概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)計(jì)劃超詳細(xì)版

..

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》

第一章概率論的基本觀點(diǎn)

§2．樣本空間、隨機(jī)事件

1．事件間的關(guān)系A(chǔ)B則稱事件B包括事件A，指事件A發(fā)生必定致使事件B發(fā)生

AB{xxA或xB}稱為事件A與事件B的和事件，指當(dāng)且僅當(dāng)

A，B中起碼有一個(gè)發(fā)生時(shí)，事件AB發(fā)生

AB{xxA且xB}稱為事件A與事件B的積事件，指當(dāng)A，B

同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件AB發(fā)生

A—B{xxA且xB}稱為事件A與事件B的差事件，指當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生、B不發(fā)生時(shí)，事件A—B發(fā)生AB，則稱事件A與B是互不相容的，或互斥的，指事件A與事件B不可以同時(shí)發(fā)生，基本領(lǐng)件是兩兩互不相容的

ABS且AB，則稱事件A與事件B互為逆事件，又稱事件

A與事件B互為對(duì)峙事件2．運(yùn)算規(guī)則互換律

聯(lián)合律

ABBAABBA

(AB)CA(BC)(AB)CA(BC)

分派律A（BC）(AB)(AC)

A(BC)(AB)(AC)

—

徳摩根律ABABABAB

§3．頻次與概率

定義在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，比值nAn稱為事件A發(fā)生的頻次概率：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間，對(duì)于E的每一事件A給予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P（A），

稱為事件的概率

1．概率P(A)知足以下條件：

（1）非負(fù)性：對(duì)于每一個(gè)事件A0P(A)1

（2）規(guī)范性：對(duì)于必定事件SP(S)1

;....

nn（n可（3）可列可加性：設(shè)A,A,,A是兩兩互不相容的事件，有P(Ak)P(Ak)12nk1k1以取）2．概率的一些重要性質(zhì)：（i）P()0

nn（ii）若A1,A2,,An是兩兩互不相容的事件，則有P(Ak)P(Ak)（n能夠?。﹌1k1（iii）設(shè)A，B是兩個(gè)事件若AB，則P(BA)P(B)P(A)，P(B)P(A)（iv）對(duì)于隨意事件A，P(A)1

（v）P(A)1P(A)（逆事件的概率）

（vi）對(duì)于隨意事件A，B有P(AB)P(A)P(B)P(AB)

§4等可能概型（古典概型）

等可能概型：試驗(yàn)的樣本空間只包括有限個(gè)元素，試驗(yàn)中每個(gè)事件發(fā)生的可能性相同若事件A包括k個(gè)基本領(lǐng)件，即A{ei}{ei}{ei}，里1]2ki1，i2,，ik是1,2，n中某k個(gè)不一樣的數(shù)，則有kkA包括的基本領(lǐng)件數(shù)P(A)P{eij}中基本領(lǐng)件的總數(shù)j1nS§5．條件概率（1）定義：設(shè)A,B是兩個(gè)事件，且P(A)0，稱P(B|A)P(AB)為事件A發(fā)生的條P(A)

件下事件B發(fā)生的條件概率

（2）條件概率切合概率定義中的三個(gè)條件1。非負(fù)性：對(duì)于某一事件B，有P(B|A)02。規(guī)范性：對(duì)于必定事件S，P(S|A)13可列可加性：設(shè)B1,B2,是兩兩互不相容的事件，則有P(BiA)P(BiA)i1i1（3）乘法定理設(shè)P(A)0，則有P(AB)P(B)P(A|B)稱為乘法公式

;....

n

（4）全概率公式：P(A)P(Bi)P(A|Bi)i1貝葉斯公式：P(Bk|A)P(Bk)P(A|Bk)nP(Bi)P(A|Bi)i1§6．獨(dú)立性定義設(shè)A，B是兩事件，假如知足等式P(AB)P(A)P(B)，則稱事件A,B互相獨(dú)立定理一設(shè)A，B是兩事件，且P(A)0，若A，B互相獨(dú)立，則P(B|A)PB————定理二若事件A和B互相獨(dú)立，則以下各對(duì)事件也互相獨(dú)立：A與B，A與B，A與B

第二章隨機(jī)變量及其散布

§1隨機(jī)變量

定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S{e}.XX(e)是定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函

