2021-2022年高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系3.1直線與平面垂直的判定2作業(yè)含解析新人教版必修220220226136

PAGEPAGE8直線與平面垂直的判定【課時(shí)目標(biāo)】1．掌握直線與平面垂直的定義．2．掌握直線與平面垂直的判定定理并能靈活應(yīng)用定理證明直線與平面垂直．3．知道斜線在平面上的射影的概念，斜線與平面所成角的概念．1．直線與平面垂直(1)定義：如果直線l與平面α內(nèi)的________________直線都________，就說直線l與平面α互相垂直，記作________．直線l叫做平面α的________，平面α叫做直線l的________．(2)判定定理文字表述：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的________________________都垂直，則該直線與此平面垂直．符號(hào)表述：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,,,))?l⊥α．2．直線與平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的________所成的________，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．如圖所示，________就是斜線AP與平面α所成的角．(2)當(dāng)直線AP與平面垂直時(shí)，它們所成的角的度數(shù)是90°；當(dāng)直線與平面平行或在平面內(nèi)時(shí)，它們所成的角的度數(shù)是________；線面角θ的范圍：________．一、選擇題1．下列命題中正確的個(gè)數(shù)是()①如果直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α；②如果直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；③如果直線l不垂直于α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線；④如果直線l不垂直于α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直．A．0B．1C．22．直線a⊥直線b，b⊥平面β，則a與β的關(guān)系是()A．a(chǎn)⊥βB．a(chǎn)∥βC．a(chǎn)?βD．a(chǎn)?β或a∥β3．空間四邊形ABCD的四邊相等，則它的兩對(duì)角線AC、BD的關(guān)系是()A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交4．如圖所示，定點(diǎn)A和B都在平面α內(nèi)，定點(diǎn)P?α，PB⊥α，C是平面α內(nèi)異于A和B的動(dòng)點(diǎn)，且PC⊥AC，則△ABC為()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．無法確定5．如圖所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為()A．4B．3C．26．從平面外一點(diǎn)向平面引一條垂線和三條斜線，斜足分別為A，B，C，如果這些斜線與平面成等角，有如下命題：①△ABC是正三角形；②垂足是△ABC的內(nèi)心；③垂足是△ABC的外心；④垂足是△ABC的垂心．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3二、填空題7．在正方體ABCD－A1B1C1D1(1)直線A1B與平面ABCD所成的角是________；(2)直線A1B與平面ABC1D1所成的角是________；(3)直線A1B與平面AB1C18．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，當(dāng)?shù)酌鍭1B1C1滿足條件________時(shí)，有AB1⊥BC9．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是棱AA1和AB上的點(diǎn)，若∠B1MN是直角，則∠C1三、解答題10．如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是棱B1C1、B求證：CF⊥平面EAB．11．如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別是AB，PC的中點(diǎn)，PA＝AD．求證：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD．能力提升12．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為DD1的中點(diǎn)，O為ABCD的中心，求證B1O⊥13．如圖所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，過點(diǎn)A向SC和SB引垂線，垂足分別是P、Q，求證：(1)AQ⊥平面SBC；(2)PQ⊥SC．1．運(yùn)用化歸思想，將直線與平面垂直的判定轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)兩條相交直線的判定，而同時(shí)還由此得到直線與直線垂直．即“線線垂直?線面垂直”．2．直線和平面垂直的判定方法(1)利用線面垂直的定義．(2)利用線面垂直的判定定理．(3)利用下面兩個(gè)結(jié)論：①若a∥b，a⊥α，則b⊥α；②若α∥β，a⊥α，則a⊥β．3．線線垂直的判定方法(1)異面直線所成的角是90°．(2)線面垂直，則線線垂直．§2．3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2．3．1直線與平面垂直的判定答案知識(shí)梳理1．(1)任意一條垂直l⊥α垂線垂面(2)兩條相交直線a?αb?αa∩b＝A2．(1)射影銳角∠PAO(2)0°[0°，90°]作業(yè)設(shè)計(jì)1．B[只有④正確．]2．D3．C[取BD中點(diǎn)O，連接AO，CO，則BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，又BD、AC異面，∴選C．]4．B[易證AC⊥面PBC，所以AC⊥BC．]5．A[eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABC,BC?平面ABC))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥BC,AC⊥BC))?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC．]6．A[PO⊥面ABC．則由已知可得，△PAO、△PBO、△PCO全等，OA＝OB＝OC，O為△ABC外心．只有③正確．]7．(1)45°(2)30°(3)90°解析(1)由線面角定義知∠A1BA為A1B與平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°．(2)連接A1D、AD1，交點(diǎn)為O，則易證A1D⊥面ABC1D1，所以A1B在面ABC1D1內(nèi)的射影為OB，∴A1B與面ABC1D1所成的角為∠A1BO，∵A1O＝eq\f(1,2)A1B，∴∠A1BO＝30°．(3)∵A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1∴A1B⊥面AB1C1D，即A1B與面AB1C8．∠A1C1B1解析如圖所示，連接B1C由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C因此，要證AB1⊥BC1，則只要證明BC1⊥平面AB1C即只要證AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要證AC⊥BC即可．因?yàn)锳1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要證A1C1⊥B(或者能推出A1C1⊥B1C1的條件，如∠A1C19．90°解析∵B1C1⊥面ABB1A∴B1C1⊥又∵M(jìn)N⊥B1M∴MN⊥面C1B1M∴MN⊥C1M∴∠C1MN＝90°．10．證明在平面B1BCC1中，∵E、F分別是B1C1、B1∴△BB1E≌△CBF，∴∠B1BE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B1BCC1，CF?平面B1BCC1，∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．11．證明(1)∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA．又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．(2)取PD的中點(diǎn)G，連接AG，F(xiàn)G．又∵G、F分別是PD，PC的中點(diǎn)，∴GF綊eq\f(1,2)CD，∴GF綊AE，∴四邊形AEFG是平行四邊形，∴AG∥EF．∵PA＝AD，G是PD的中點(diǎn)，∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，∵CD⊥平面PAD，AG?平面PAD．∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD．12．證明連接AB1，CB1，設(shè)AB＝1．∴AB1＝CB1＝eq\r(2)，∵AO＝CO，∴B1O⊥AC．連接PB1．∵OBeq\o\al(2,1)＝OB2＋BBeq\o\al(2,1)＝eq\f(3,2)，PBeq\o\al(2,1)＝PDeq\o\al(2,1)＋B1Deq\o\al(2,1)＝eq\f(9,4)，OP2＝PD2＋DO2＝eq\f(3,4)，∴OBeq\o\al(2,1)＋OP2＝PBeq\o\al(2,1)．∴B1O⊥PO，又∵PO∩AC＝O，∴B1O⊥平面PAC．13．證