條件異方差模型-9

1第六章條件異方差模型

EViews中的大多數(shù)統(tǒng)計工具都是用來建立隨機變量的條件均值模型。本章討論的重要工具具有與以往不同的目的——建立變量的條件方差或變量波動性模型。我們想要建模并預測其變動性通常有如下幾個原因:首先，我們可能要分析持有某項資產(chǎn)的風險；其次，預測置信區(qū)間可能是時變性的，所以可以通過建立殘差方差模型得到更精確的區(qū)間；第三，如果誤差的異方差是能適當控制的，我們就能得到更有效的估計。2

§6.1自回歸條件異方差模型自回歸條件異方差(AutoregressiveConditionalHeteroscedasticityModel，ARCH)模型是特別用來建立條件方差模型并對其進行預測的。

ARCH模型是1982年由恩格爾(Engle,R.)提出，并由博勒斯萊文(Bollerslev,T.,1986)發(fā)展成為GARCH(GeneralizedARCH)——廣義自回歸條件異方差。這些模型被廣泛的應用于經(jīng)濟學的各個領域。尤其在金融時間序列分析中。按照通常的想法，自相關(guān)的問題是時間序列數(shù)據(jù)所特有，而異方差性是橫截面數(shù)據(jù)的特點。但在時間序列數(shù)據(jù)中，會不會出現(xiàn)異方差呢？會是怎樣出現(xiàn)的？

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恩格爾和克拉格（Kraft,D.,1983）在分析宏觀數(shù)據(jù)時，發(fā)現(xiàn)這樣一些現(xiàn)象：時間序列模型中的擾動方差穩(wěn)定性比通常假設的要差。恩格爾的結(jié)論說明在分析通貨膨脹模型時，大的及小的預測誤差會大量出現(xiàn)，表明存在一種異方差，其中預測誤差的方差取決于后續(xù)擾動項的大小。

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從事于股票價格、通貨膨脹率、外匯匯率等金融時間序列預測的研究工作者，曾發(fā)現(xiàn)他們對這些變量的預測能力隨時期的不同而有相當大的變化。預測的誤差在某一時期里相對地小，而在某一時期里則相對地大，然后，在另一時期又是較小的。這種變異很可能由于金融市場的波動性易受謠言、政局變動、政府貨幣與財政政策變化等等的影響。從而說明預測誤差的方差中有某種相關(guān)性。為了刻畫這種相關(guān)性，恩格爾提出自回歸條件異方差(ARCH)模型。ARCH的主要思想是時刻

t的ut的方差(=t2

)依賴于時刻(t1)的擾動項平方的大小，即依賴于

?t2-1

。

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6.1.1ARCH模型

為了說得更具體，讓我們回到k-變量回歸模型：(6.1.1)

如果ut的均值為零，對yt取基于(t-1)時刻的信息的期望，即Et-1(yt)，有如下的關(guān)系：

(6.1.2)由于yt的均值近似等于式（6.1.1）的估計值，所以式（6.1.1）也稱為均值方程。6

在這個模型中，變量yt的條件方差為

（6.1.3）其中：var(ytYt-1)表示基于(t-1)時刻的信息集合Yt-1={yt-1,yt-2,…,y1}的yt的條件方差，

假設在時刻

(t1)

所有信息已知的條件下，擾動項

ut的條件分布是：

~(6.1.7)

也就是，ut遵循以0為均值，(0+1u2t-1)為方差的正態(tài)分布。7

由于(6.1.7)中ut的方差依賴于前期的平方擾動項，我們稱它為ARCH(1)過程：通常用極大似然估計得到參數(shù)0,1,2,,k,0,1的有效估計。

容易加以推廣，ARCH

(p)過程可以寫為：

(6.1.8)這時方差方程中的(p+1)個參數(shù)0,1,2,,p也要和回歸模型中的參數(shù)0,1,2,,k一樣，利用極大似然估計法進行估計。8

如果擾動項方差中沒有自相關(guān)，就會有

H0：這時

從而得到擾動項方差的同方差性情形。恩格爾曾表明，容易通過以下的回歸去檢驗上述虛擬假設：其中，?t表示從原始回歸模型（6.1.1）估計得到的OLS殘差。9

在ARCH(p)過程中，由于ut是隨機的，ut2不可能為負，所以對于{ut}的所有實現(xiàn)值，只有是正的，才是合理的。為使ut2協(xié)方差平穩(wěn)，所以進一步要求相應的特征方程（6.1.9）的根全部位于單位圓外。如果i（i=1,2,…,p）都非負，式（6.1.9）等價于1+2+…+p1。106.1.2ARCH的檢驗