數(shù)，稱XX(e)為隨機(jī)變量

§2失散性隨機(jī)變量及其散布律

1．失散隨機(jī)變量：有些隨機(jī)變量，它所有可能取到的值是有限個(gè)或可列無窮多個(gè)，這類隨機(jī)變量稱為失散型隨機(jī)變量

P(Xxk)pk知足以下兩個(gè)條件（1）pk0，（2）Pk=1

k1

2．三種重要的失散型隨機(jī)變量

（1）散布設(shè)隨機(jī)變量X只好取0與1兩個(gè)值，它的散布律是P(Xk)k1-k，k0,1（0p1)，則稱X聽從以p為參數(shù)的散布或p（1-p）兩點(diǎn)散布。（2）伯努利實(shí)驗(yàn)、二項(xiàng)散布—設(shè)實(shí)驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果：A與A，則稱E為伯努利實(shí)驗(yàn).設(shè)—P(A)p（0p1)，此時(shí)P(A)1-p.將E獨(dú)立重復(fù)的進(jìn)行n次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立實(shí)驗(yàn)為n重伯努利實(shí)驗(yàn)。P(Xk)npkqn-k，k0,1,2，n知足條件（1）pk0，（2）Pk=1注意kk1;....

到nkqn-k是二式npk的那一，我稱隨機(jī)量X聽從參數(shù)kn，p的二散布。（3）泊松散布

隨機(jī)量X所有可能取的0,1,2?，而取各個(gè)的概率ke-0,1,2,此中0是常數(shù)，稱X聽從參數(shù)的泊松散布P(Xk),kk!

X~（）

§3隨機(jī)變量的散布函數(shù)

定X是一個(gè)隨機(jī)量，x是隨意數(shù)，函數(shù)F(x)P{Xx},-x

稱X的散布函數(shù)散布函數(shù)F(x)P(Xx)，擁有以下性(1)F(x)是一個(gè)不減函數(shù)（2）0F(x)1，且F()0,F()1（3）F(x0)F(x),即F(x)是右連續(xù)的§4連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度隨機(jī)量：假如于隨機(jī)量X的散布函數(shù)F（x），存在非可函數(shù)f(x)，使于隨意函數(shù)x有F(x)xf（t）dt,稱x性隨機(jī)量，此中函數(shù)f(x)稱X-的概率密度函數(shù)，稱概率密度1概率密度f(x)擁有以下性，足（1）f(x)0,(2)f(x)dx1；-（3）P(x1Xx2)x2f(x)dx；（4）若f(x)在點(diǎn)x，有F，(x)f(x)x12,三種重要的型隨機(jī)量

(1)均勻散布

1，axb若性隨機(jī)量X擁有概率密度f(x)b-a，成X在區(qū)(a,b)上聽從0，其余均勻散布.X~U（a，b）(2)指數(shù)散布若性隨機(jī)量X的概率密度1e-x，x.0此中0常數(shù)，稱Xf(x)0，其余聽從參數(shù)的指數(shù)散布。（3）正散布

;....若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為(x21）f(x)22，x，2此中，（0)為常數(shù)，則稱X聽從參數(shù)為，的正態(tài)散布或高斯散布，記為

X~N（，2）

特別，當(dāng)0，1時(shí)稱隨機(jī)變量X聽從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)散布

§5隨機(jī)變量的函數(shù)的散布

定理設(shè)隨機(jī)變量X擁有概率密度fx()-x,又設(shè)函數(shù)g(x)到處可導(dǎo)且恒有x，g,(x)0，則Y=g(X)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為fY(y)fXh(y)h,(y),y，其余

第三章多維隨機(jī)變量

§1二維隨機(jī)變量

定義設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是S{e}.XX(e)和YY(e)是定義在S上

的隨機(jī)變量，稱XX(e)為隨機(jī)變量，由它們組成的一個(gè)向量（X，Y）叫做二維隨機(jī)變量

設(shè)（X，Y）是二維隨機(jī)變量，對(duì)于隨意實(shí)數(shù)x，y，二元函數(shù)

F（x，y）P{(Xx)(Yy)}記成P{Xx，Yy}稱為二維隨機(jī)變量（X，Y）的

散布函數(shù)

假如二維隨機(jī)變量（X，Y）所有可能取到的值是有限對(duì)或可列無窮多對(duì)，則稱（X，

）是失散型的隨機(jī)變量。

我們稱P(Xxi，Yyj)pij，i，j1,2，為二維失散型隨機(jī)變量（X，Y）的散布律。對(duì)于二維隨機(jī)變量（X，Y）的散布函數(shù)F（x，y）f（x，y），，假如存在非負(fù)可積函數(shù)使對(duì)于隨意x，y有（，yx（，），F(xiàn)）f--函數(shù)f（x，y）稱為隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度。§2邊沿散布二維隨機(jī)變量（X，Y）作為一個(gè)整體，擁有散布函數(shù)F（x，y）.而X和Y都是隨機(jī)

變量，各自也有散布函數(shù)，將他們分別記為F（x),（y），挨次稱為二維隨機(jī)變量（X，Y）XFY;....

