土木工程測量第05章

第五章測量誤差理論

◆測量與觀測值

◆觀測與觀測值的分類

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觀測條件

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等精度觀測和不等精度觀測

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直接觀測和間接觀測

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觀測和非獨立觀測第一節(jié)觀測誤差一、測量誤差的來源1．測量儀器和工具2．觀測者3．外界條件的影響由于儀器和工具加工制造不完善或校正之后殘余誤差存在所引起的誤差。由于觀測者感覺器官鑒別能力的局限性所引起的誤差。外界條件的變化所引起的誤差。觀測條件不相同的各次觀測，稱為非等精度觀測。觀測條件相同的各次觀測，稱為等精度觀測；人、儀器和外界條件，通常稱為觀測條件。在觀測結果中，有時還會出現錯誤，稱之為粗差。粗差在觀測結果中是不允許出現的，為了杜絕粗差，除認真仔細作業(yè)外，還必須采取必要的檢核措施。二、測量誤差的分類例：誤差處理方法

鋼尺尺長誤差ld

計算改正

鋼尺溫度誤差lt

計算改正

水準儀視準軸誤差I

操作時抵消(前后視等距)

經緯儀視準軸誤差C

操作時抵消(盤左盤右取平均)

…………2.系統(tǒng)誤差

——誤差出現的大小、符號相同，或按規(guī)律性變化，具有積累性。●系統(tǒng)誤差可以消除或減弱。

(計算改正、觀測方法、儀器檢校)測量誤差分為：粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差1.粗差(錯誤)——超限的誤差3.偶然誤差——誤差出現的大小、符號各不相同，表面看無規(guī)律性。

例：估讀數、氣泡居中判斷、瞄準、對中等誤差，導致觀測值產生誤差。

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準確度(測量成果與真值的差異）

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最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）

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測量平差（求解最或是值并評定精度）4.幾個概念:

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精（密）度（觀測值之間的離散程度）1．系統(tǒng)誤差

在相同觀測條件下，對某量進行一系列觀測，如果誤差出現的符號和大小均相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。

系統(tǒng)誤差在測量成果中具有累積性，對測量成果影響較大，但它的符號和大小又具有一定的規(guī)律性，一般可采用下列方法消除或減弱其影響。

（1）進行計算改正

（2）選擇適當的觀測方法

（3）檢驗校正儀器2．偶然誤差

在相同的觀測條件下，對某量進行一系列的觀測，如果觀測誤差的符號和大小都不一致，表面上沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為偶然誤差。三、偶然誤差的特性偶然誤差從表面上看沒有任何規(guī)律性，但是隨著對同一量觀測次數的增加，大量的偶然誤差就表現出一定的統(tǒng)計規(guī)律性，觀測次數越多，這種規(guī)律性越明顯。例如，對三角形的三個內角進行測量，由于觀測值含有偶然誤差，三角形各內角之和l不等于其真值180?。用X表示真值，則l與X的差值Δ稱為真誤差（即偶然誤差），即現在相同的觀測條件下觀測了217個三角形，計算出217個內角和觀測值的真誤差。再按絕對值大小，分區(qū)間統(tǒng)計相應的誤差個數，列入表中。

偶然誤差的統(tǒng)計**

（1）絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差個數多；

（2）絕對值相等的正負誤差的個數大致相等；

（3）最大誤差不超過27″。**舉例:

在某測區(qū)，等精度觀測了358個三角形的內角之和，得到358個三角形閉合差i(偶然誤差，也即真誤差)，然后對三角形閉合差i

進行分析。

分析結果表明，當觀測次數很多時，偶然誤差的出現，呈現出統(tǒng)計學上的規(guī)律性。而且，觀測次數越多，規(guī)律性越明顯。用頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計：頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近，對稱于y軸。頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現在該區(qū)間的頻率k/n，而所有條形的總面積等于1。各條形頂邊中點連線經光滑后的曲線形狀，表現出偶然誤差的普遍規(guī)律

圖6-1誤差統(tǒng)計直方圖偶然誤差的四個特性：

（1）在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值有一定的限值，或者說，超出該限值的誤差出現的概率為零；(有界性)

（2）絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現的概率大；(趨向性)

（3）絕對值相等的正、負誤差出現的概率相同；(對稱性)

