2021-2022年高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系3.4平面與平面垂直的性質(zhì)1作業(yè)含解析新人教版必修220220226150

PAGEPAGE8平面與平面垂直的性質(zhì)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．平面α⊥平面β，α∩β＝l，m?α，m⊥l，則()A．m∥β B．m?βC．m⊥β D．m與β相交但不一定垂直[答案]C2．已知平面α⊥平面β，直線a⊥β，則()A．a(chǎn)?α B．a(chǎn)∥αC．a(chǎn)⊥α D．a(chǎn)?α或a∥α[答案]D3．(2015·合肥高一檢測)空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，則△ABC的形狀是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不能確定[答案]B4．如下圖所示，三棱錐P－ABC的底面在平面α內(nèi)，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，點(diǎn)P，A，B是定點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是()A．一條線段 B．一條直線C．一個(gè)圓 D．一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)[答案]D[解析]∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC?平面PAC，∴AC⊥平面PBC．又∵BC?平面PBC，∴AC⊥BC．∴∠ACB＝90°.∴動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以AB為直徑的圓，除去A和B兩點(diǎn)．5．如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α、β所成的角分別為eq\f(π,4)和eq\f(π,6).過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，則ABA′B′等于()A．21 B．31C．32 D．43[答案]A[解析]由已知條件可知∠BAB′＝eq\f(π,4)，∠ABA′＝eq\f(π,6)，設(shè)AB＝2a，則BB′＝2asineq\f(π,4)＝eq\r(2)a，A′B＝2acoseq\f(π,6)＝eq\r(3)a，∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴ABA′B′＝21.6．如圖所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1A．直線AB上 B．直線BC上C．直線AC上 D．△ABC內(nèi)部[答案]A[解析]∵AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1，又∵AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1與平面ABC的交線AB上，故選A．二、填空題7．平面α⊥平面β，直線l?α，直線m?β，則直線l，m的位置關(guān)系是________.[答案]相交、平行、異面8．三棱錐P－ABC的高為PH，若三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，則H為△ABC的________心．[答案]垂[解析]由三個(gè)側(cè)面兩兩垂直知三條側(cè)棱兩兩垂直，則有BC⊥PA，AB⊥PC，CA⊥PB，又由BC⊥PA，PH⊥BC，得BC⊥平面PAH，則BC⊥AH，同理有AB⊥CH，CA⊥BH，所以H為△ABC高線的交點(diǎn)，即垂心．三、解答題9．把一副三角板如圖拼接，設(shè)BC＝6，∠A＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，使兩塊三角板所在的平面互相垂直．求證：平面ABD⊥平面ACD．[證明]eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(平面ABC⊥平面BCD,CD⊥BC))?CD⊥平面ABC)),,,AB?平面ABC))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(CD⊥AB,AB⊥AC))?AB⊥平面ACD)),,,AB?平面ABD))?平面ABD⊥平面ACD．10.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一點(diǎn)．(1)若CD∥平面PBO，試指出點(diǎn)O的位置；(2)求證：平面PAB⊥平面PCD．[解析](1)∵CD∥平面PBO，CD?平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，∴BO∥CD．又BC∥AD，∴四邊形BCDO為平行四邊形．則BC＝DO，而AD＝3BC，∴AD＝3OD，即點(diǎn)O是靠近點(diǎn)D的線段AD的一個(gè)三等分點(diǎn)．(2)證明：∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD∩底面ABCD＝AD，AB?底面ABCD，且AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD．又PD?平面PAD，∴AB⊥PD．又PA⊥PD，且PA?平面PAB，AB?平面PAB，AB∩PA＝A，∴PD⊥平面PAB．又PD?平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．能力提升一、選擇題1．在空間中，下列命題正確的是()A．若三條直線兩兩相交，則這三條直線確定一個(gè)平面B．若直線m與平面α內(nèi)的一條直線平行，則m∥αC．若平面α⊥β，且α∩β＝l，則過α內(nèi)一點(diǎn)P與l垂直的直線垂直于平面βD．