必修二垂直證明常見模型及方法

垂直證明題常有模型及方法證明空間線面垂直需注意以下幾點：①由已知想性質，由求證想判斷，即剖析法與綜合法相聯(lián)合找尋證題思路。②立體幾何論證題的解答中，利用題設條件的性質適合增添協(xié)助線（或面）是解題的常用方法之一。③明確何時應用判判定理，何時應用性質定理，用定理時要先聲明條件再由定理得出相應結論。垂直轉變：線線垂直線面垂直面面垂直；基礎篇種類一：線線垂直證明（共面垂直、異面垂直）（1）共面垂直：其實是平面內(nèi)的兩條直線的垂直（只要要同學們掌握以下幾種模型）○1等腰（等邊）三角形中的中線○菱形（正方形）的對角線相互垂直○勾股定理中的三角形23○1:1:2的直角梯形中○45利用相像或全等證明直角。例：在正方體ABCDOE2）異面垂直（利用線面垂直來證明，高考取的企圖）例1在正四周體ABCD中，求證ACBD變式1如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB3,AD2,PA2,PD22,PAB60．證明：ADPB；變式2如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，將△AED,△DCF分別沿DE,DF折起，使A,C兩A'點重合于A'.求證:A'DEF；EDGBF1變式3如圖，在三棱錐PABC中，⊿PAB是等邊三角形，∠PAC=PBC=90o證明：AB⊥PC種類二：線面垂直證明方法○1利用線面垂直的判判定理例2：在正方體ABCDA1O平面BDE變式1：在正方體ABCDA1B1C1D1中，,求證：1平面BDC1AC變式2：如圖：直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90E為BB1的中點，D點在AB上且DE=3求證：CD⊥平面A1ABB1；變式3：如圖，在四周體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，ACACBCDBD2,ABAD2.求證：AO平面BCD；DO變式4如圖，在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中，BEAD∥BC，ABC90°，PA平面ABCD．PA3，AD2，AB23，BC61求證：BD平面PACP○2利用面面垂直的性質定理DA例3：在三棱錐P-ABC中，PA底面ABC,面PAC面PBC，E求證：BC面PAC。B方法點撥：此種情況，條件中含有面面垂直。

CC2變式1,在四棱錐PABCD，底面ABCD是正方形，側面PAB是等腰三角形，且面PAB底面ABCD,求證：BC面PAB種類3：面面垂直的證明。(實質上是證明線面垂直)B平面ACD，DE平面ACD，△ACD為等邊三角形，例1如圖，已知ABEADDE2AB，F(xiàn)為CD的中點.A求證：AF//平面BCE；(2)求證：平面BCE平面CDE；CDFP例2如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，EABAD，ACCD，ABC60°BC，E是PC的，PAABDA中點．BC（1）證明CDAE；（2）證明PD平面ABE；變式1已知直四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形，ABC60、，EF分別是棱CC′與BB′上的點，且EC=BC=2FB=2．（1）求證：平面AEF⊥平面AA′C′C；3貫通融會1.設M表示平面，a、b表示直線，給出以下四個命題：①a//bbMaM此中正確的命題是A.①②B.①②③2.以下命題中正確的選項是

aMaMa//M②Ma//b③bb∥M④b⊥M.baab()C.②③④D.①②④()若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線垂直于這個平面B.若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則這條直線垂直于這個平面C.若一條直線平行于一個平面，則垂直于這個平面的直線必然垂直于這條直線D.若一條直線垂直于一個平面，則垂直于這條直線的另一條直線必垂直于這個平面3.如下圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點.此刻沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三點重合，重合后的點記為P.