（4）同一量的等精度觀測，其偶然誤差的算術平均值，隨著觀測次數n的無限增大而趨于零，

(抵償性)即式中[Δ]——偶然誤差的代數和，***偶然誤差具有正態(tài)分布的特性當觀測次數n無限增多(n→∞)、誤差區(qū)間d無限縮小(d→0)時，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線，這條曲線稱為“正態(tài)分布曲線”，又稱為“高斯誤差分布曲線”。所以偶然誤差具有正態(tài)分布的特性。圖6-1誤差統(tǒng)計直方圖第二節(jié)精度評定的標準在測量工作中，常采用以下幾種標準評定測量成果的精度。中誤差

相對中誤差

極限誤差*一、中誤差設在相同的觀測條件下，對某量進行n次重復觀測，其觀測值為l1，l2，…，ln，相應的真誤差為Δ1，Δ2，…，Δn。則觀測值的中誤差m為：式中[??]——真誤差的平方和，

例5-1設有甲、乙兩組觀測值，各組均為等精度觀測，它們的真誤差分別為：甲組：乙組：試計算甲、乙兩組各自的觀測精度。解:中誤差所代表的是某一組觀測值的精度。

m1小于m2,說明第一組觀測值的誤差分布比較集中，其精度較高；相對地，第二組觀測值的誤差分布比較離散，其精度較低：

m1=2.7是第一組觀測值的中誤差；

m2=3.6是第二組觀測值的中誤差。二、相對中誤差相對中誤差是中誤差的絕對值與相應觀測結果之比，并化為分子為1的分數，即

例丈量兩段距離，D1=100m，m1=±1cm和D2=30m，m2=±1cm，試計算兩段距離的相對中誤差。解三、極限誤差在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值不應超過的限值，稱為極限誤差，也稱限差或容許誤差?；蛉绻硞€觀測值的偶然誤差超過了容許誤差，就可以認為該觀測值含有粗差，應舍去不用或返工重測。

根據誤差分布的密度函數，誤差出現在微分區(qū)間d內的概率為：誤差出現在K倍中誤差區(qū)間內的概率為：

將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內的概率：

P(||m)=0.683=68.3出現機會（31.7%）P(||2m)=0.954=95.4出現機會（4.6%）P(||3m)=0.997=99.7出現機會（0.3%）測量中，一般取兩倍中誤差(2m)作為容許誤差，也稱為限差：|容|=2|m|或|=3|m||一.一般函數的中誤差令的系數為，(c)式為：由于和是一個很小的量，可代替上式中的和：

(c)代入(b)得對(a)全微分：(b)設有函數：為獨立觀測值設有真誤差，函數也產生真誤差(a)第三節(jié)觀測值函數的中誤差（誤差傳播定律）對Z觀測了k次，有k個式(d)對(d)式中的一個式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）(e)對K個(e)式取總和：(f)(f)(f)式兩邊除以K，得(g)式：(g)由偶然誤差的抵償性知：(g)式最后一項極小于前面各項，可忽略不計，則：<<前面各項即(h)(h)考慮，代入上式，得中誤差關系式：(6-10)上式為一般函數的中誤差公式，也稱為誤差傳播定律。

通過以上誤差傳播定律的推導，我們可以總結出求觀測值函數中誤差的步驟：

1.列出函數式；2.對函數式求全微分；3.套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。1.倍數函數的中誤差

設有函數式(x為觀測值，K為x的系數)全微分得中誤差式例：量得地形圖上兩點間長度=168.5mm0.2mm,計算該兩點實地距離S及其中誤差ms：解：列函數式求全微分中誤差式二.幾種常用函數的中誤差

2.線性函數的中誤差

設有函數式

全微分

中誤差式例：設有某線性函數其中、、分別為獨立觀測值，它們的中誤差分別為求Z的中誤差。

解：對上式全微分：由中誤差式得：

函數式全微分中誤差式3.算術平均值的中誤差式

由于等精度觀測時，，代入上式：得由此可知，算術平均值的中誤差比觀測值的中誤差縮小了倍。

●對某觀測量進行多次觀測(多余觀測)取平均，是提高觀測成果精度最有效的方法。4.和或差函數的中誤差

函數式：

全微分：

中誤差式：當等精度觀測時：上式可寫成：例：測定A、B間的高差，共連續(xù)測了9站。設測量每站高差的中誤差，求總高差的中誤差。

解：

觀測值函數中誤差公式匯總

觀測值函數中誤差公式匯總

函數式函數的中誤差一般函數倍數函數

和差函數

線性函數

算術平均值

觀測值的算術平均值(最或是值)

