非線性控制系統(tǒng)解析總結(jié)計劃

第七章非線性控制系統(tǒng)剖析7.1非線性系統(tǒng)概括非線性系統(tǒng)運動的規(guī)律，其形式多樣。線性系統(tǒng)不過一種近似描述非線性系統(tǒng)特色—不知足迭加原理不單與自己構(gòu)造參數(shù)相關(guān)，并且與初條件，輸入相關(guān)1)穩(wěn)固性均衡點燈可能有多個自由運動形式，與初條件，輸入大小相關(guān)。自振，在必定條件下，受初始擾動表現(xiàn)出的頻次，振幅穩(wěn)固的周期運動。自振是非線性系統(tǒng)獨有的運動形式。正弦響應的復雜性跳躍諧振及多值響應倍頻振蕩與分頻振蕩組合振蕩(混沌)頻次捕獲非線性系統(tǒng)研究方法小擾動線性化辦理相平面法-----用于二階非線性系統(tǒng)運動剖析描述函數(shù)法-----用于非線性系統(tǒng)的穩(wěn)固性研究及自振剖析。仿真研究---利用模擬機，數(shù)字機進行仿真切驗研究。常有非線性要素對系統(tǒng)運動特征的影響：死區(qū)：(如：水表，電表，肌肉電特征等等)死區(qū)對系統(tǒng)運動特征的影響：ess(追蹤階躍信號有穩(wěn)態(tài)誤差），能濾去小幅值噪聲，提升抗擾亂能力等效K，%［本來不穩(wěn)固的系統(tǒng)，振蕩性此時可能穩(wěn)固（初始擾動不大時）］可見：非線性系統(tǒng)穩(wěn)固性與自由響應和初始擾動的大小相關(guān)。2.飽和(如運算放大器，學習效率等等)飽和對系統(tǒng)運動特征的影響：(本來系統(tǒng)穩(wěn)固，此時系統(tǒng)必定穩(wěn)固）進入飽和后等效K↓振蕩性（本來不穩(wěn)，非線性系統(tǒng)最多是等幅振蕩）限制追蹤速度，追蹤誤差，迅速性空隙：(如齒輪，磁性體的磁帶特征等)空隙對系統(tǒng)影響：空隙寬度有死區(qū)的特色----使ess2)相當于一個延緩τ時間的延緩環(huán)節(jié),%振蕩性減小空隙的要素的方法：提升齒輪精度；采納雙片齒輪；用校訂裝置賠償。摩擦(如手指擦紙)摩擦惹起慢爬現(xiàn)象的機理改良慢變化過程安穩(wěn)性的方法

1)、優(yōu)秀潤滑2)、采納擾亂賠償3)、增添阻尼，減少脈沖，提升均衡性摩擦對系統(tǒng)運動的影響：影響系統(tǒng)慢速運動的安穩(wěn)性繼電特征：對系統(tǒng)運動的影響：1)、理想繼電特征等效一、二階系統(tǒng)能夠穩(wěn)固K：一般地，好多狀況下非線性系統(tǒng)會自振ess(帶死區(qū))2)、帶死區(qū)繼電特征等效K：%快態(tài)影響（死區(qū)+餉）的綜合成效振蕩性、一般繼電特征：除3、2入耳狀況外，多出一個延緩成效（對穩(wěn)固性不利）7.2相平面法基礎(chǔ)(合用于二階系統(tǒng))相平面相軌跡二階非線性系統(tǒng)運動方程：x(t)f[x(t),x(t)]――定常非線性運動方程以為縱標，x為橫標，組成一個平面（二維空間）dxdxxf[x,x]稱之為相平面（狀態(tài)平面）即：dxdt系統(tǒng)運動時，，以t為參變量在相平面上dxf[x,x]x(t)x(t)dxx描述出的軌跡稱為相軌跡（能夠描述系統(tǒng)運動）相平面法是用圖解法求解一般二階非線性控制系統(tǒng)的精準方法。它不僅能給出系統(tǒng)的穩(wěn)固性信息和時間特征信息，還可以給出系統(tǒng)運動軌跡的清楚圖象。二維空間(平面)上表示點的運動的觀點，能夠擴展到N維空間中去。狀態(tài)：系統(tǒng)運動的狀況狀態(tài)變量：表征系統(tǒng)狀態(tài)的變量狀態(tài)平面（相平面）：由狀態(tài)變量張成的平面狀態(tài)軌跡（相軌跡）：系統(tǒng)運動時狀態(tài)變量在狀態(tài)平面上描述出的運動軌跡相平面：由c,c組成的，用以描述系統(tǒng)運動特征的平面。相軌跡：c,c隨時間變化在相平面上描述出來的軌跡。例：欠阻尼二階系統(tǒng)響應的相平面描述----相軌跡例：系統(tǒng)方程為xn2x0(=0)求相軌跡方程。解：x

