大學物理實驗

大學物理實驗緒論一、物理實驗課的地位、作用和任務二、教學內容基本要求

三、物理實驗的基本環(huán)節(jié)

1、實驗預習2、實驗進行

3實驗總結實驗總結環(huán)節(jié)包含了對實驗目的、實驗原理、實驗內容、操作過程及技巧、注意事項、實驗收獲等方面的整體回顧，并將相關內容以一份簡潔、明了、工整、有見解的實驗報告的形式反映出來。一份完整的實驗報告應該包含如下基本內容：(1).實驗名稱（5分）

(2).實驗目的（5分）

(3).實驗儀器（5分）

(4).實驗原理簡要敘述有關物理內容（包括

電路圖或光路圖或實驗裝置示意圖）及測量中

依據的主要公式、式中各量的物理含義及單位、

公式成立所應滿足的實驗條件等；（30分）

(5).實驗步驟根據實際的實驗過程寫明關鍵步

驟；（5分）(6).數(shù)據報告與數(shù)據處理基本要求包括：列表報告數(shù)據、完成計算(計算要有計算式，代入的數(shù)據都要有根據)、曲線圖(圖線要規(guī)矩、美觀)、實驗結果報告、誤差分析或不確定度計算；（40分）

(7).小結和討論內容不限，可以是實驗中現(xiàn)象的分析，對實驗關鍵問題的研究體會，實驗的收獲和建議，也可以是解答實驗思考題。（10分）

測量誤差和數(shù)據處理的基礎知識

第一節(jié)測量誤差與結果表達

一測量

1、測量一般地說，測量是指一定的人、依據一定的理論和方法、使用一定的儀器、量具，在一定的環(huán)境中對某些物理量進行測定的過程。測量的一般方法是將待測的物理量與一個選來作為標準的同類量進行比較，得出它們之間的倍數(shù)關系。選作標準的同類量稱之為單位，其倍數(shù)便是測量的數(shù)值。由此可見，一個物理量的測量值等于測量數(shù)值與單位的乘積。

2、測量的分類

測量分為直接測量和間接測量兩種。

直接測量是指可以和標準量具、量儀直接進行比較而得到測量數(shù)值的測量。比如長度、時間、質量、溫度等量可分別用米尺、停表、天平、溫度計等直接測量。

間接測量是指不能直接測出結果，但可以先通過直接測量與它有關的一些物理量，然后利用公式求得結果的測量稱為間接測量。如測量一立方體物質的密度，可以先直接測量出它的邊長和質量m，然后利用公式計算出密度；測量重

力加速度，可先直接測出單擺的長度和單擺的周期T，再應用公式

求得，等等。

物理實驗中的測量多數(shù)是間接測量。二誤差

1、真值、約定真值（公認值）、最佳值

在一定的條件下，任何一個物理量都有一個實實在在的、不以人的意志為轉移的客觀數(shù)值，該數(shù)值即為該物理量的真值。

通過大量實驗測定或計算得到、并經國際計量會議約定的某些基本物理常數(shù)、基本單位標準或經高一級儀器校驗過的計量標準器具的量值等一般稱為約定真值或公認值。

實驗和計算表明，在對某一物理量x的n次測量

中，其算術平均值最接

近該物理量的客觀真值，稱為近真值或最佳值（n→∞時，→真值）。

2、誤差

在實驗過程中，人們的主觀愿望總是希望準確地測出待測物理量的真值。但是，任何測量總是依據一定的理論和方法、使用一定的儀器、在一定的環(huán)境中、由一定人進行的。由于實驗理論近似性，實驗儀器的分辨能力和靈敏度的局限性，實驗環(huán)境的不穩(wěn)定性以及人的實驗技能和判斷能力的影響等，使測量值與待測量的真值不可能完全相同。也就是說，測量值與真值

之間始終存在著差異，這個差異稱為測量誤差，簡稱誤差。測量誤差的大小反映了測量結果的準確程度。測量誤差可以用絕對誤差表示，也可以用相對誤差來表示：

絕對誤差=|測量值－真值|（=︱－︱）（1－1）

相對誤差=絕對誤差/真值（1－2）

在實際使用中，由于真值始終是未知的，所以常用公認值或最佳值代替真值進行計算。三、誤差的分類及處理

實踐證明，測量結果總存在誤差，或者說誤差不可避免地存在于一切科學實驗和測量之中。因此，分析測量過程中可能產生誤差的各種因素，盡可能消除其影響，并對最后結果中未能消除的誤差做出估計，分析測量結果的準確程度，就是物理實驗和其它科學實驗中不可缺少的重要工作。