下面介紹檢驗一個模型的殘差是否含有ARCH效應的兩種方法：ARCHLM檢驗和殘差平方相關(guān)圖檢驗。

1.ARCHLM檢驗

Engle在1982年提出檢驗殘差序列中是否存在ARCH效應的拉格朗日乘數(shù)檢驗（Lagrangemultipliertest），即ARCHLM檢驗。自回歸條件異方差性的這個特殊的設定，是由于人們發(fā)現(xiàn)在許多金融時間序列中，殘差的大小與最近的殘差值有關(guān)。ARCH本身不能使標準的OLS估計無效，但是，忽略ARCH影響可能導致有效性降低。11ARCHLM檢驗統(tǒng)計量由一個輔助檢驗回歸計算。為檢驗原假設：殘差中直到q階都沒有ARCH，運行如下回歸：

式中?t是殘差。這是一個對常數(shù)和直到q階的滯后平方殘差所作的回歸。這個檢驗回歸有兩個統(tǒng)計量：（1）F統(tǒng)計量是對所有殘差平方的滯后的聯(lián)合顯著性所作的一個省略變量檢驗；（2）TR2統(tǒng)計量是Engle’sLM檢驗統(tǒng)計量，它是觀測值個數(shù)T乘以回歸檢驗的R2

；12

普通回歸方程的ARCH檢驗都是在殘差檢驗下拉列表中進行的，需要注意的是，只有使用最小二乘法、二階段最小二乘法和非線性最小二乘法估計的方程才有此項檢驗。Breusch-Pagan-GodfreyHarveyGlejserARCHWhiteCustomTestWizard…圖6.4普通方程的ARCH檢驗列表132.殘差平方相關(guān)圖

顯示直到所定義的滯后階數(shù)的殘差平方?t2的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)，計算出相應滯后階數(shù)的Ljung-Box統(tǒng)計量。殘差平方相關(guān)圖可以用來檢查殘差自回歸條件異方差性（ARCH）。如果殘差中不存在ARCH，在各階滯后自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)應為0，且Q統(tǒng)計量應不顯著?？蛇m用于LS，TSLS，非線性LS方程。在圖6.4中選擇ResidualsTests/CorrelogramSquaredResiduals項，它是對方程進行殘差平方相關(guān)圖的檢驗。單擊該命令，會彈出一個輸入計算自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)的滯后階數(shù)設定的對話框，默認的設定為36，單擊OK按鈕，得到檢驗結(jié)果。

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例6.1滬市股票價格指數(shù)波動的ARCH檢驗

為了檢驗股票價格指數(shù)的波動是否具有條件異方差性，本例選擇了滬市股票的收盤價格指數(shù)的日數(shù)據(jù)作為樣本序列，這是因為上海股票市場不僅開市早，市值高，對于各種沖擊的反應較為敏感，因此，本例所分析的滬市股票價格波動具有一定代表性。在這個例子中，我們選擇的樣本序列{sp}是1996年1月1日至2006年12月31日的上海證券交易所每日股票價格收盤指數(shù)，為了減少舍入誤差，在估計時，對{sp}進行自然對數(shù)處理，即將序列{ln(sp)}作為因變量進行估計。15

由于股票價格指數(shù)序列常常用一種特殊的單位根過程——隨機游動（RandomWalk）模型描述，所以本例進行估計的基本形式為：

(6.1.12)

首先利用最小二乘法，估計了一個普通的回歸方程，結(jié)果如下：(6.1.13)

(2.35)(951)

R2=0.997

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可以看出，這個方程的統(tǒng)計量很顯著，而且，擬合的程度也很好。但是需要檢驗這個方程的誤差項是否存在條件異方差性，。17

圖6.1

股票價格指數(shù)方程回歸殘差

觀察上圖，該回歸方程的殘差，我們可以注意到波動的“成群”現(xiàn)象：波動在一些較長的時間內(nèi)非常小，在其他一些較長的時間內(nèi)非常大，這說明殘差序列存在高階ARCH效應。18