dx

dt

xdx

n2xxdxn2xdx1x22x2c2n2x2x2c令222Ann得：x2x21――橢圓方程2A22An系統(tǒng)特色方程：220sn特色根：1,2jn（中心點）均衡點（奇點）：xe0自控演示實驗x-y記錄儀所畫的相軌跡：二階系統(tǒng)極點散布，奇點種類及相軌跡形式（見掛圖）自由運動方程范圍極點地點奇點名稱0中心點01穩(wěn)固焦點1穩(wěn)固節(jié)點10不穩(wěn)固節(jié)點1不穩(wěn)固節(jié)點x2nxnx0

鞍點注：1).奇點=均衡點=各階導數(shù)為0之點;2).實極點數(shù)值=特別相軌跡的斜率;3).x0時x右移x＜0時x左移x＝0時一般垂直經(jīng)過例1.系統(tǒng)方程為：x2nx0作相軌跡解：原方程＝xdx2nxx[dx2n]0dxdx0--橫軸（均衡點會合）即：dx2n--斜率為-2n的直線族dt利用線性系統(tǒng)（二階）奇點性質(zhì)大要地作出一類二階非線性系統(tǒng)的相軌跡。例2.系統(tǒng)運動方程：xxx0，作出其相軌跡。解：原方程：xxx0x0(1)xxx0x0(2)(1)：(s2s1)X(s)0s1,20.5j3――穩(wěn)固焦點2解(2)：(s2s1)X(s)0s10.62;s21.62――鞍點作圖，可見初始條件≠0時自由運動結(jié)果總發(fā)散（向負方向）例3.系統(tǒng)運動方程：xxsignx0，作相軌跡。解：原方程：xx10x0(3)均衡點：x1xx10x0(4)均衡點：x1對(3):令x'x1x'x'0s1,2'j令x''x1''''''都是中心點（相軌跡為圓）對(4):xx0js1,2作圖：見下頁：x(x1)0xdx(x1)dxx2(x1)2A2xdx(x1)d(x1)x2(x1)2A2可見：系統(tǒng)自由運動老是穩(wěn)固的：奇點為一線段［-1，1］，依初始條件x0不一樣，x0最后能夠穩(wěn)固在［-1，1］之間任一點上。例4.系統(tǒng)運動方程為xsinx0求出所有均衡點，并剖析其特征。解：令xx0sinx0∴均衡點xe0,,2,,k.當xe2k時：sinxx(2k1)時:-sinxx∵在均衡點鄰近變化時，x是小量，與sinx等價。xx0s1,2（中心點）j∴原方程為（鞍點）xx0s1,21均衡點公布及其鄰近的相軌跡：4.相軌跡作圖法（分析法，等斜線法，圖弧法）(1)等傾斜線法：系統(tǒng)方程為：xxdxf(x,x)dxdxf(x,x)令相軌跡的斜率dxx得出等斜線方程：f(x,x)相平面上此方程對應曲線點上的x相軌跡斜率為等值給定不一樣的值，畫出不一樣的等斜線，在上邊畫出斜率等于相應的短線，能夠組成相軌跡切線的方向場。由此可畫出非線性運動的相軌跡。等傾斜線法例1，系統(tǒng)如右，用等傾斜線法作系統(tǒng)相軌跡。解：對線性部分：kC(s)s(Ts1)U(s)(Ts2s)C(s)kU(s)TcckMxhchIu0hxhhchIIMxhchIII...Ⅰ：TcckMdcdcdc(1)dc(1)TccTTkMdcdcckM(等傾斜線方程，水平線）T=k=M=11T11Ⅲ：TcckM，同上議論可得：ckMT1k11T1M11101∞-3-2322Ⅰ：121101-1-2122Ⅲ：1-2-1101121221K1M1Ⅱ：Tcc0(T1)c011T畫出等斜線并作出相軌跡見3號圖：系統(tǒng)自由運動剖析：自由運動收斂，最后達到穩(wěn)固。最后均衡地點[h,h]例2，在例1中，將非線性特征改為純滯環(huán)繼電特征。TcckuMxhxh,x0uxhMxh,x0chIkMh,c0TccchcIIkMh,c0c畫等斜線（同例1,ⅠⅢ區(qū)）作相軌跡見6號圖系統(tǒng)自由運動剖析：自由運動的最后狀態(tài)是自振（對應有一個極限環(huán)）名類極限環(huán)（見掛圖）7.3描述函數(shù)法描述函數(shù)一般觀點如右圖示：對非線性環(huán)節(jié)輸入正弦信號一般地輸入y(t)是一個周期信號y(t)例：關(guān)于理想的繼電特征輸出y(t)能夠把周期信號睜開成富立哀級數(shù)：y(t)A0(AncosntBnsinnt)n1A0ynsin(ntn)n11此中：A02