那么，在四周體P—DEF中，必有()A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF4.設a、b是異面直線，以下命題正確的選項是()A.過不在a、b上的一點P必定能夠作一條直線和a、b都訂交B.過不在a、b上的一點P必定能夠作一個平面和a、b都垂直C.過a必定能夠作一個平面與b垂直D.過a必定能夠作一個平面與b平行5.假如直線l,m與平面α,β,γ知足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有()A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ6.AB是圓的直徑，C是圓周上一點，PC垂直于圓所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，則P到AB的距離為()A.1B.2C.2535D.557.有三個命題：①垂直于同一個平面的兩條直線平行；②過平面α的一條斜線l有且僅有一個平面與α垂直；③異面直線a、b不垂直，那么過a的任一個平面與b都不垂直此中正確命題的個數(shù)為()A.0B.1C.2D.38.d是異面直線a、b的公垂線，平面α、β知足a⊥α，b⊥β，則下邊正確的結論是()A.α與β必訂交且交線m∥d或m與d重合B.α與β必訂交且交線m∥d但m與d不重合4C.α與β必訂交且交線m與d必定不平行D.α與β不必定訂交9.設l、m為直線，α為平面，且l⊥α，給出以下命題①若m⊥α，則m∥l；②若m⊥l，則m∥α；③若m∥α，則m⊥l；④若m∥l，則m⊥α，此中真命題的序號是()．．．A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④10.已知直線l⊥平面α，直線m平面β，給出以下四個命題：①若α∥β，則l⊥m；②若α⊥β，則l∥m；③若l∥m，則α⊥β；④若l⊥m，則α∥β.此中正確的命題是()A.③與④B.①與③C.②與④D.①與②二、思想激活11.如下圖，△ABC是直角三角形，AB是斜邊，三個極點在平面α的同側，它們在α內(nèi)的射影分別為A′，B′，C′，假如△A′B′C′是正三角形，且AA′＝3cm，BB′＝5cm，CC′＝4cm，則△A′B′C′的面積是.第11題圖第13題圖第12題圖12.如下圖,在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中,當?shù)酌嫠倪呅蜛BCD知足條件時,有A1C⊥B1D1(注:填上你以為正確的一種條件即可,不用考慮全部可能的情況)13.如下圖，在三棱錐V—ABC中，當三條側棱VA、VB、VC之間知足條件時，有VC⊥AB.(注：填上你以為正確的一種條件即可)三、能力提升14.如下圖,三棱錐V-ABC中,AH⊥側面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC邊上的高.(1)求證:VC⊥AB;(2)若二面角E—AB—C的大小為30°,求VC與平面ABC所成角的大小.15.如下圖，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點.(1)求證：MN∥平面PAD.5(2)求證：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.16.如下圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝2，側棱PB＝15，PD＝3.(1)求證：BD⊥平面PAD.(2)若PD與底面ABCD成60°的角，試求二面角P—BC—A的大小.第16題圖17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中點，求證：AB1⊥A1M．18.如下圖，正方體ABCD—A′B′C′D′的棱長為a，M是AD的中點，N是BD′上一點，且D′N∶NB＝1∶2，MC與BD交于P.(1)求證：NP⊥平面ABCD.(2)求平面PNC與平面CC′D′D所成的角.(3)求點C到平面D′MB的距離.