用觀測值的改正數v計算觀測值的中誤差(即:白塞爾公式)

算術平均值的相對中誤差第四節(jié)等（同）精度直接觀測平差

一.觀測值的算術平均值(最或是值、最可靠值)

證明算術平均值為該量的最或是值：

設該量的真值為X，則各觀測值的真誤差為1=1-

X2=2-

X

······

n=n-

X對某未知量進行了n次觀測，得n個觀測值1,2,···,n,則該量的算術平均值為：x==1+2+···+nnn上式等號兩邊分別相加得和：L=當觀測無限多次時：得兩邊除以n：由當觀測次數無限多時，觀測值的算術平均值就是該量的真值；當觀測次數有限時，觀測值的算術平均

值最接近真值。所以，算術平均值是最或是值。L≈X觀測值改正數特點二.觀測值的改正數v：以算術平均值為最或是值，并據此計算各觀測值的改正數v，符合[vv]=min的“最小二乘原則”。Vi=L-

i(i=1,2,···,n)特點1——改正數總和為零：對上式取和：以代入：通常用于計算檢核L=nv=nL-

nv

=n-=0v

=0特點2——[vv]符合“最小二乘原則”：則即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvvdx∵(x-)=0nx-=0x=n精度評定

比較前面的公式，可以證明，兩式根號內的部分是相等的，即在與中：精度評定——用觀測值的改正數v計算中誤差一.計算公式(即白塞爾公式)：證明如下：真誤差：改正數：證明兩式根號內相等對上式取n項的平方和由上兩式得其中:證明兩式根號內相等中誤差定義:白塞爾公式:解：該水平角真值未知，可用算術平均值的改正數V計算其中誤差：例：對某水平角等精度觀測了5次，觀測數據如下表，求其算術平均值及觀測值的中誤差。算例1:76°42′45″

±1.74″

例5-2某一段距離共丈量了六次，結果如表下所示，求算術平均值、觀測中誤差、算術平均值的中誤差及相對誤差。148.643148.590148.610148.624148.654148.647148.628-15+38+18+4-26-192251444324166763613046返回距離丈量精度計算例算例3：對某距離用精密量距方法丈量六次，求①該距離的算術平均值；②觀測值的中誤差；③算術平均值的中誤差；④算術平均值的相對中誤差：凡是相對中誤差，都必須用分子為1的分數表示。第五節(jié)誤差傳播定律的應用用DJ6經緯儀觀測三角形內角時，每個內角觀測4個測回取平均，可使得三角形閉合差m15。例1：要求三角形最大閉合差m15，問用DJ6經緯儀觀測三角形每個內角時須用幾個測回？?=(1+2+3)-180解：由題意：2m=15,則m=7.5每個角的測角中誤差：由于DJ6一測回角度中誤差為：由角度測量n測回取平均值的中誤差公式：誤差傳播定律的應用例2：試用中誤差傳播定律分析視距測量的精度。解:(1)測量水平距離的精度

基本公式：

求全微分：

水平距離中誤差：

其中：

誤差傳播定律的應用例2：試用中誤差傳播定律分析視距測量的精度。解:(2)測量高差的精度基本公式：

求全微分：

高差中誤差：

其中：

誤差傳播定律的應用例3:(1)用鋼尺丈量某正方形一條邊長為求該正方形的周長S和面積A的中誤差.解:(1)周長,(2)用鋼尺丈量某正方形四條邊的邊長為其中:求該正方形的周長S和面積A的中誤差.

面積,

周長的中誤差為全微分:面積的中誤差為全微分:解:(1)周長和面積的中誤差分別為例3:(2)用鋼尺丈量某正方形四條邊的邊長為其中:求該正方形的周長S和面積A的中誤差.

(2)周長;周長的中誤差為面積得周長的中誤差為全微分:但由于第六節(jié)不等（同）精度直接觀測平差一、權的概念權是權衡利弊、權衡輕重的意思。在測量工作中權是一個