2y(t)d(t)0AnBn

11

2y(t)cosntd(t)02y(t)sinntd(t)0ynAn2Bn2narctgAnBn關(guān)于y(t)中的基波重量(n=1)有:y1(t)A1costB1sinty1sin(t1)此中：12y(t)costd(t)A10B112td(t)0y(t)siny1A12B12Aarctg1B1例：對理想繼電特征輸入（方波信號）中，基波重量能夠以下求出:由理想繼電特征的對稱性，能夠確立A00。由y(t)的奇函數(shù)特征能夠確立Ai012td(t)B1y(t)sin042y(t)sintd(t)04M[cost]024M1arctgA1arctg00B1B1y1(t)A1costB1sint04Msint假如把各次諧波都加上有：――方波信號是各次諧波重量的迭加y(t)

A0

yn

sinn

tn10y1(t)

y2(t)4M

[sin

t

1sin3t3

1sin5t5

1sinntn

]而在各次諧波重量中，基波重量最能表征y(t)的特色。描述函數(shù)定義：對一非線性特征，若輸入r(t)Xsint時其輸出y(t)中的基波重量為y1(t)Y1sin(t1)則定義非線性特征的描述函數(shù)：N(x)Y11B1jA1XXXA12B121A1X:正弦輸入的幅值Y1:輸入中基波重量即：N(x)tgB1X1:y1(t)對r(t)的相角差描述函數(shù)――從線性系統(tǒng)頻次特征的角度來描述非線性特征的一種函數(shù)。描述函數(shù)是非線性環(huán)節(jié)的“頻次特征”，是非線性特征的諧波線性化，線性系統(tǒng)頻次特征是非線性系統(tǒng)描述函數(shù)的特例。描述函數(shù)N(x)與頻次特征G(j)觀點上不一樣，但有近似的地方是其諧波線性化，是“頻次特征”觀點的推行。4M4M例：理想繼電特征：N(x)00XX常有非線性特征的描述函數(shù)描述函數(shù)確實定（以一般繼電特征為例）1）確立y(t)上的特色點1,2,3,4由輸入x(t)xsint曲線可見：對1：Xsin1h1sin1hX對2：Xsin2Xsin(2)mh2sin1mh2sin1mhXX對3：Xsin3Xsin(3)h3sin1h3sin1hXX對4：Xsin4Xsin(24)mh24sin1mh42sin1mhXX1:sin1hcos11(h)2XX2:sin2mhcos21(mh)2由：XXh(h)23:sin3cos31XX4:sin4mhcos41(mh)2XX2）求y(t)中基波重量的系數(shù)A1,B1124MA1[Mcostd(t)Mcostd(t)]{[sint]13M[(mhh)(mhh)]2Mh(m1)(xxxxxxB11[2td(t)4Msintd(t)]Msin13M{[cost]2[cost]4}13