對(duì)于X和對(duì)于Y的邊沿散布函數(shù)。

pipijP{Xxi}，i1,2，pjpijP{Yyi}，j1,2，j1i1分別稱pipj為（X，Y）對(duì)于X和對(duì)于Y的邊沿散布律。()(,）()(,）分別稱f(x)，fXxfxydyfYyfxydxXfY(y)為X，Y對(duì)于X和對(duì)于Y的邊沿概率密度。

§3條件散布定義設(shè)（X，Y）是二維失散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的PYyj}0,j，若{則稱P{XxiYyj}P{Xxi,Yyj}pij,i1,2,為在Yyj條件下P{Yyj}pj隨機(jī)變量X的條件散布律，相同P{YyjXXi}P{Xxi,Yyj}pij,j1,2,P{Xxi}pi為在Xxi條件下隨機(jī)變量X的條件散布律。設(shè)二維失散型隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f(x,y)，（X，Y）對(duì)于Y的邊沿概率密度為fY(y)，若對(duì)于固定的y，fY(y)〉0，則稱f(x,y)為在Y=y的條件下X的條件fY(y)概率密度，記為fXY(xy)f(x,y)=fY(y)§4互相獨(dú)立的隨機(jī)變量定義設(shè)及(x)，F(xiàn)Y(y)分別是二維失散型隨機(jī)變量（X，Y）的散布函F（x，y）FX數(shù)及邊沿散布函數(shù).若對(duì)于所有x,y有P{Xx,Yy}P{Xx}P{Yy}，即F{x,y}FX(x)FY(y)，則稱隨機(jī)變量X和Y是互相獨(dú)立的。對(duì)于二維正態(tài)隨機(jī)變量（X，Y），X和Y互相獨(dú)立的充要條件是參數(shù)0§5兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的散布

1，Z=X+Y的散布

設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，它擁有概率密度f(x,y).則Z=X+Y仍為連續(xù)性隨機(jī)變量，其概率密度為fXYz)f(zyydy或fXYzfxzx）dx(,）()(,

;....

又若X和Y互相獨(dú)立，（X，Y）對(duì)于X，Y的密度分fX(x),fY(y)

f(z)f(zy）f（y)dy和f(z)f(x）f(zx)dx兩個(gè)公式稱XYXYXYXY

fX,fY的卷公式

有限個(gè)互相獨(dú)立的正隨機(jī)量的性合仍舊聽從正散布

2，ZY的散布、ZXY的散布X(X,Y)是二型隨機(jī)量，它擁有概率密度f(x,y)，ZY，ZXYX仍性隨機(jī)量其概率密度分fYX(z)1zxf(x,xz)dxfXY(z)f(x,)dx又若X和Y互相獨(dú)立，（X，Y）xx對(duì)于X，Y的密度分fX(x),fY(y)可化fYX()fX()Y()zxfxzdx1zfXY(z)xfX(x)fY(x)dx3Mmax{X，Y}及Nmin{X,Y}的散布X，Y是兩個(gè)互相獨(dú)立的隨機(jī)量，它的散布函數(shù)分FX(x),FY(y)因?yàn)镸max{X，Y}不大于z等價(jià)于X和Y都不大于z故有P{Mz}P{Xz,Yz}又因?yàn)閄和Y互相獨(dú)立，獲得Mmax{X，Y}的散布函數(shù)()FX()()FmaxzzFYzNmin{X,Y}的散布函數(shù)Fmin(z)11FX(z)1FY(z)

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特點(diǎn)

§1．?dāng)?shù)學(xué)希望

定失散型隨機(jī)量X的散布律P{Xxk}pk，k=1,2，?若數(shù)kpkxk1收，稱數(shù)xkpk的和隨機(jī)量X的數(shù)學(xué)希望，E(X)，即E(X)xkpkk1i型隨機(jī)量X的概率密度f(x)，若分xf(x)dx收，稱分