（一）、誤差的分類及成因

測量誤差按其產生的原因與性質可分為系統(tǒng)誤差、隨機誤差和過失誤差三大類。

1、系統(tǒng)誤差

系統(tǒng)誤差是指在同一條件下，多次測量同一物理量時，誤差的大小符號均保持不變，或當條件改變時，按某一確定的已知規(guī)律變化的誤差。

系統(tǒng)誤差來自以下幾方面：

(1)儀器誤差所謂儀器誤差，是指測量時由于所用的測量儀器、儀表不準確所引起的基本誤差。例如刻度不準、零點不對、砝碼未經校準、天平臂不等長、應該水平放置的儀器沒有放水平等。

(2)環(huán)境誤差當測量儀器偏離了規(guī)定條件使用時，如受環(huán)境的溫度、電源電壓、頻率、外界電磁場等等發(fā)生變化的影響，都會使測量產生誤差。

(3)方法誤差這種測量誤差是由于測量方法不完善或所依據的理論不嚴密所產生的。凡是在測量結果的表達式中沒有得到反映，而在實際測量中又起作用的一些因素所引起的誤差，都稱為方法（或理論）誤差。例如在空氣中稱質量而沒有考慮空氣浮力的影響，測長度時沒有考慮溫度使尺長改變，測電壓時未考慮電壓表內阻對電路的影響，標準電池的電動勢未作溫度修正等。

(4)個人誤差這是由實驗者生理或心理特點、缺乏經驗等引起的。例如有些人習慣于側坐斜視讀數(shù)，眼睛辨色能力較差等，估計讀數(shù)始終偏大或偏小，記錄信號時始終超前或滯后。

很明顯，系統(tǒng)誤差的特征是它的確定性和規(guī)律性，即實驗條件一經確定，系統(tǒng)誤差就獲得了一個客觀上的確定值，一旦實驗條件變化，那么系統(tǒng)誤差也是按一種確定規(guī)律變化。2、隨機誤差（又稱偶然誤差）

在相同條件下，對同一物理量進行重復多次測量，即使系統(tǒng)誤差減小到最小程度之后，測量值仍然會出現(xiàn)一些難以預料和無法控制的起伏，而且測量值誤差的絕對值和符號在隨機地變化著。這種誤差稱之為隨機誤差。

隨機誤差主要來源于人們視覺、聽覺和觸覺等感覺能力的限制以及實驗環(huán)境偶然因素的干擾。例如溫度、濕度、電源電壓的起伏、氣流波動等因素的影響。從個別測量值來看，它的數(shù)值帶有隨機性，好像雜亂無章。但是，如果測量次數(shù)足夠多的話，就會發(fā)現(xiàn)隨機誤差遵循一定的統(tǒng)計規(guī)律，可以用概率理論來估算它。

大量的測量隨機誤差服從正態(tài)分布（或稱高斯分布）。其特征表現(xiàn)為正方向誤差和負方向誤差出現(xiàn)的次數(shù)大體相等，數(shù)值較小的誤差出現(xiàn)的次數(shù)較多，很大的誤差在沒有錯誤的情況下通常不出現(xiàn)。這一規(guī)律在測量次數(shù)越多時表現(xiàn)得越明顯，在數(shù)理統(tǒng)計中對它有充分的研究。

3、過失誤差（錯誤）

在測量中還可能出現(xiàn)測量值明顯遠離了正常測量值的異常誤差，稱為過失誤差（或錯誤）。這種錯誤是由于實驗者的粗心、不正確的操作和實驗條件的突變等引起的。例如讀數(shù)錯誤、記錄錯誤、操作錯誤、估算錯誤等等。（二）、誤差的分析與處理