21

[sint]43}h)M{[1sin221sin21][1sin24(1sin23)]}M{1(mh)21(h)21(mh)21(h)2}xxxx2M{1(mh)21(h)2}(xh)xxjA1A12Mh(m1)N(x)Y11B1XXXXB12M{1(mh)21(h)2}XX2M{1(mh)21(h)2}j2Mh2(m1)XXXX特例：h0：理想繼電特征4MN(X)Xm1：無滯環(huán)有死區(qū)N(X)4M1(h)2xXm1：純滯環(huán)N(X)4M1(h)2j4MhXXX2可見，描述函數(shù)N(X)一般是非線性特征前，輸入正弦信號x(t)幅值X的函數(shù)，并且在一般狀況下，N(x)是一個復數(shù)。用描述函數(shù)剖析非線性系統(tǒng)為什么引出N(X)的觀點：實質(zhì)物理系統(tǒng)，嚴格地講，都是程度不一樣地帶有非線性要素，非線性系統(tǒng)的很多運動規(guī)律是線性系統(tǒng)率域看不到的，如非線性自振。若一個實質(zhì)系統(tǒng)（如火炮系統(tǒng)）發(fā)生自振，當對準具對準一個目標，炮口因為自振而不斷搖動，是打不中目標的，此外對系統(tǒng)自己磨損也很厲害，因此有必需把非線性系統(tǒng)的穩(wěn)固性及自振問題特意取出來研究。描述函數(shù)法是特意研究一類非線性系統(tǒng)穩(wěn)固性及其自振問題的方法。描述函數(shù)剖析法的基本思想假定一個非線性系統(tǒng)知足以下三個條件：1)、能夠化為如右圖的形式；2)、N(X)特征的輸入y(當xXsint時)，基波重量幅值最大；、G(j)是最小相角系統(tǒng)，且擁有較好的低通濾波特征。(NM)注：很多實質(zhì)系統(tǒng)均能夠知足此條件，因此此法擁有較廣的適用范圍。則：N(x)的輸出y(t)經(jīng)G(j)的濾波辦理c(t)信號近似為一正弦信號這樣，能夠近似把y(t)用其基波信號來取代，用線性系統(tǒng)頻次剖析法的思想來研究系統(tǒng)穩(wěn)固性問題。（2）系統(tǒng)穩(wěn)固性剖析：由右圖可見：系統(tǒng)自振的條件為（必需條件）：N(X)G(j)1――自己輸出反號后知足自己輸入的需要即：1G(j)N(X)借用奈奎斯特穩(wěn)固判據(jù)，視負倒描述函數(shù)1為廣義的(1,j0)點，則有：N(x)判斷非線性系統(tǒng)穩(wěn)固性的方法：不包圍1穩(wěn)固G(j)包圍則系統(tǒng)不穩(wěn)固N(X)訂交于可能自振（知足自振必需條件）例：對理想的繼電系統(tǒng)：負倒描述函數(shù)11xN(X)4M4Mx1X描述出一條曲N(x)同畫在一個坐標圖上當X0變化時，N(X)G(j)4M線（不是定點）當線性部分傳達函數(shù)為：1G1(s)G1(j)包圍不穩(wěn)固（發(fā)散）N(x)G3(s),G4(s)G3(j)或G4(j1系統(tǒng)穩(wěn)固（運動收斂）)不包圍N(x)G2(s)G3(j)與1在A點訂交系統(tǒng)可能自振N(x)（3）負倒描述函數(shù)曲線1的繪制及廣義(1,j0)點的變化規(guī)律：以純滯環(huán)N(x)繼電系統(tǒng)為例：N(X)4M1(h)2j4MhXXX2N0(X)hN(X)4h1(h)2j4(h)2MXXX把M――等效非線性部分的增益折算到線性部分增益之中。則標稱化的h負倒描述函數(shù)：1X1X1(h)2jhXXN0(X)4h1(h)2jh4h1(h)2(h)2XXXX4X[1(h)2jh][(X)21j]hXX4h可見，1的虛部是一個常數(shù)()，以X為自變量計算繪圖：N0(X)4hXh(Xh)1222.32.5345610-0.785-1.36-1.63-1.78-2.22-3.04-3.85-4.65Re[]N0可見，廣義的(1,j0)點1N0(X)