因此，對式(6.1.26)進行條件異方差的ARCHLM檢驗，得到了在滯后階數(shù)p=3時的ARCHLM檢驗結(jié)果如下。此處的P值為0，拒絕原假設，說明式（6.1.26）的殘差序列存在ARCH效應。

可以計算式（6.1.26）的殘差平方?t2的自相關(guān)（AC）和偏自相關(guān)（PAC）系數(shù)，結(jié)果說明式（6.1.26）的殘差序列存在ARCH效應。19

例6.2中國CPI模型的ARCH檢驗本例建立CPI模型，因變量為中國的消費價格指數(shù)（上年同月=100）減去100，記為cpit；解釋變量選擇貨幣政策變量：狹義貨幣供應量M1的增長率，記為m1rt；3年期貸款利率，記為Rt，樣本期間是1994年1月～2007年12月。由于是月度數(shù)據(jù)，利用X-12季節(jié)調(diào)整方法對cpit和m1rt進行了調(diào)整，結(jié)果如下：

t=(19.5)(-5.17)(2.88)(-2.74)

R2=0.99對數(shù)似然值

=-167.79AIC=2.045SC=2.12

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這個方程的統(tǒng)計量很顯著，擬合的程度也很好。但是觀察該回歸方程的殘差圖，也可以注意到波動的“成群”現(xiàn)象：波動在一些時期內(nèi)較小，在其他一些時期內(nèi)較大，這說明誤差項可能具有條件異方差性。21

從自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)可以看出：殘差序列存在著一階ARCH效應。再進行條件異方差的ARCHLM檢驗，得到了在滯后階數(shù)p=1時的ARCHLM檢驗結(jié)果：

因此計算殘差平方?t2的自相關(guān)（AC）和偏自相關(guān)（PAC）系數(shù)，結(jié)果如下：

22

從自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)可以看出：殘差序列存在著一階ARCH效應。因此利用ARCH(1)模型重新估計模型（6.1.14），結(jié)果如下：均值方程：

z=(12.53)(-1.53)(4.72)(-3.85)

方差方程：

z=(5.03)(3.214)

R2=0.99對數(shù)似然值

=-151.13AIC=1.87SC=1.98

方差方程中的ARCH項的系數(shù)是統(tǒng)計顯著的，并且對數(shù)似然值有所增加，同時AIC和SC值都變小了，這說明ARCH(1)模型能夠更好的擬合數(shù)據(jù)。23

再對這個方程進行條件異方差的ARCHLM檢驗，得到了殘差序列在滯后階數(shù)p=1時的統(tǒng)計結(jié)果：此時的相伴概率為0.69，接受原假設，認為該殘差序列不存在ARCH效應，說明利用ARCH(1)模型消除了式（6.1.14）的殘差序列的條件異方差性。式（6.1.15）的殘差平方相關(guān)圖的檢驗結(jié)果為：

自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)近似為0。這個結(jié)果也說明了殘差序列不再存在ARCH效應。

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6.1.3

GARCH模型

擾動項ut的方差常常依賴于很多時刻之前的變化量（特別是在金融領域，采用日數(shù)據(jù)或周數(shù)據(jù)的應用更是如此）。因此必須估計很多參數(shù)，而這一點很難精確的做到。但是如果我們能夠意識到方程(6.1.8)不過是t2的分布滯后模型，我們就能夠用一個或兩個t2的滯后值代替許多ut2的滯后值，這就是廣義自回歸條件異方差模型(generalizedautoregressiveconditionalheteroscedasticitymodel，簡記為GARCH模型)。在GARCH模型中，要考慮兩個不同的設定：一個是條件均值，另一個是條件方差。

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在標準化的GARCH(1,1)模型中：均值方程：(6.1.17)方差方程：

(6.1.18)其中：xt是

(k+1)×1維外生變量向量，是(k+1)×1維系數(shù)向量。

(6.1.17)中給出的均值方程是一個帶有擾動項的外生變量函數(shù)。由于t2是以前面信息為基礎的一期向前預測方差，所以它被稱作條件方差，式（6.1.18）也被稱作條件方差方程。26