由上面的分析可知，產生測量誤差的原因很多，在具體的實驗中，應針對不同的原因，對實驗結果進行分析和修正。

1、系統(tǒng)誤差的分析處理

由于系統(tǒng)誤差有確定性和規(guī)律性，因此，可以通過校準儀器、儀表、量具，改進實驗裝置和實驗方法，或對實驗結果進行理論上的分析等辦法來對系統(tǒng)誤差進行修正、減小并盡可能消除。發(fā)現(xiàn)和減小實驗中的系統(tǒng)誤差通常是困難的，需要對整個實驗所依據的原理、方法、測量步驟及所用儀器等可能引起誤差的各種因素一一進行分析。一個實驗結果是否正確，往往在于系統(tǒng)誤差是否已被發(fā)現(xiàn)和盡可能消除。2、過失誤差的分析處理

過失誤差所產生的錯誤已不屬于正常的測量工作范疇，應當盡量避免?？朔^失誤差的辦法，首先是端正對待實驗的態(tài)度，樹立嚴謹?shù)墓ぷ髯黠L，掌握正確的測量方法。對偶發(fā)性過失誤差，可用和多次測量結果相比較的辦法發(fā)現(xiàn)并糾正，或者運用異常數(shù)據剔除準則來判別因過失而引起的異常數(shù)據，并加以剔除。3、隨機誤差的分析處理

根據隨機誤差的統(tǒng)計分布規(guī)律性，人們知道：①多次測量時，正負隨機誤差可以大致相消，因而用多次測量的算術平均值表示測量結果可以減少隨機誤差的影響；②測量值的分散程度直接體現(xiàn)隨機誤差的大小，測量值越分散，測量的隨機誤差就越大，因此，必須對測量的隨機誤差做出估計才能反映出測量的精密度。對隨機誤差估計的方法有多種，大學物理實驗中，常用算術平均偏差、標準偏差來估計測量的隨機誤差。(1)殘差和誤差

設

為被測量的真值，

為有限次測量的平均值（最佳值），其中

為單次測量值。

①殘差單次測量值與測量平均值（最佳值）

之差即

（1－3）

②誤差單次測量值

與被測量真值

之差。

（1－4）

由于待測物理量的真值的不可知性，實驗中常用公認值或最佳值代替真值，而用殘差代替誤差。另一方面，由于殘差或誤差有正有負，有大有小，故常用算術平均法和“方均根”法對它們進行統(tǒng)計。

(2)算術平均偏差

在對某一物理量進行n次等精度測量的數(shù)據中，求各單次測量的殘差的絕對值的平均值，便得到算術平均偏差，即

（1－5）

算術平均偏差是估計隨機誤差的最簡單的一種方法，對初步涉及科學實驗及誤差分析的學生，可用算術平均偏差代替測量的絕對誤差，然后逐漸過渡到標準偏差和不確定度的理解及計算。四、測量結果的表達式

通過實驗的方法不能唯一地確定待測物理量的真值，即不能將測量結果表達為某一具體數(shù)值，只能確定真值可能出現(xiàn)的范圍，因此測量的結果通常表達成

測量結果=（測量的最佳值±測量誤差值）（單

位）即：

（單位）（1－8）

它表示：可以有相當把握地說，待測量的真值

就在-至+的范圍之間。越小，測量的最佳值與真值越接近，測量的準確度也越高。應當特別強調的是：測量（最佳）值，誤差和單位是表示測量結果的三個要素。第二節(jié)測量結果誤差的計算

本節(jié)主要討論測量值的誤差計算。誤差的計算是在錯誤數(shù)據已經剔除，系統(tǒng)誤差已經消除或系統(tǒng)誤差相對于隨機誤差小得多情況下進行的。

一、單次直接測量誤差的估計

實驗時，有時不可能進行重復的測量（如一瞬即逝的現(xiàn)象），有時多次測量也無必要。這時可用一次測量值作為測量結果的最佳值，取儀器誤差作為測量誤差。

儀器誤差是指儀器在規(guī)定的使用條件下，正確地使用儀器時，可能產生的最大誤差，用表示。關于儀器誤差，有如下幾種情況：

1、儀器誤差通常標在儀器的銘牌上。有時用儀器準確度級別表示。不同儀器的準確度級別的含義是不相同的，應該用相應公式進行計算。應當養(yǎng)成以下習慣：實驗前先仔細查看儀器的銘牌，并將可能有用的數(shù)據（型號、量程和級別等）記錄下來。

2、若沒有給出儀器誤差，可用下述方法進行估計：對有游標的量具和非連續(xù)讀數(shù)的儀表（電子秒表、數(shù)字儀表），取最小分度值作為單次直接測量的誤差；對連續(xù)讀數(shù)儀表、量具（如直尺），取最小分度值的一半作為單次直接測量的誤差。二、多次直接測量誤差計算