是隨X（當h確準時）的變化而變化的，不是像線性系統(tǒng)時的固定點(1,j0)。當非線性系統(tǒng)工作狀態(tài)（對應一個確立X值）不一樣時，該廣義(1,j0)點在1曲線上挪動。N0(X)見掛圖――常有非線性特征的1曲N0(X)線。（4）自振剖析：<1>必需條件:G(j)1――G(j)曲線與1曲線有交點。N(X)N(X)如右系統(tǒng)：1）、關(guān)于A――(1)穿進MG(j)曲線的點N(X)hA1(X1)在G0(j)之外穩(wěn)固，X1不穩(wěn)固極限環(huán)A，運動趨于發(fā)散，X2A2(X2)內(nèi)2）、關(guān)于B――(1)穿出MG(j)曲線的點N1(X)hB1(X3)在G(j)之內(nèi)發(fā)散：X3穩(wěn)固極限環(huán)B，運動趨于B2(X4)0外穩(wěn)固：X4可見，當初始擾動使x0不一樣時，系統(tǒng)運動規(guī)律不一樣：X0:0運動收斂到均衡點（穩(wěn)固）XA有發(fā)散趨向XB對應自振有收斂趨向<2>自振的判斷方法：（總結(jié)出來的結(jié)論）穩(wěn)固的界線非穩(wěn)固自振點（不穩(wěn)固極限環(huán)）－確立1X穿入發(fā)散穿出G0(j)穩(wěn)固自振點（穩(wěn)固極限環(huán)）－確立一個自振狀態(tài)N0(X)相切于半穩(wěn)固自振點（半穩(wěn)固的極限環(huán)）例：P32-5中交點A是一個穩(wěn)固的自振點，該系統(tǒng)無論初始擾動大小，最后總要自振（不會發(fā)散，也不會收斂到零）<3>自振參數(shù)確實定及參數(shù)變化時系統(tǒng)運動的規(guī)律自振幅值――由交點

B上

N0

1(X)

的X值x6確立（系統(tǒng)各點的幅值能夠折算過去）自振頻次――由交點B上G(j)的值0定，參數(shù)變化時，系統(tǒng)運動規(guī)律剖析：參數(shù)變體時，系統(tǒng)運動的規(guī)律剖析：①k0Mk變化時，（h不變，Mk變化時）h自振循環(huán)點(X0X2)時自振加劇x33k0:0總穩(wěn)固k1X0X2時，系統(tǒng)收斂，穩(wěn)固界線X2k3②h變化時（h變化，但保持M不變）XX6hhh對應B點：常值X6B點自振幅值(c不變）：hh變化時，對應1曲線不一樣③mN0(X)應分開來議論不一樣時，G(j曲線不一樣T1,T2)<4>定量計算例：9