(6.1.18)中給出的條件方差方程是下面三項的函數(shù)：

1．常數(shù)項（均值）：

2．用均值方程(6.1.11)的擾動項平方的滯后來度量從前期得到的波動性的信息：ut2-1（ARCH項）。

3．上一期的預測方差：

t2-1

（GARCH項）。

GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指階數(shù)為1的GARCH項（括號中的第一項）和階數(shù)為1的ARCH項（括號中的第二項）。一個普通的ARCH模型是GARCH模型的一個特例，GARCH(0,1)，即在條件方差方程中不存在滯后預測方差t2-1的說明。

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在EViews中ARCH模型是在擾動項是條件正態(tài)分布的假定下，通過極大似然函數(shù)方法估計的。例如，對于GARCH(1,1)，t

時期的對數(shù)似然函數(shù)為：(6.1.19)

其中(6.1.20)

這個說明通常可以在金融領域得到解釋，因為代理商或貿(mào)易商可以通過建立長期均值的加權(quán)平均（常數(shù)），上期的預期方差（GARCH項）和在以前各期中觀測到的關(guān)于變動性的信息（ARCH項）來預測本期的方差。如果上升或下降的資產(chǎn)收益出乎意料地大，那么貿(mào)易商將會增加對下期方差的預期。這個模型還包括了經(jīng)?？梢栽谪攧帐找鏀?shù)據(jù)中看到的變動組，在這些數(shù)據(jù)中，收益的巨大變化可能伴隨著更進一步的巨大變化。28

有兩個可供選擇的方差方程的描述可以幫助解釋這個模型：

1．如果我們用條件方差的滯后遞歸地替代（6.1.18）式的右端，就可以將條件方差表示為滯后擾動項平方的加權(quán)平均：

（6.1.21）我們看到GARCH(1,1)方差說明與樣本方差類似，但是，它包含了在更大滯后階數(shù)上的，擾動項的加權(quán)條件方差。29

2．設vt=ut2t2。用其替代方差方程（6.1.18）中的方差并整理，得到關(guān)于擾動項平方的模型：

（6.1.22）因此，擾動項平方服從一個異方差ARMA(1,1)過程。決定波動沖擊持久性的自回歸的根是

加

的和。在很多情況下，這個根非常接近1，所以沖擊會逐漸減弱。30

方差方程的回歸因子

方程(6.1.18)可以擴展成包含外生的或前定回歸因子z的方差方程：

（6.1.23）注意到從這個模型中得到的預測方差不能保證是正的。可以引入到這樣一些形式的回歸算子，它們總是正的，從而將產(chǎn)生負的預測值的可能性降到最小。例如，我們可以要求：31

高階GARCH(p,q)模型

高階GARCH模型可以通過選擇大于1的p或q得到估計，記作GARCH(q,p)。其方差表示為：（6.1.24）

這里，q是GARCH項的階數(shù)，p是ARCH項的階數(shù)，p>0并且,

(L)和(L)是滯后算子多項式。

32

為了使GARCH(q,p)模型的條件方差有明確的定義，相應的ARCH(∞)模型（6.1.25）的所有系數(shù)都必須是正數(shù)。只要(L)和(L)沒有相同的根并且(L)的根全部位于單位圓外，那么當且僅當0=0/(1-(L))，(L)=(L)/(1-(L))的所有系數(shù)都非負時，這個正數(shù)限定條件才會滿足。例如，對于GARCH(1,1)模型

（6.1.26）這些條件要求所有的3個參數(shù)都是非負數(shù)。336.1.4IGARCH模型如果限定GARCH模型的方差方程中的參數(shù)和等于1，并且去掉常數(shù)項：（6.1.27）其中（6.1.28）這就是Engle和Bollerslev（1986）首先提出的單整GARCH模型（IntergratedGARCHModel，IGARCH）。346.1.5約束及回推

1．約束在估計一個GARCH模型時，有兩種方式對GARCH模型的參數(shù)進行約束（restrictions）。一個選擇是IGARCH方法，它將模型的方差方程中的所有參數(shù)之和限定為1。另一個就是方差目標（variancetarget）方法，它把方差方程（6.1.24）中的常數(shù)項設定為GARCH模型的參數(shù)和無條件方差的方程：（6.1.29）這里的是殘差的無條件方差。352．回推在計算GARCH模型的回推初始方差時，首先用系數(shù)值來計算均值方程中的殘差，然后計算初始值的指數(shù)平滑算子（6.1.30）其中：?t

是來自均值方程的殘差，是無條件方差