為了測量準確，在條件許可的情況下，總是采用多次重復測量，但測量次數(shù)總是有限的（一般實驗中重復次數(shù)≤10次），可求出測量值的算術平均值作為測量結果的最佳值，用公式（1－5）求算術平均偏差來作為測量誤差。

測量結果表達：（單位）（粗略估算）

三、間接測量誤差計算

在實驗中，間接測得量是由直接測得量通過計算得到的。直接測量有誤差，間接測量也必然有誤差，這稱為誤差的傳播。由直接測得量的誤差通過誤差傳播公式可以求出間接測得量的誤差。

間接測量的算術合成誤差傳播公式

設待測量N是n個獨立的可直接測定的物理量A，B，C，……，H的函數(shù)，即

N=f（A，B，C，……，H）（2－1）

如果各直接測得量的平均值分別為，其絕對誤差的平均值分別為，則間接測得量N的平均值為，其絕對誤差的平均值則計為。那么，在不同函數(shù)運算的情況下，到底該如何計算呢？下面以只有兩個直接測得量的情況為例分別加以說明。

（1）加減法運算中的合成誤差

當N=A±B時，其測量結果表達為

前兩項代表，后兩項是不確定項，

它們有四種可能的組合?？紤]最不利情況取值，得到間接測得量N的絕對誤差為：

（2－2）

相對誤差Er=（2－3）

結論一：幾個直接測得量相加或相減的結果的絕對誤差等于各直接測得量的絕對誤差之和。（2）乘法運算中的合成誤差

當N=A?B時，其測量結果表達為：

略去最后一項二階小量，并考慮最不利情況取值，

得到：

顯然

且絕對誤差

（2－4）

相對誤差

Er=（2－5）

（3）除法運算中的的合成誤差

若N=A/B，則其測量結果表達為：

=

=

略去二階小量且考慮最不利情況取值，顯然有

且絕對誤差=

相對誤差

Er=

結論二：幾個因子相乘或相除的結果的相對誤差等于各因子的相對誤差之和。

（4）一般運算關系下的合成誤差

對于一般的函數(shù)運算關系，可按下列方法求絕對誤差。

對N=f（A，B，C，……，H）所示函數(shù)關系求N的全微分，得：

則絕對誤差為：

由于上式右端各項分誤差的符號正負不定，考慮最不利情況取值時，各項分誤差須累加，因此，將上式右端各項分別取絕對值相加，可得間接測得量N的絕對誤差為：

（2-8）

對于相對誤差，可先取N=f（A，B，C，……，H)

所示函數(shù)關系的對數(shù)

然后再求全微分，得

及相對誤差為：Er=

（2-9）

（2－8）、（2—9）常稱為間接測量算術合成誤差的傳播公式。

結論三：間接測得量的絕對誤差等于函數(shù)對自變量的全微分，相對誤差是對函數(shù)取對數(shù)后再對自變量全微分。

這表明，有時候先計算相對誤差，后計算絕對誤差會簡單一些。例：

（為常量），求間接測量量的誤差傳播公式。

解：對公式取對數(shù)，得

求全微分，得

合并同一變量的系數(shù)后再將微分號改為誤差號，求得：

第四節(jié)

有效數(shù)字

在使用的儀器、儀表、量具上讀出待測物理量的量值，是測量過程的重要內容。對大多數(shù)物理實驗，還需要對直接讀出的數(shù)值進行相應的運算，才能得到（間接測量）結果。很明顯，讀數(shù)和運算都必須遵守一定的規(guī)則，而不能隨心所欲。本節(jié)主要介紹與數(shù)值的讀數(shù)、運算、取舍、保留等問題相關的一些規(guī)則。

一、有效數(shù)字和儀器讀數(shù)規(guī)則

1、有效數(shù)字

測量過程必然涉及數(shù)據處理，數(shù)據處理首先是從儀器、儀表、量具上讀取數(shù)據?？梢詼蚀_讀出的數(shù)據稱為可靠數(shù)；不能準確讀出，但可以根據最小分度的大小、指針的粗細等具體情況估計出來的數(shù)值稱為可疑數(shù)。可疑數(shù)明顯只有一位，因為再想讀出后面的幾位數(shù)來已經完全失去了依據。全部可靠數(shù)加上一位可疑數(shù)稱為測量的有效數(shù)字。

