明線段相等的方法有：（1）中線的定義；（2）全等三角形的對應邊相等；（3）等式的性質。在本題中，我們可通過連結AC,構造全等三角形來證明線段相等。證明：連結AC.?AB〃CD,AD〃BCAZ1=Z3,Z2=Z4在^ABC和^CDA中Vl=Z3AC=ACZ4=Z2.?.△ABCSCDA（ASA）AAB=CD（二）截長補短法引輔助線當已知或求證中涉及到線段a、b、c有下列情況時：=±占二九如直接證不出來，可采用截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；補短法：延長較短線段和較長線段相等，這兩種方法放在一起叫截長補短法。通過線段的截長補短，構造全等把分散的條件集中起來。例2,如圖，4ABC中，NACB=2NB,N1=N2。求證：AB=AC+CD證法一：（補短法）在4ABD和4AFD中西=AFZl=Z2AD=AD.?.△ABDSAFD(SAS)AZB=ZFZACB=2ZBAZACB=2ZF而NACB=ZF+ZFDCAZF=ZFDCACD=CF而AF=AC+CFAAF=AC+CDAAB=AC+CD證法二：(截長法)在AB上截取AE=AC,連結DE在4AED和4ACD中工豆=ACZl=Z2AD=AD.?.△AEDSACD(SAS)：.DE=DC,ZAED=ZC'：Zaed=Zb+Zedb,Zacb=2Ab：.2ZB= +ZSDB：./B=/EDB：.EB=ED=DC：.AB=AE+EB=AC+DC例3.如圖，在Rt△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,Z1=Z2,CE±BD交BD的延長線于E,證明：BD=2CE。分析：這是一道證明一條線段等于另一條線段的2倍的問題，可構造線段2CE,轉化為證兩線段相等的問題，分別CE=FE=-CF延長BA,CE交于F,證△8￡尸048￡^得 2 ，再證△ABD04ACF,得BD=CF。證明：分別延長BA、CE交于點FVBEXCFAZBEF=ZBEC=90°在△BEF和^BEC中21=Z2BE=BEZBEF=ABEC.?.△BEFSBEC(ASA)：.CE=FE=；CFVZBAC=90°,BE±CF.\ZBAC=ZCAF=90°,Z1+ZBDA=90°,Z1+ZBFC=90°AZBDA=ZBFC在^ABD和^ACF中2班C=ZCAFAbda=Zbfcab=ac.△ABDSACF(AAS)ABD=CFABD=2CE（三）加倍法和折半法證明一條線段是另一條線段的兩倍，常用如下方法：將較短線段延長一倍，然后證明它和較長線段相等，或將較長線段折半，然后證明它和較短線段相等，這種方法稱為加倍法和折半法。例4.已知：如圖，AD是4ABC的中線，AE是4ABD的中線，AB=DC,ZBAD=ZBDAO求證：AC=2AE分析：欲證AC=2AE,只要取AC的中點，證其一半與AE相等，或延長AE至等長，證其與AC相等，由于AE是4ABD的中線，故考慮延長AE至F,使EF=AE,證AF=AC.（此種方法我們又稱為中線倍長法）只要證△ABF04ADC,觀察圖形發(fā)現，可以證明△ADE04FBE,則可得出BF=AD,尚需條件NADC=NFBA,而這可由外角的性質推出。證明：延長AE至F,使EF=AE,連結BFVAE是4ABD的中線ABE=ED在△BEF和4DEA中ZF二EAABEF=乙DEABE=DE.△BEFSDEAAZEBF=ZBDA,BF=DAVZBAD=ZBDA.\ZEBF=ZBAD■//adc= +Abad乙FBA=ZABD+AEBF：.Zadc=乙fba在^ADC和^FBA中3=DCZFBA=ZADCRF=DA.?.△ADCSFBA.\AC=AFXVAF=2AE.??AC=2AE（四）利用角平分線的性質來添加輔助線有角平分線（或證明是角平分線）時，常過角平分線上的點向角兩邊作垂線段，利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等證題。例5.已知：4ABC的NB、NC的外角平分線交于點P。求證：AP平分NBAC證明：過P點作PDXAC于D點，PFXAB于F點，PEXBC于E點PC,BP為4ABC的NB、NC的外角平分線PD±AC,PEXBC?.PD=PE（角平分線性質）同理：PF=PE.?.PD=PF（等量代換）??AP平分NBAC（角平分線性質逆定理）例6.已知：如圖，N1=N2,P為BN上一點，且PDXBC于D,AB+BC=2BD。求證：NBAP+NBCP=180°分析：要證NBAP+NBCP=180°,而由圖可知NBAP+NEAP=180°,故只要證NEAP=NBCP即可。由N1=Z2,PDLBC,想到過P點向BA作垂線PE,有PE=PD,BE=BD,又由工B ，得AE=CD,故△APE04CPD,從而有NEAP=NBCP,問題得證。證明：過點P作PEXBA于EVPD±BC,Z1=Z2?.PE=PD(角平分線的性質)在RtABPE和RtABPD中\(zhòng)BP=BP[PS=PDZ.RtABPE^RtABPD(HL)ABE=BD'：AB+BC=2BDBC=CD+BDAB=BE-AE：.AE=CD'：PElBSfPDLBCAZPEB=ZPDC=90°在^PEA和^PDC中'FE=PD，AFEB=ZLPDCAS=CD.?.△PEASPDCAZPCB=ZEAPZBAP+ZEAP=180°AZBAP+ZBCP=180°【模擬試題】（答題時間：40分鐘）1.已知，如圖，AB=AE,BC=ED,5=修,'F_LC0，垂足為f,求證：CF=DF2,在四邊形ABCD中，BC>BA,AD=DC,BD平分,求證：ZA+ZC=180°3.已知AD是^ABC的中線，E在BC的延長線上，CE=AB,=/BC?!,求證：AE=2AD4,已