第18題圖6線面垂直習題解答1.A兩平行中有一條與平面垂直，則另一條也與該平面垂直，垂直于同一平面的兩直線平行.2.C由線面垂直的性質定理可知.3.A折后DP⊥PE,DP⊥PF，PE⊥PF.4.D過a上任一點作直線b′∥b,則a，b′確立的平面與直線b平行.5.A,m⊥γ且mα,則必有α⊥γ,又由于l=β∩γ則有l(wèi)γ,而m⊥γ則l⊥m,應選A.6.DP作PD⊥AB于D，連CD，則CD⊥AB，AB=22，ACBC5CDACBC2，AB5∴PD=PC2CD2143555.7.D由定理及性質知三個命題均正確.8.A明顯α與β不平行.9.D垂直于同一平面的兩直線平行，兩條平行線中一條與平面垂直，則另一條也與該平面垂直.10.B∵α∥β，l⊥α，∴l(xiāng)⊥m2cm設正三角A′B′C′的邊長為a.2AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB２=a2+4，又AC2+BC2=AB2，∴a2=2．S△A′B′C′=3a23cm2．4212.在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中當?shù)酌嫠倪呅蜛BCD知足條件AC⊥BD(或任何能推導出這個條件的其余條件，比如ABCD是正方形，菱形等)時,有A1C⊥B1D1(注:填上你以為正確的一種條件即可,不用考慮全部可能的情況).評論：本題為探究性題目，由本題開拓了填空題有探究性題的新題型，本題實質考察了三垂線定理但答案不唯一,要求思想應靈巧.VC⊥VA，VC⊥AB.由VC⊥VA，VC⊥AB知VC⊥平面VAB.14.(1)證明:∵H為△VBC的垂心,VC⊥BE,又AH⊥平面VBC,BE為斜線AB在平面VBC上的射影,∴AB⊥VC.7(2)解:由(1)知VC⊥AB,VC⊥BE,VC⊥平面ABE,在平面ABE上,作ED⊥AB,又AB⊥VC,AB⊥面DEC.AB⊥CD,∴∠EDC為二面角E—AB—C的平面角，∴∠EDC=30°,∵AB⊥平面VCD,VC在底面ABC上的射影為CD.∴∠VCD為VC與底面ABC所成角,又VC⊥AB,VC⊥BE,VC⊥面ABE,∴VC⊥DE,∴∠CED=90°,故∠ECD=60°,VC與面ABC所成角為60°.15.證明：(1)如下圖，取PD的中點E，連接AE，EN，則有EN∥CD∥AB∥AM，EN＝1CD＝1AB＝AM，故AMNE為平行四邊形.22MN∥AE.AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.AB⊥AE，即AB⊥MN.又CD∥AB，∴MN⊥CD.第15題圖解(3)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.又∠PDA＝45°，E為PD的中點.AE⊥PD，即MN⊥PD.又MN⊥CD，MN⊥平面PCD.16.如圖(1)證：由已知AB＝4，AD＝２，∠BAD＝60°，故BD2＝AD2+AB2-2AD·ABcos60°＝4+16-2×2×4×1＝12.2又AB2＝AD2+BD2，∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，即AD⊥BD.在△PDB中，PD＝3，PB＝15，BD＝12，∴PB2＝PD2+BD2，故得PD⊥BD.又PD∩AD＝D，BD⊥平面PAD.(2)由BD⊥平面PAD，BD平面ABCD.∴平面PAD⊥平面ABCD.作PE⊥AD于E，又PE平面PAD，

第16題圖解PE⊥平面ABCD，∴∠PDE是PD與底面ABCD所成的角.∴∠PDE＝60°，∴PE＝PDsin60°＝3332.2作EF⊥BC于F，連PF，則PF⊥BF，∴∠PFE是二面角P—BC—A的平面角.又EF＝BD＝12，在Rt△PEF中，8PE332tan∠PFE＝23.EF4故二面角P—BC—A的大小為arctan3.417.連接AC1，∵AC3CC1.MC12C1A162Rt△ACC1∽Rt△MC1A1，∴∠AC1C=∠MA1C1，∴∠A1MC1+∠AC1C=∠A1MC1+∠MA1C1=90°.A1M⊥AC1,又ABC-A1B1C1為直三棱柱，CC1⊥B1C1，又B1C1⊥A1C1，∴B1C1⊥平面AC1M.由三垂線定理知AB1⊥A1M.評論：要證AB1⊥1M，因B1C1⊥平面AC1，由三垂線定理可轉變成證⊥，而AAC1A1MAC1⊥A1M必定會建立．18.(1)證明：在正方形ABCD中，∵△MPD∽△CPB，且MD＝1BC，2DP∶PB＝MD∶BC＝1∶2.又已知D′N∶NB＝1∶2，由平行截割定理的逆定理得NP∥DD′，又DD′⊥平面ABCD，NP⊥平面ABCD.∵NP∥DD′∥CC′，∴NP、CC′在同一平面內(nèi)，CC′為平面NPC與平面CC′D′D所成二面角的棱.又由CC′⊥平面ABCD，得CC′⊥CD，CC′⊥CM，∴∠MCD為該二面角的平面角.在Rt△