如圖1所示，用毫米尺測量一段工件長度。工件的長度大于13mm，小于14mm，可以準確讀出的是13mm；其右端點超過13mm刻度線的部分估計為6/10格（0.6mm），工件的長度即為13.6mm。很明顯，前兩位13是可靠數(shù)，而最后一位0.6mm則是從直尺上最小刻度間估計出來的，是可疑數(shù)（盡管可疑，但還是有一定根據，是有意義的）。

圖1用毫米刻度尺測工件長度

全部可靠數(shù)字和一位可疑數(shù)字相加組成的數(shù)字13.6mm便是測量值的有效數(shù)字。顯然，用這種規(guī)格的尺子來進行測量已不可能再準確了?？梢姡行?shù)字的多少，可疑數(shù)出現(xiàn)的位置等包含了待測物理量以及在該測量條件下所能達到的準確程度等信息，是數(shù)據處理的依據。當被測物理量和測量儀器選定后，測量值的有效數(shù)字及其位數(shù)就已經確定了。不能多取，也不能少取。少取了會損害測量的精度，多取了則又夸大了測量的精度。2、有效位數(shù)的概念

測量過程中，能夠讀出來的全部可靠數(shù)和一位可疑數(shù)加在一起的位數(shù)稱為測量值的有效位數(shù)。比如：13.6mm是三位有效數(shù)字、18.600是五位有效數(shù)字、0.01是一位有效數(shù)字等等。但對于一個給定的數(shù)值，判斷其有效位數(shù)（特別是數(shù)字前后有零的時候），有以下幾種情況需要注意：

（1）數(shù)字中間的零不管什么情況，數(shù)字中間的零都代表有效數(shù)字。例如，40000.5cm有6個有效數(shù)字，其有效位數(shù)是6位；40.005mm有5個有效數(shù)字，有效位數(shù)是五位。

（2）數(shù)字末尾的零一個數(shù)字末尾的零，無論有無小數(shù)點，全部都是有效數(shù)字，不能隨意取舍。例如：1020是四位有效數(shù)；60.0100cm，其有效數(shù)字為6位，不能寫作60.01cm。（3）第一位非零數(shù)字左邊的零第一位非零數(shù)字左邊的零都不代表有效數(shù)字，稱為無效零。例如，0.0302cm，有效位為三位；0.000030mm，則只有兩位有效數(shù)字。

（4）有效數(shù)字位數(shù)與單位變換無關不同的計量單位，待測量的數(shù)值大小不同，在進行單位換算時，其數(shù)值的有效位數(shù)不能改變。因此，在變換單位時，為了正確表達出有效位數(shù)，實驗中常采用科學計數(shù)法（10的冪次方）。例如：

這種寫法不僅簡潔明了，特別當數(shù)值很大和很小時，突出了有效數(shù)字，而且還使數(shù)值計算和定位變得簡單。3、儀器的讀數(shù)規(guī)則

盡管不同的儀器、儀表、量具讀數(shù)的方法有所不同，但讀數(shù)的原則都一樣：即讀出全部有效數(shù)字。圖2估讀到1/5格值

（1）估讀有一些量儀量

具，比如米尺、指針式儀表

等，讀數(shù)時需要估讀。估讀

時首先根據最小分格的大小、

指針的粗細等具體情況，考

慮把最小分格分成幾份來估

讀，通常讀到格值的1/10、

1/5或1/2。前述圖1是估讀到

最小格值的1/10。圖2是估讀

到1/5格值的例子。 圖2估讀到1/5格值（2）“對準”時的讀數(shù)有一些量儀量具，比如游標卡尺、數(shù)顯式儀表等，讀數(shù)時沒有估計數(shù)，只需要記錄下顯示的全部數(shù)據。因為測量儀器一經選定，能夠讀出的有效位數(shù)就完全確定了。例如，用50分度的游標卡尺測一物體的長度，游標上的0刻線恰與主尺3cm刻線對準。50分度游標卡尺的分度值是0.02mm,這類儀器不估讀，讀數(shù)應讀到厘米的千分位，測量值為3.000cm，有效數(shù)字是四位，不可以記為3cm。反過來，如果以為“對準”是準確無誤，3后面的0有無窮多個也是錯的。因為游標卡尺有一定的準確度，且“對準”也是在一定分辨能力限制下的對準。二、有效數(shù)字的運算規(guī)則