;....

xf(x)dx的隨機(jī)量X的數(shù)學(xué)希望，E(X)，即E(X)xf(x)dx

定理Y是隨機(jī)量X的函數(shù)Y=g(X)(g是函數(shù))

（i）假如X是失散型隨機(jī)量，它的散布律P{Xxk}pk，k=1,2，?若g(xk）pkk1

收有E(Y)E(g(X))g(xk）pkk1（ii）假如X是型隨機(jī)量，它的分概率密度f(x)，若g(x)f(x)dx收有E(Y)E(g(X))g(x)f(x)dx數(shù)學(xué)希望的幾個(gè)重要性

1C是常數(shù)，有E(C)C2X是隨機(jī)量，C是常數(shù)，有E(CX)CE(X)3X,Y是兩個(gè)隨機(jī)量，有E(XY)E(X)E(Y)；4X，Y是互相獨(dú)立的隨機(jī)量，有E(XY)E(X)E(Y)§2方差

定X是一個(gè)隨機(jī)量，若E{XE(X)2}存在，稱E{XE(X)2}X的方差，D（x）即D（x）=E{XE(X)2}，在用上引入量D(x)，(x)，稱準(zhǔn)差或均方差。D(X)E(XE(X))2E(X2)(EX)2方差的幾個(gè)重要性1C是常數(shù)，有D(C)0,2X是隨機(jī)量，C是常數(shù)，有D(CX)C2D(X)，D(XC)D(X)3X,Y是兩個(gè)隨機(jī)量，有D(XY)D(X)D(Y)2E{(X-E(X))(Y-E(Y))}特，若X,Y互相獨(dú)立，有D(XY)D(X)D(Y)4D(X)0的充要條件是X以概率1取常數(shù)E(X)，即P{XE(X)}1切比雪夫不等式：隨機(jī)量X擁有數(shù)學(xué)希望E(X)2，于隨意正數(shù)，不等式

;....

2

P{X-}2建立

§3協(xié)方差及有關(guān)系數(shù)

定義量E{[XE(X)][YE(Y)]}稱為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差為Cov(X,Y)，即Cov(X,Y)E[(XE(X))(YE(Y))]E(XY)E(X)E(Y)

而XY

Cov(X，Y）稱為隨機(jī)變量X和Y的有關(guān)系數(shù)D(X)D(Y)

對(duì)于隨意兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y，D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)

_

協(xié)方差擁有下述性質(zhì)

1Cov(X,Y)Cov(Y,X),Cov(aX,bY)abCov(X,Y)

2Cov(X1X2,Y)Cov(X1,Y)Cov(X2,Y)定理1XY12XY1的充要條件是，存在常數(shù)a,b使P{Yabx}當(dāng)XY0時(shí)，稱X和Y不有關(guān)附：幾種常用的概率散布表分參數(shù)散布律或概率密度布兩點(diǎn)0p1P{Xk)pk(1p)1k,k0,1，分布二項(xiàng)Cnkpk(1p)nk,k式n10p1P(Xk)0,1,n，分布泊松0P(Xk)ke,k0,1,2,分k!布幾何0p1P(Xk)(1p)k1p,k1,2,分

1

數(shù)學(xué)

希望

p

np

1

p

方差

p(1p)

np(1p)

p

p2

;....

布

均1勻ab,axbab(ba)2分f(x)ba，0，其余212布指1ex數(shù)0,x02分f(x)0,其余布正)21(xe222分0f(x)2布

第五章大數(shù)定律與中心極限制理

§1．大數(shù)定律

弱大數(shù)定理（辛欣大數(shù)定理）X1，X2?是互相獨(dú)立，聽從一散布的隨機(jī)量序列，并

擁有數(shù)學(xué)希望E(Xk)(k1,2,).作前n1nXk，于隨意個(gè)量的算均勻nk10，有l(wèi)imP{1nXk}1nnk1定Y1,Y2,Yn是一個(gè)隨機(jī)量序列，a是一個(gè)常數(shù)，若于隨意正數(shù)，有l(wèi)imP{Yna}1，稱序列Y1,Y2,Yn依概率收于a，Ynpan伯努利大數(shù)定理fA是n次獨(dú)立重復(fù)中事件A生的次數(shù)，p是事件A在每次中生的概率，于隨意正數(shù)〉0，有l(wèi)im{fn}1或Pnpnl