若直線a∥b，且直線l⊥a，則l⊥b[答案]D[解析]選項(xiàng)A中，若有3個(gè)交點(diǎn)，則確定一個(gè)平面，若三條直線交于一點(diǎn)，則不一定能確定一個(gè)平面，如正方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1，AB，AD兩兩相交，但由AA12．設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，l是一條直線，以下命題正確的是()A．若l⊥α，α⊥β，則l?β B．若l∥α，α∥β，則l?βC．若l⊥α，α∥β，則l⊥β D．若l∥α，α⊥β，則l⊥β[答案]C[解析]l⊥α，α⊥β?l∥β或l?β，A錯(cuò)；l∥α，α∥β?l∥β或l?β，B錯(cuò)；l⊥α，α∥β?l⊥β，C正確；若l∥α，α⊥β，則l與β位置關(guān)系不確定，D錯(cuò)．3．設(shè)a，b是兩條直線，α，β是兩個(gè)平面，則能夠得出a⊥b的是()A．a(chǎn)⊥α，b∥β，α⊥β B．a(chǎn)⊥α，b⊥β，α∥βC．a(chǎn)?α，b⊥β，α∥β D．a(chǎn)?α，b∥β，α⊥β[答案]C[解析]b⊥β，α∥β，∴b⊥α，又a?α，∴b⊥a.4.如圖，邊長為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點(diǎn)G，已知△A′DE是△ADE繞DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形(A′不與A，F(xiàn)重合)，則下列命題中正確的是()①動(dòng)點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱錐A′－FED的體積有最大值．A．① B．①②C．①②③ D．②③[答案]C[解析]注意折疊前DE⊥AF，折疊后其位置關(guān)系沒有改變．①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，∴點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線段AF上．②BC∥DE，BC?平面A′DE，DE?平面A′DE，∴BC∥平面A′DE.③當(dāng)平面A′DE⊥平面ABC時(shí)，三棱錐A′－FED的體積達(dá)到最大．二、填空題5.如右圖所示，P是菱形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，且∠DAB＝60°，邊長為a.側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB與平面AC所成的角為θ，則θ＝________.[答案]45°[解析]如圖所示，取AD的中點(diǎn)G，連接PG，BG，BD．∵△PAD是等邊三角形，∴PG⊥AD，又平面PAD⊥平面AC，平面PAD∩平面AC＝AD，PG?平面PAD，∴PG⊥平面AC，∴∠PBG是PB與平面AC所成的角θ.在△PBG中，PG⊥BG，BG＝PG，∴∠PBG＝45°，即θ＝45°.6．如圖，在長方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC．在平面ABD內(nèi)過點(diǎn)D作DK⊥AB，K為垂足．設(shè)AK＝t，則t的取值范圍是________.[答案](eq\f(1,2)，1)[解析]如圖，過D作DG⊥AF，垂足為G，連接GK，∵平面ABD⊥平面ABC，又DK⊥AB，∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF.∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.容易得到，當(dāng)F接近E點(diǎn)時(shí)，K接近AB的中點(diǎn)，當(dāng)F接近C點(diǎn)時(shí)，K接近AB的四等分點(diǎn)．所以t的取值范圍是(eq\f(1,2)，1)．三、解答題7．(2015·甘肅蘭州一中期末)如圖，四棱錐A－BCDE中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝eq\r(2)，AB＝AC，CE與平面ABE所成的角為45°.(1)證明：AD⊥CE；(2)求二面角A－CE－B的正切值．[解析](1)證明：如圖，取BC的中點(diǎn)H，連接HD，交CE于點(diǎn)P，連接AH，AP.∵AB＝AC，∴AH⊥BC．又∵平面ABC⊥平面BCDE，∴AH⊥平面BCDE，又CE?平面BCDE，∴AH⊥CE.又∵eq\f(HC,CD)＝eq\f(CD,DE)＝eq\f(1,\r(2))，∠BCD＝∠CDE＝90°，∴Rt△HCD∽Rt△CDE.∴∠CDH＝∠CED，∴HD⊥CE.又AH∩HD＝H，∴CE⊥平面AHD．∴AD⊥CE.(2)由(1)CE⊥平面AHD，得AP⊥CE，又HD⊥CE，∴∠APH就是二面角A－CE－B的平面角．過點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為G，連接EG.∵BE⊥BC，且BE⊥AH，AH∩BC＝H，∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥CG，又BE∩AB＝B，∴CG⊥平面ABE，∴∠CEG就是CE與平面ABE所成的角，則∠CEG＝45°，又CE＝eq\r(22＋\r(2)2)＝eq\r(6)，∴CG＝EG＝eq\r(3).又BC＝2，∴∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝AC＝2，∴AH＝eq\r(3).又由△HCP∽△DEP得HP＝eq\f(\r(3),3)，∴tan∠APH＝eq\f(AH,HP)＝3.8．(2011·江蘇)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點(diǎn)．求證：(1)直線EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面P