對于間接測量，除了從儀器上讀出有效數(shù)值以外，還必須經過函數(shù)運算才能得到實驗結果。為了準確反映間接測量結果的數(shù)值及其有效位數(shù)，就必須理解有效數(shù)字運算過程的一些規(guī)則。

1、加減法運算

和或差計算的結果，其末位和參與加減運算各量中末位數(shù)字數(shù)位最高的一個相同。如：

2、乘除法運算

積或商結果的有效位數(shù)，和參與乘除運算各量中有效數(shù)字位數(shù)最少者的位數(shù)相同。如：

3、乘方、開方運算

乘方、開方運算結果的有效位數(shù)與其底數(shù)的位數(shù)相同。

4、函數(shù)運算

一般情況下，有效數(shù)對某一函數(shù)進行運算后，其結果保留的有效位數(shù)，可用如下方法確定：先用微分方法（或誤差遞推公式）求出該函數(shù)的誤差公式，再將直接測量值的誤差（或不確定度）代入誤差公式來確定函數(shù)的誤差（或不確定度），然后根據測量結果最后一位數(shù)字與誤差（或不確定度）對齊的原則來確定間接測量結果的有效位數(shù)。若直接測量值沒有標明誤差（或不確定度），則在直接測量值的最后一位數(shù)取1作為誤差（或不確定度）代入公式。下面舉例說明。例1已知x=25.4，求lnx。

解：對lnx求微分，得誤差公式為

由于直接測量值x沒有標明誤差（或不確定度），故在直接測量值的最后一位數(shù)上取1作為誤差（或不確定度），即=0.1，將x，代入上式得

因此，根據“對齊原則”，lnx的尾數(shù)應保留到小數(shù)點后三位，即lnx=ln25.4=3.235

可見，x的自然對數(shù)lnx，其尾數(shù)部分的位數(shù)與該數(shù)x的有效數(shù)字相同。

5、運算中常數(shù)和自然數(shù)的取位

自然數(shù)是準確的，可認為有無窮多位有效數(shù)字，例如自然數(shù)2，在它小數(shù)點后面有無窮多個0，在算式中不必把那些0寫出來。 運算中無理常數(shù)（如π、e、等）的位數(shù)比參加運算的各分量中有效位最少者多取一位。例如，計算L=2πR，已知R=2.38cm，式中2是自然數(shù)，π=3.14159265……，但因R此時只有三位有效數(shù)，故π取3.142參與計算便夠了。L=2πR=15.0cm三、數(shù)值的修約規(guī)則 測量結果數(shù)值的取舍，首先要確定直接讀數(shù)的準確性，再根據有效數(shù)字的運算規(guī)則，或根據計算出的誤差來確定需要保留的有效數(shù)字的位數(shù)，后面多余的數(shù)字就應予以舍入修約。舍入修約規(guī)則一般為“四舍六入五湊偶”：尾數(shù)小于5則舍，尾數(shù)大于5則入，等于5則把尾數(shù)湊成偶數(shù)（即5前若是偶數(shù)，則把該5舍去，保持這個偶數(shù)；若5前是奇數(shù)，則該5進1，將這個奇數(shù)湊成偶數(shù)）。

例如：3.12446取四位效數(shù)字為3.124；78.1661取三位效數(shù)字為78.2； 123456取四位效數(shù)字為1.234×；453.35取四位效數(shù)字為453.4。

考慮誤差寧大勿小原則，誤差的修約可按只入不舍的規(guī)則。四、有效數(shù)字與誤差（或不確定度）的關系

測量值的有效數(shù)字和誤差是一種相互依賴和相互制約的關系。我們知道，有效數(shù)字的末位是估讀數(shù)字，存在不確定性。因此，在一般情況下，測量結果的絕對誤差（或絕對不確定度）的有效數(shù)字只取1位。反過來，測量結果有效數(shù)字最后保留的位數(shù)又由其絕對誤差（或絕對不確定度）的數(shù)位來確定，即測量結果的最后1位應與誤差（或不確定度）所在的位對齊。例如：由公式

，再根據高度和直徑的測量值用計算器算出了圓柱體積V=17.4126，若計